函數數學教案（精選16篇）
作為一位不辭辛勞的人民教師，時常需要編寫教案，教案是教學活動的總的組織綱領和行動方案。教案應該怎么寫呢？以下是小編為大家收集的函數數學教案，僅供參考，歡迎大家閱讀。
函數數學教案 1
一、教學目的
1.使學生進一步理解自變量的取值范圍和函數值的意義.
2.使學生會用描點法畫出簡單函數的圖象.
二、教學重點、難點
重點：
1.理解與認識函數圖象的意義.
2.培養學生的看圖、識圖能力.
難點：
在畫圖的三個步驟的列表中，如何恰當地選取自變量與函數的對應值問題.
三、教學過程
1.畫函數圖象的方法是描點法.其步驟：
（1）列表.要注意適當選取自變量與函數的對應值.什么叫“適當”？——這就要求能選取表現函數圖象特征的幾個關鍵點.比如畫函數y=3x的圖象，其關鍵點是原點（0，0），只要再選取另一個點如M（3，9）就可以了.
一般地，我們把自變量與函數的對應值分別作為點的橫坐標和縱坐標，這就要把自變量與函數的對應值列出表來.
（2）描點.我們把表中給出的有序實數對，看作點的坐標，在直角坐標系中描出相應的點.
（3）用光滑曲線連線.根據函數解析式比如y=3x，我們把所描的兩個點（0，0），（3，9）連成直線.
一般地，根據函數解析式，我們列表、描點是有限的幾個，只需在平面直角坐標系中，把這有限的幾個點連成表示函數的曲線（或直線）。
2.講解畫函數圖象的三個步驟和例.畫出函數y=x+0.5的圖象.
小結
本節課的重點是讓學生根據函數解析式畫函數圖象的三個步驟，自己動手畫圖.
練習：
①選用課本練習（前一節已作：列表、描點，本節要求連線）
②補充題：畫出函數y=5x－2的圖象.
作業：選用課本習題.
四、教學注意問題
1.注意滲透數形結合思想.通過研究函數的圖象，對圖象所表示的`一個變量隨另一個變量的變化而變化就更有形象而直觀的認識.把函數的解析式、列表、圖象三者結合起來，更有利于認識函數的本質特征.
2.注意充分調動學生自己動手畫圖的積極性.
3.認識到由于計算器和計算機的普及化，代替了手工繪圖功能.故在教學中要傾向培養學生看圖、識圖的能力。
函數數學教案 2
目標：
（1）能夠根據實際問題，熟練地列出二次函數關系式，并求出函數的自變量的取值范圍。
（2）注重學生參與，聯系實際，豐富學生的感性認識，培養學生的良好的學習習慣
重點難點：
能夠根據實際問題，熟練地列出二次函數關系式，并求出函數的自變量的取值范圍。
過程：
一、試一試
1.設矩形花圃的垂直于墻的一邊AB的長為xm，先取x的一些值，算出矩形的另一邊BC的長，進而得出矩形的面積ym2.試將計算結果填寫在下表的空格 中，
AB長x(m)123456789
BC長(m)12
面積y(m2)48
2.x的值是否可以任意取?有限定范圍嗎?
3.我們發現，當AB的長(x)確定后，矩形的面積(y)也隨之確定， y是x的函數，試寫出這個函數的關系式，
對于1.，可讓學生根據表中給出的AB的'長，填出相應的BC的長和面積，然后引導學生觀察表格中數據的變化情況，提出問題：(1)從所填表格中，你能發現什么？
(2)對前面提出的問題的解答能作出什么猜想?讓學生思考、交流、發表意見，達成共識：當AB的長為5cm，BC的長為10m時，圍成的矩形面積最大；最大面積為50m2。
對于2，可讓學生分組討論、交流，然后各組派代表發表意見。形成共識，x的值不可以任意取，有限定范圍，其范圍是0 ＜x ＜10。
對于3，教師可提出問題。
(1)當AB=xm時，BC長等于多少m?
