《生活中的平面圖形》

教學目標  經歷從現實世界中抽象出平面圖形的過程，感受圖形世界的豐富多彩；認識多邊形，探索多邊形的某些性質；在活動中感受歸納思想；在活動中發展有條理地思考（感受分類思想）。

重點和難點 感受歸納思想和分類思想；歸納。

教具 賀卡

教學過程 實錄 

（上課鈴響，眼保健操）

[師]上課！

[值日班長]起立！

[師]同學們好！

[生]老師好！

[師]請坐。

[生]謝謝老師！

[師]請同學們把書翻到第22頁。

同學們都看到了，我們今天要討論的內容呢，是“生活中的平面圖形”。

前面呢，我們曾經討論過生活中有很多實物，我們可以從中抽象出許多幾何圖形，比如說……？

[生]長方體、圓錐、棱柱、圓柱……還有球

[師]很好！大家說得都很好！這說明同學們都很聰明，學習也都很認真。不過呢，我們今天要討論的幾何圖形和前面討論過的幾何圖形有點不一樣，有沒有同學知道有什么不同嗎？

[生1]……平面圖形！

[生2]前面是空間的，今天是平面的。

[師]很好！

我們前面討論的比如象長方體呀、圓柱或圓錐呀、還有球呀什么的，這些呢都是立體圖形，而我們今天將要討論的圖形呢，都是平面圖形。

大家請看書。

書上有幾幅照片，我們可以從中看到哪些平面圖形？

[生]有五邊形。

[師]很好！有五邊形。還有呢？

[生]有六邊形。

[師]對！這些蜂窩的造型是六邊形。

[生]有圓。

[師]嗯！奧運五環，是由5個圓組成的。

[生]長方形、三角形。

[師]對，很好！那棟建筑的主體建筑中有長方形，還有三角形的裝飾圖案。有沒有同學知道這棟建筑的名稱？

[生]……

[師]沒有同學知道？如果我沒記錯的話，這張照片中的建筑應該是香港的，1997年香港回歸的時候曾有過介紹，至于這棟建筑的名字我忘記了。

[師]昨天是教師節，有幾位同學給我送了幾張賀卡，我拿了幾張過來。

（出示賀卡1）漂亮吧？很漂亮哦？大家看，我們可以找出哪些平面圖形（圖1）？

[生]荷蘭風車。

[師]不錯，非常富有異國情調的一座磨房。我們可以從中抽象出哪些幾何圖形呢？

[生]有長方形。

[生]有梯形。

[生]看不清楚。

[師]這張卡片基調比較素淡，坐在后面的同學可能不太看得清楚，待會兒下課的時候再傳看一下，好不好？

[師]我們再看這張。

（出示賀卡2）漂亮吧？這張色調比較深，坐在后面的同學應該都看得清楚吧？（圖1）

我們可以從這張卡片中抽象出哪些幾何圖形呢？

[生]長方形。

[生]三角形。

[生]圓。

[生]半圓。

[師]很好！剛才同學們提到的象三角形、長方形和圓等等圖形，和我們前幾天討論過的棱柱、圓錐等圖形一樣，都是幾何圖形。只不過長方體等這些圖形是立體圖形，而我們今天所討論的這些圖形呢？

