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數(shù)學(xué) - 初二數(shù)學(xué)利用公式法(完全平方公式)因式分解課堂實(shí)錄
點(diǎn)擊此處打開或右鍵另存為下載上課班級(jí):江蘇省如東縣景安初中初二(6)班 郵編:226441
上課教師:唐國(guó)棟 e-mail:guodong.tang@126.com
設(shè)計(jì)思路:
教師是學(xué)習(xí)活動(dòng)的引導(dǎo)者和組織者,學(xué)生是課堂的主人。教師在教學(xué)中要充分體現(xiàn)教師的導(dǎo)向作用,尊重學(xué)生的個(gè)體差異,選擇適合自己的學(xué)習(xí)方式,鼓勵(lì)學(xué)生自主探索與合作交流,讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的形成與應(yīng)用過程,鼓勵(lì)學(xué)生的直覺并且運(yùn)用基本方法進(jìn)行相關(guān)的驗(yàn)證,指導(dǎo)學(xué)生注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系,不斷提高解決問題的能力。
教學(xué)過程 :
師生問好,組織上課。
師:我們?cè)诔跻坏诙䦟W(xué)期就已經(jīng)學(xué)習(xí)了乘法完全平方公式,請(qǐng)一位同學(xué)用文字語(yǔ)言來描述一下這個(gè)公式的內(nèi)容?
生1:(答略)
師:你能用符號(hào)語(yǔ)言來表示這個(gè)公式嗎?
生1:(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2
師:不錯(cuò),請(qǐng)坐。由此我們可以看出完全平方公式其實(shí)包含幾個(gè)公式?
生齊答:兩個(gè)。
師:接下來有兩道填空題,我們?cè)撛趺催M(jìn)行填空?
a2+ +1=(a+1)2 4a2-4ab+ =(2a-b)2
生2:(答略)
師:你能否告訴大家,你是根據(jù)什么來進(jìn)行填空的嗎?
生2:根據(jù)完全平方公式,將等號(hào)右邊的展開。
師:很好。(將四個(gè)式子分別標(biāo)上○1○2○3○4)
問題:○1、○2兩個(gè)式子由左往右是什么變形?
○3、○4兩個(gè)式子由左往右是什么變形?
生3:(答略)
師:剛才的○1和○2是我們以前學(xué)過的完全平方公式,那么將這兩個(gè)公式反過來就有:
a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2 (板書)
問題:這兩個(gè)式子由左到右的變形又是什么呢?
生齊答:因式分解。
師:可以看出,我們已將左邊多項(xiàng)式寫成完全平方的形式,即將左邊的多項(xiàng)式分解因式了。
這兩個(gè)公式我們也將它們稱之為完全平方公式,也是我們今天來共同學(xué)習(xí)的知識(shí)(板書課題)
師:既然這兩個(gè)是公式,那么我們以后遇到形如這種類型的多項(xiàng)式可以直接運(yùn)用這個(gè)公式進(jìn)行分解。這個(gè)公式到底有哪些特征呢?請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)觀察思考一下,同座的或前后的同學(xué)可以討論一下。
(經(jīng)過討論之后)
生4:左邊是三項(xiàng),右邊是完全平方的形式。
生5:左邊有兩項(xiàng)能夠?qū)懗善椒胶偷男问健?/p>
師:說得很好,其他同學(xué)有沒有補(bǔ)充的?
生6:還有一項(xiàng)是兩個(gè)數(shù)的乘積的2倍。
師:這“兩個(gè)數(shù)的乘積”中“兩個(gè)數(shù)”是不是任意的?
生6:不是,而是剛才兩項(xiàng)的底數(shù)。
師:剛才三位同學(xué)都回答得不錯(cuò),每人都找出了一些特征。再請(qǐng)一位同學(xué)來綜合一下。
生7:左邊的多項(xiàng)式要有三項(xiàng),有兩項(xiàng)是平方和的形式,還有一項(xiàng)是這兩個(gè)數(shù)的積的2倍。右邊是兩個(gè)數(shù)的和或差的平方。
教師在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上總結(jié):
1)多項(xiàng)式是三項(xiàng)式
2)有兩項(xiàng)都為正且能夠?qū)懗善椒降男问?/p>
3)另一項(xiàng)是剛才寫成平方項(xiàng)兩底數(shù)乘積的2倍,但這一項(xiàng)可以是正,也可以是負(fù)
4)等號(hào)右邊為兩平方項(xiàng)底數(shù)和或差的平方。
師:我們?nèi)绾螌⒎?hào)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為文字語(yǔ)言呢?
生8:a、b兩個(gè)數(shù)的平方和加上a、b乘積的2倍,等于a與b的和的平方;
a、b兩個(gè)數(shù)的平方和減去a、b乘積的2倍,等于a與b的差的平方。
師:如果不用字母a、b,又怎么表達(dá)?能否將兩句合并成一句呢?
生9:兩個(gè)數(shù)的平方和加上或減去這兩個(gè)數(shù)的乘積的2倍,等于這兩個(gè)數(shù)的和或差的平方。
師:非常好!我們以后只要遇到這種類型的多項(xiàng)式可以直接利用完全平方公式方便地進(jìn)行因式分解了。
通過剛才的學(xué)習(xí),我們已經(jīng)初步掌握了利用完全平方公式分解因式的有關(guān)知識(shí),下面有幾道練習(xí)題向我們同學(xué)提出了挑戰(zhàn),看你掌握知識(shí)的情況:
判斷下列各式是不是完全平方式,并說出理由。
(1)a2-4a+4 (2 )x2+4x+4y2 (3 )4a2+2ab+ b2
(4 )a2-ab+b2 (5 )x2-6x-9 (6 )a2+a+0.25
生10:第一題是完全平方式。有三項(xiàng),其中有兩項(xiàng)正且能寫成平方的形式,另一項(xiàng)是減去這兩個(gè)數(shù)的積的2倍。
…… ……
生11:第四題不是完全平方式,因?yàn)橹虚g一項(xiàng)不是兩個(gè)數(shù)的乘積的2倍。
生12:第五題是完全平方式。三項(xiàng),有兩項(xiàng)能寫成平方的形式,另一項(xiàng)也是兩個(gè)數(shù)的積的2倍。
師:其它同學(xué)同意他的意見嗎?有沒有補(bǔ)充的?