(2)面積y等于多少?并指出y=x(20－2x)(0 ＜x ＜10)就是所求的函數關系式.
二、提出問題
某商店將每 件進價為8元的某種商品按每件10元出售，一天可銷出約100件.該店想通過降低售價、增加銷售量的辦法來提高利潤，經過市場調查，發現這種商品單價每降低0.1元，其銷售量可增加10件。將這種商品的售價降低多少時，能使銷售利潤最大?
在這個問題中，可提出如下問題供學生思考并 回答：
1.商品的利潤與售價、進價以及銷售量之間有什么關系?
2.如果不降低售價，該商品每件利潤是多少元?一天總的利潤是多 少元?
3.若每件商品降價x元，則每件商品的利潤是多少元?一天可銷售約多少件商品?
4.x的值是否可以任意取?如果不能任意取，請求出它的范圍，
5.若設該商品每天的利潤為y元，求y與x的函數關系式。
將函數關系式y=x(20－2x)(0 ＜x ＜10＝化為：
y=－2x2＋20x (0＜x＜10)……………………………(1)
將函數關系式y=(10－8－x)(100＋100x)(0≤x≤2)化為：
y =－100x2＋100x＋20D (0≤x≤2)……………………(2)
三、觀察；概括
1.教師引導學生觀察函數關系式(1)和(2)，提出以下問題讓學生思考回答；
(1)函數關系式(1)和(2)的自變量各有幾個?
(各有1個)
(2)多項式－2x2＋20和－100x2＋100x＋200分別是幾次多項式?
(分別是二次多項式 )
(3)函數關系式(1)和(2)有什么共同特點?
(都是用自變量的二次多項式來表示的)
(4)本章導圖中的問題以及P1頁的問題2有什么共同特點 ？
讓學生討論、交流，發表意見，歸結為：自變量x為何值時，函數y取得最大值。
2.二次函數定義：形如y=ax2＋bx＋c (a、b、c是常數，a≠0)的函數叫做x的二次函數，a叫做二次函數的系數，b叫做一次項的系數，c叫作常數項.
四、課堂練習
1.(口答)下列函數中，哪些是二次函數?
(1)y= 5x＋1 (2)y=4x2－1
(3)y=2x3－3x2 (4)y=5x4－3x＋1
2.P3練習第1，2題。
五、小結
1.請敘述二次函數的定義.
2.許多實際問題可以轉化為二次函數來解決，請你聯系生活實 際，編一道二次函數應用題，并寫出函數關系式。
函數數學教案 3
三維目標
一、知識與技能
1.能靈活列反比例函數表達式解決一些實際問題.
2.能綜合利用物理杠桿知識、反比例函數的知識解決一些實際問題.
二、過程與方法
1.經歷分析實際問題中變量之間的關系，建立反比例函數模型，進而解決問題.
2. 體會數學與現實生活的緊密聯系，增強應用意識，提高運用代數方法解決問題的能力.
三、情感態度與價值觀
1.積極參與交流，并積極發表意見.
2.體驗反比例函數是有效地描述物理世界的重要手段，認識到數學是解決實際問題和進行交流的重要工具.
教學重點
掌握從物理問題中建構反比例函數模型.
教學難點
從實際問題中尋找變量之間的關系，關鍵是充分運用所學知識分析物理問題，建立函數模型，教學時注意分析過程，滲透數形結合的思想.
教具準備
多媒體課件.
教學過程
一、創設問題情境，引入新課
活動1
問 屬：在物理學中，有很多量之間的變化是反比例函數的關系，因此，我們可以借助于反比例函數的圖象和性質解決一些物理學中的問題，這也稱為跨學科應用.下面的例子就是其中之一.
在某一電路中，保持電壓不變，電流I(安培)和電阻R(歐姆)成反比例，當電阻R＝5歐姆時，電流I＝2安培.
(1)求I與R之間的函數關系式；
(2)當電流I＝0.5時，求電阻R的值.