[生]平面圖形。

[師]哎，很好！

[生]什么叫幾何圖形呀？

[師]噢，幾何圖形也就是說：我們不管它是什么材料做的，也不管它是重還是輕、什么顏色的、派什么用場等等……

[生]形狀和大小。

[師]對！只考慮它的形狀和大小，以及它們相互之間的位置關系。

[師]接下來，我們一起來討論一下一些平面圖形有些什么性質。

請大家準備好練習本。

[生]（準備）

[師]請同學們在練習本上分別畫一個三角形、一個四邊形、一個五邊形、一個六邊形。

[生]（活動）

[師]畫好了嗎？

[生]好了。

[師]請看黑板。

（在黑板上各畫一個三角形、四邊形、五邊形、六邊形，見圖2）

[師]我們來看一下哦，我們把三角形、四邊形、五邊形、六邊形等這些圖形都稱為多邊形。

請同學們討論一下：這些多邊形都有些什么共同特點？

[生]都有線段。

[師]很好，都由線段組成。（板書：由線段組成）

[生]都有頂點。

[師]對！有頂點。（板書：頂點）

[生]都是包牢的。

[師]哇！太好了！它們都是封閉的。你看，有沒有哪個圖形在什么地方開了一個口子？（畫示意圖，圖3）

[生]沒有！

[師]（板書：封閉）

[生]這些線段都不在同一條直線上。

（原教材見附圖）

[師]對呀！構成多邊形的幾條線段都不在同一條直線位置上。

（將板書中“由線段組成”改寫成“由不在同一直線上的線段組成”）

[生]它們的邊都是連牢的。

[師]對！連牢的，而不是分開的。（板書：連牢）

[生]應該是依次首尾相連。

[師]首尾相連？那么朱老師在這里有一個疑問噢，有沒有同學能夠給我說一說“首尾相連”是什么意思？

[生]就是頭和尾巴接牢的。

[師]頭和尾巴接牢的？是不是這個意思哦，你看朱老師這樣理解你看對不對：也就是說，如果我們把每條線段的兩個端點分別看成是這條線段的起點和終點，那么所謂的“依次首尾相連”也就是說第一條線段的終點恰好是第二條線段的起點，第二條線段的終點又恰好成為第三條線段的起點，依此類推：前一條線段的終點恰好是下一條線段的起點，直到最后一條線段的終點呢？（邊說邊在圖上比劃）

[生]第一條的起點。

[師]這就叫“依次首尾相連”。

[生]它是封閉的呀，那么肯定連牢的嘍。

[師]哎，好象是噢？既然是封閉的，那么應該肯定是連牢的嘍？

[生]連牢么不一定是首尾連牢的嘍！

[師]還有其它連法是吧？我們來看一看。（畫圖4）

是不是連牢的？

[生]是！

[師]是不是封閉的？

[生]是！

[師]它是多邊形嗎？

[生]不是。

[師]那么根據我們探討出來的這些多邊形所共同具有的這些特點，我們能不能給多邊形下個定義？也就是說：什么叫多邊形？

[生]由不在同一直線上的幾條線段依次首尾相連而成的封閉圖形叫多邊形。

[師]很好！

這些多邊形呢，我們還可以給它們取名字。比如說這個三角形（見圖2），它有三個頂點，我們把它的三個頂點分別記為A、B、C（圖5），那么這個三角形就叫“三角形ABC”。

[生]好不好叫它BCA的呀？

[師]哎，這個問題提得好！可不可以叫它三角形BCA？

[生]可以的。

[生]不可以，叫它三角形BCA么變成另外一個三角形了嘍！

[生]還是這個嘍，三角形沒變過呀！

[眾生]可以。

[師]很好！ΔABC和ΔBCA，都是指同一個三角形，也就是這個三角形。就好比這本書，我們叫它作“書”，美國人叫它“book”。

[師]現在，請同學們給你剛才所畫的這個四邊形的四個頂點依次標上字母A、B、C、D。請注意：字母要大寫，要按照順序依次書寫。

[師]現在，請看這個四邊形，它有四個頂點A、B、C、D，我們任意選擇其中一個頂點，選哪一個？

[生]A好了。

[師]好！我們選擇頂點A�，F在，我們把頂點A和其它三個頂點分別連結起來，得到三條線段AB、AC和AD。

在這三條線段中，AB和AD原來就是這個四邊形的兩條邊，而線段AC則是新增加的，我把它用虛線來表示（圖5）。

我們把新增加的這條線段AC，稱為這個四邊形的一條對角線。

請同學們觀察一下，在增加了這條對角線以后，圖形有什么變化？

[生]變成兩個三角形了。

[師]很好！四邊形的一條對角線將這個四邊形分割成了兩個三角形。

現在，請大家看自己剛才所畫的這個五邊形，

請選擇其中一個頂點，

請你畫出從這個頂點出發的所有對角線。

[師]從五邊形的一個頂點出發，一共有幾條對角線？

[生]2條。

[師]這2條對角線把這個五邊形分割成幾個三角形？

[生]3個。

[師]那么在六邊形中，從一個頂點出發應該有幾條對角線？

[生]應該有3條。

[師]如果是3條對角線，應該把這個六邊形分割成幾個三角形？

[生]4個。

[師]請驗證你的猜測。

[師]畫好了嗎？我們剛才猜得對不對？

[生]對的。

[師]請看黑板（畫出圖6）。

我們來看一下：從四邊形的一個頂點出發，有1條對角線，把這個四邊形分割成2個三角形；從五邊形的一個頂點出發，有2條對角線，把這個五邊形分割成3個三角形；從六邊形的一個頂點出發，有3條對角線，把這個六邊形分割成4個三角形。這其中是不是可能存在著某種規律？（列出表1）