生13:這一題不是完全平方式,雖然有兩部分能寫成平方的形式,但這兩項(xiàng)不是平方和。
師:同意他的意見嗎?
生齊答:同意。
師:因此我們?cè)谟^察一個(gè)多項(xiàng)式是否符合完全平方式的特點(diǎn)時(shí),不僅要找有沒有兩項(xiàng)能夠?qū)懗善椒降男问剑瑫r(shí)還要看這兩項(xiàng)的符號(hào)是否同為正,更要看另一項(xiàng)是不是這兩數(shù)的積的2倍。像剛才的第2題和第4題都只滿足特征中的一部分。
引例講解:將下列各式分解因式。
1、x2+6x+9 2、4x2-20x+25
問題:這兩題首先怎么分析?
生14:將9改寫成32,6x正好是x與3的乘積的2倍。(學(xué)生回答,教師板書)
生15:將4x2寫成(2x)2,25寫成52,20x寫成2×2x×5
x2+6x+9=x2+2×x×3+32=(x+3)2
4x2-20x+25=(2x)2-2×2x×5+52=(2x-5)2
(聯(lián)系字母表達(dá)式用箭頭對(duì)應(yīng)表示,加深學(xué)生印象。)
師:由剛才的例子,我們同學(xué)能否發(fā)現(xiàn)將因式分解為兩數(shù)的和或差的平方,如何確定是兩數(shù)的和還是兩數(shù)的差的平方呢?
生16:由符號(hào)來決定。
師:能不能具體點(diǎn)。
生16:由中間一項(xiàng)的符號(hào)決定,就是兩個(gè)數(shù)乘積2倍這項(xiàng)的符號(hào)決定,是正,就是兩個(gè)數(shù)的和;是負(fù),就是兩個(gè)數(shù)的差。
師:總之,在分解完全平方式時(shí),要根據(jù)第二項(xiàng)的符號(hào)來選擇運(yùn)用哪一個(gè)完全平方公式。
例題1:把25x4+10x2+1分解因式。
師:這道題目能否運(yùn)用以前所學(xué)的方法分解?就題目本身有什么特點(diǎn)?可以怎么分解?
生17:題目符合完全平方式的特點(diǎn),可以將25x4改寫成(5x2)2,1就是12,10x2改寫成2×5x2×1。(此學(xué)生板演,過程略)
例題2:把-x2-4y2+4xy分解因式。
師:按照常規(guī)我們首先怎么辦?
生齊答:提取負(fù)號(hào)。〔教師板書:-(x2+4y2-4xy) 〕以下過程學(xué)生板演。
師:如果是這道題:4xy-x2-4y2 怎么分解呢?(教師改變剛才題型)
提示:從項(xiàng)的特征進(jìn)行考慮,怎樣轉(zhuǎn)化比較合理?四人小組討論。
生18:同樣還是將負(fù)號(hào)提取改變成完全平方式的形式。
師:從這里我們可以發(fā)現(xiàn),只要三項(xiàng)式中能改寫成平方的兩項(xiàng)是同號(hào),且另一項(xiàng)為兩底數(shù)積的2倍,我們都能利用這個(gè)公式分解,若這兩項(xiàng)同為正則可直接分解,若同為負(fù)則先提取負(fù)號(hào)再分解。
練習(xí)題:課本p21 練習(xí):第1題,學(xué)生板演,教師講解,學(xué)生板演的同時(shí),教師提示注意點(diǎn)、多項(xiàng)式的特征;第2題,學(xué)生口答。
例題3:把3ax2+6axy+3ay2分解因式。
師:先觀察,再選擇適當(dāng)?shù)姆椒ā#▽W(xué)生板演,教師點(diǎn)評(píng))
練習(xí):課本p22 第3題分兩組學(xué)生板演,教師評(píng)講、適當(dāng)提示注意點(diǎn)。
師:這一堂課我們一起研究了完全平方式的有關(guān)知識(shí),同學(xué)們先自查一下自己的收獲,然后請(qǐng)同學(xué)發(fā)表自己的見解。(學(xué)生小聲討論)
生甲:我學(xué)到了如何將完全平方式分解因式,遇到三項(xiàng)式中有兩項(xiàng)符號(hào)相同且能化成平方的形式,另一項(xiàng)為這兩個(gè)數(shù)的積的2倍的形式,如果能化成平方項(xiàng)是負(fù)的,首先將負(fù)號(hào)提取再分解。第二項(xiàng)是正的就是兩數(shù)的和的平方,第二項(xiàng)是負(fù)的就是兩數(shù)差的平方。
生乙:有公因式可提取的先提取公因式,然后再分解,同時(shí)根據(jù)第二項(xiàng)的符號(hào)來選用合適的公式。
教師布置課堂作業(yè) :課本p23 習(xí)題8.2 A組 4~5 偶數(shù)題
課外作業(yè) :課本p23 習(xí)題8.2 A組 4~5 奇數(shù)題
下課!
數(shù)學(xué) - 初二數(shù)學(xué)利用公式法(完全平方公式)因式分解課堂實(shí)錄
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