設計意圖：
運用反比例函數解決物理學中的一些相關問題，提高各學科相互之間的綜合應用能力.
師生行為：
可由學生獨立思考，領會反比例函數在物理學中的綜合應用.
教師應給“學困生”一點物理學知識的引導.
師：從題目中提供的信息看變量I與R之間的反比例函數關系，可設出其表達式，再由已知條件(I與R的一對對應值)得到字母系數k的值.
生：(1)解：設I＝kR ∵R＝5，I＝2，于是
2＝k5 ，所以k＝10，∴I＝10R .
(2) 當I＝0.5時，R＝10I＝100.5 ＝20(歐姆).
師：很好!“給我一個支點，我可以把地球撬動.”這是哪一位科學家的名言?這里蘊涵著什么 樣的原理呢?
生：這是古希臘科學家阿基米德的名言.
師：是的公元前3世紀，古希臘科學家阿基米德發現了著名的“杠桿定律”： 若兩物體與支點的距離反比于其重量，則杠桿平衡，通俗一點可以描述為；
阻力×阻力臂＝動力×動力臂(如下圖)
下面我們就來看一例子.
二、講授新課
活動2
小偉欲用撬棍橇動一塊大石頭，已知阻力和阻力臂不變，分別為1200牛頓和0.5米.
(1)動力F與動力臂l有怎樣的函數關系?當動力臂為1.5米時，撬動石頭至少需要多大的力?
(2)若想使動力F不超過題(1)中所用力的一半，則動力臂至少要加長多少?
設計意圖：
物理學中的很多量之間的變化是反比例函數關系.因此，在這兒又一次借助反比例函數的圖象和性質解決一些物理學中的問題，即跨學科綜合應用.
師生行為：
先由學生根據“杠桿定律”解決上述問題.
教師可引導學生揭示“杠桿乎衡”與“反比例函數”之間的關系.
教師在此活動中應重點關注：
①學生能否主動用“杠桿定律”中杠桿平衡的條件去理解實際問題，從而建立與反比例函數的關系；
②學生能否面對困難，認真思考，尋找解題的途徑；
③學生能否積極主動地參與數學活動，對數學和物理有著濃厚的興趣.
師：“撬動石頭”就意味著達到了“杠桿平衡”，因此可用“杠桿定律”來解決此問題.
生：解：
(1)根據“杠桿定律” 有Fl＝1200×0.5.得F ＝600l
當l＝1.5時，F＝6001.5 ＝400.
因此，撬動石頭至少需要400牛頓的力.
(2)若想使動力F不超過題(1)中所用力的一半，即不超過200牛，根據“杠桿定律”有
Fl＝600，
l＝600F .
當F＝400×12 ＝200時，
l＝600200 ＝3.
3－1.5＝1.5(米)
因此，若想用力不超過400牛頓的一半，則動力臂至少要如長1.5米.
生：也可用不等式來解，如下：
Fl＝600，F＝600l .
而F≤400×12 ＝200時.
600l ≤200
l≥3.
所以l－1.5≥3－1.5＝1.5.
即若想用力不超過400牛頓的一半，則動力臂至少要加長1.5米.
生：還可由函數圖象，利用反比例函數的'性質求出.
師：很棒!請同學們下去親自畫出圖象完成，現在請同學們思考下列問題：
用反比例函數的知識解釋：在我們使用橇棍時，為什么動力臂越長越省力?
生：因為阻力和阻力臂不變，設動力臂為l，動力為F，阻力×阻力臂＝k(常數且k＞0)，所以根據“杠桿定理”得Fl＝k，即F＝kl (k為常數且k＞0)
根據反比例函數的性質，當k＞O時，在第一象限F隨l的增大而減小，即動力臂越長越省力.
師：其實反比例函數在實際運用中非常廣泛.例如在解決經濟預算問題中的應用.