表1 對角線 三角形

四邊形 1 2

五邊形 2 3

六邊形 3 4

[生]三角形比對角線多1個。

[師]是這樣嗎？

[生]是的。

[師]那么能不能對七邊形的情況作個驗證？

[生]（活動）

[生]（非常興奮地）對的。

[師]我們是否可以作如此猜想：對于任意一個多邊形，從其中一個頂點出發所得到的所有對角線，將這個多邊形分割成三角形的數目，總比從這個頂點出發所得到的對角線的數目要多1個？

[生]是的！

[師]那么照這樣推測的話，一個 邊形，它有 條邊和 個頂點。

[生] 是什么？

[師] 是什么？它表示某一個多邊形的邊數。如果這個多邊形是四邊形，那么這個 它就是4；如果這個多邊形是100邊形，那么這個 就是100。

現在，我們先選擇這個 邊形的一個頂點，如果從這個頂點出發的對角線恰好有 條，那么被分割成的三角形應該有多少？

[生] 個。

[師]確定嗎？

[生]確定！

[師]同學們確實非常聰明！

（將表1改寫成表2）

邊數 對角線 三角形

4 1 2

5 2 3

6 3 4

… … …

[師]你知道嗎？同學們剛才所使用的這種推理的方法，是在科學研究中非常有用的一種方法，叫做“歸納法”。

有許多科學發現，就是科學家們從有限的、特殊的事例中分析總結出它們共同的規律或特點，得出某個結論，再用這個結論去指導后面的研究，從而獲得了許多發現。

當然，用這種方法所獲得的結論有時候也可能會出錯。由于結論是從特殊的、有限的事例中總結出來的，因此有時候它不一定能適合所有的情況。所以，對于用這種方法所得到的結論的正確性，往往還需要我們去證明。

[師]現在請同學們看這里。

我們來看一看這張表：

在四邊形中，有1條對角線，2個三角形；五邊形中，有2條對角線，3個三角形，等等，現在我們要研究的問題就是：是不是對所有的多邊形都是這樣？還是只對部分多邊形才是這樣？一個多邊形，如果從一個頂點出發的對角線有 條，那么被分割成三角形的個數是不是一定比 多1個，也就是 個呢？怎么說明這一點呢？

[生]……

[生]一根棒頭，折一下，變成兩段；再折一下，又多出一段；以后每折一下就多出一段，所以這里也是一樣的。

[師]不折呢？

[生]1段。

[師]以后每次折一下，是不是只能折其中的某一段？能不能兩段同時折？

[生]不能。

[師]那么原來是一段，每折一次總數只能增加1，折了幾次就增加了幾段，所以被折成小棒頭的數目是不是總比折的次數要多1？

[生]是的！

[師]那么回到我們的多邊形中來，怎么解決？

[生]用刀切。

[師]對！沿著對角線用刀切。不切的時候有幾塊？

[生] 1塊。

[師]每切1刀？

[生]多出1塊。

[師]現在這個多邊形一共有幾條對角線？ 

[生] 條。

[師]也就是一共切了 刀是吧？是不是在原來1的基礎上增加了 塊？那么一共就有？ 

[生] 個三角形。

[師]也就是說：任何一個多邊形，從一個頂點出發的對角線有幾條，那么被分割成三角形的數目一定比它…

[生]多1個

[師]OK！鼓鼓掌！

[生]（鼓掌）

[師]這位同學，從線的情況推廣到面的情況，從而解決了我們的問題，其想法非常巧妙！讓我們再次為他的聰明才智鼓掌！

[生]（鼓掌）

[師]好！剛才我們解決了一個難題，證明了多邊形中，從一個頂點出發的對角線把這個多邊形分割成三角形的個數一定比對角線的條數要多1個。

[師]對于一個n邊形來說，它從一個頂點出發的對角線有多少我們并不知道。我們這里的 只是一個假設，從四邊形、五邊形和六邊形的情況來看，這個結論似乎是正確的。就是說：任意一個多邊形，從它的一個頂點發出的對角線的數目比它的邊數少3。

有沒有同學能夠再次來證明一下？

[生]……

[師]看一看，想一想。

[生]是的。

[師]哦？說說看？

[生]幾邊形么就有幾個頂點，它自己就已經有一個了，那么就少了一個；它旁邊還有兩條本來就是邊，這樣就又少了2條，一共少了3條。所以…（聲音輕下去了）

[師]是不是這樣？來來來，請你把剛才的話再說一遍好不好？有幾個同學沒聽明白。

[生]哦~嗚~~我說不來的。

[師]說不來的��？剛才說得蠻好么！來！你膽子大一點好了，不要緊的！

[生]嗚~不要不要。

[師]好，那么我把剛才聽到的話再說一遍好不好？

[眾生]好。

[師]多邊形有幾條邊就有幾個頂點是不是？當我們選定其中一個頂點的時候，另外的頂點還有幾個？

[生]（n-1）個。

[師]這樣我們把所有這些頂點和一開始選中的那個頂點連起來，是不是只有（n-1）條線段？這就比邊數少一個了是不是？ 

[生]是。

[師]但這些得到的線段是不是每一條都是對角線？

[生]不是。

[師]為什么？

[生]有兩條是邊。

[師]對！你看，和這個頂點最接近的兩個頂點，左邊一個，右邊一個，這兩點和原來的那個點連起來的這兩條線段都不是對角線，而是這個多邊形的邊，要不要去掉？

[生]要。

[師]這樣又少了2個，一共少了幾個啦？

[生]3個。

[師]現在剩下的是不是都是對角線？

[生]是的。

[師]也就是說對角線的數目一定比邊的數目要少3，對不對？

[生]對！

[師]來，給點掌聲鼓勵鼓勵！

[生]（鼓掌）

[師]很好！

我們回顧一下剛才的學習內容：從生活中所熟悉的事物中抽象出幾何圖形，然后對這些圖形的某些性質進行了探討。在探索活動中，同學們充分發揮了自己的聰明才智，發現了很多非常重要的結論。如果我們把這些結論本身先放在一邊不說，就得到結論的整個過程而言，這個過程本身是不是也非常有意義？

[生]是！

[師]所以，同學們在今后的學習過程中一定要注意：除了學好我們書上的知識內容本身之外，更要注意學習方法，要學會學習，學會思考。

比如說，請看課本第23頁。

看到了吧？有一只貓（見原教材）。

[生]狐貍。

[師]嗯，更象狐貍。

不管它是貓還是狐貍，看到了沒有，整個圖案都是由什么圖形組成的？

[生]三角形。

[師]數數看，共有多少個三角形？怎么數？可以互相交流一下。

[生]12個。

[師]怎么數的？

[生]一個一個數。

[師]哦，一個一個地數。

那么如果三角形再多一點的話，你這樣一個一個地數是不是很容易數錯？比如說有的可能數漏了，還有的可能數重了？

[生]可能的。

[師]有沒有什么好的辦法，有規律地數，既不會漏數，也不會重數？

[生]把它們編上號。

[師]嗯，這辦法不錯！

[生]這樣很難看了。

[師]嗯，如果編上號，那么這幅畫就比較難看了，并且有時候如果圖形復雜一點的話，圖形和圖形交疊在一起，你寫了一個5，這個5究竟是指哪個圖形呢？有時候是不是也會搞錯啊？

[生]可能的。

[師]還有沒有其它辦法？

[生]……

[師]那么我們來看看這個圖形（畫出圖7），它里面共有幾個三角形？

[生]……

[師]想想看，怎么數？哪怕三角形再多也同樣能夠有條不紊地數得清楚？

[生]13個。

[生]13個。

[師]你怎么數的？

[生]看大小。

[師]怎么說？

[生]喏，看大小。先數小的，有9個；再數中的，有3個；最后數大的，1個，一共13個。

[師]OK！給點掌聲！

我們把所有的三角形按大小分成三類：第一類，邊長為1個單位的三角形，（畫出圖8），有幾個？

[生]9個。

[師]第二類，邊長為2的三角形，共有3個；第三類，邊長為3的三角形，只有1個。那么所有的三角形只要加加起來就行了。

[生]13個。

[師]很好！

按照這樣的方法去數，哪怕三角形再多，怕不怕？

[生]不怕。

[師]所以說，我們要學會有條理地去思考解決問題。

好，現在我們再來看看這只貓，或者說狐貍，怎么來數它的三角形？

[生]……

[生]先數頭，再數身子，再數尾巴。

（下課鈴響）

[師]這樣做顯得很有條理。

請同學們看書上的第24頁。

我們來看，書上有什么叫弧、什么叫扇形，自己回去看一看。后面“讀一讀”里有幾種正多面體，每種正多面體有幾個面、每個面是正幾邊形、共有多少個頂點、多少條棱，這些呢，書上的表里面也都列出了。

有一個問題：就是每種正多面體告訴你有幾個面以及每個面的形狀，問你有幾條棱、幾個頂點？如果叫你自己去數，你準備怎么樣去數？能不能通過計算來得到？回去考慮考慮，好不好？

[生]好！

[師]作業 ：第26頁習題1.8，第1、2、3三題，記住哦：先抄題目后解答！

[生]記住了，先抄題目后解答。

[師]現在下課！

《生活中的平面圖形》