活動3
問題：某地上年度電價為0.8元，年用電量為1億度，本年度計劃將電價調至0.55～0.75元之間，經測算，若電價調至x元，則本年度新增用電量y(億度)與(x－0.4)元成反比例.又當x＝0.65元時，y＝0.8.(1)求y與x之間的函數關系式；
(2)若每度電的成本價0.3元，電價調至0.6元，請你預算一下本年度電力部門的純收人多少?
設計意圖：
在生活中各部門，經常遇到經濟預算等問題，有時關系到因素之間是反比例函數關系，對于此類問題我們往往由題目提供的信息得到變量之間的函數關系式，進而用函數關系式解決一個具體問題.
師生行為：
由學生先獨立思考，然后小組內討論完成.
教師應給予“學困生”以一定的幫助.
生：解：(1)∵y與x －0.4成反比例，
∴設y＝kx－0.4 (k≠0).
把x＝0.65，y＝0.8代入y＝kx－0.4 ，得
k0.65－0.4 ＝0.8.
解得k＝0.2，
∴y＝0.2x－0.4＝15x－2
∴y與x之間的函數關系為y＝15x－2
(2)根據題意，本年度電力部門的純收入為
(0.6－0.3)(1＋y)＝0.3(1＋15x－2 )＝0.3(1＋10.6×5－2 )＝0.3×2＝0.6(億元)
答：本年度的純收人為0.6億元，
師生共析：
(1)由題目提供的信息知y與(x－0.4)之間是反比例函數關系，把x－0.4看成一個變量，于是可設出表達式，再由題目的條件x＝0.65時，y＝0.8得出字母系數的值；
(2)純收入＝總收入－總成本.
三、鞏固提高
活動4
一定質量的二氧化碳氣體，其體積y(m3)是密度ρ(kg／m3)的反比例函數，請根據下圖中的已知條件求出當密度ρ＝1.1 kg／m3時二氧化碳氣體的體積V的值.
設計意圖：
進一步體現物理和反比例函數的關系.
師生行為
由學生獨立完成，教師講評.
師：若要求出ρ＝1.1 kg／m3時，V的值，首先V和ρ的函數關系.
生：V和ρ的反比例函數關系為：V＝990ρ .
生：當ρ＝1.1kg／m3根據V＝990ρ ，得
V＝990ρ ＝9901.1 ＝900(m3).
所以當密度ρ＝1. 1 kg／m3時二氧化碳氣體的氣體為900m3.
四、課時小結
活動5
你對本節內容有哪些認識?重點掌握利用函數關系解實際問題，首先列出函數關系式，利用待定系數法求出解 析式，再根據解析式解得.
設計意圖：
這種形式的小結，激發了學生的主動參與意識，調動了學生的學習興趣，為每一位學生都創造了在數學學習活動中獲得成功的體驗機會，并為程度不同的學生提供了充分展示自己的機會，尊重學生的個體差異，滿足多樣化的學習需要，從而使小結不流于形式而具有實效性.
師生行為：
學生可分小組活動，在小組內交流收獲， 然后由小組代表在全班交流.
教師組織學生小結.
反比例函數與現實生活聯系非常緊密，特別是為討論物理中的一些量之間的關系打下了良好的基礎.用數學模型的解釋物理量之間的關系淺顯易懂，同時不僅要注意跨學科間的綜合，而本學科知識間的整合也尤為重要，例如方程、不等式、函數之間的不可分割的關系.
板書設計
17.2 實際問題與反比例函數(三)
1.
2.用反比例函數的知識解釋：在我們使 用撬棍時，為什么動 力臂越長越省力?
設阻力為F1，阻力臂長為l1，所以F1×l1＝k(k為常數且k＞0).動力和動力臂分別為F，l.則根據杠桿定理，
Fl＝k 即F＝kl (k＞0且k為常數).
由此可知F是l的反比例函數，并且當k＞0時，F隨l的增大而減小.
活動與探究
學校準備在校園內修建一個矩形的綠化帶，矩形的面積為定值，它的一邊y與另一邊x之間的函數關系式如下圖所示.
(1)綠化帶面積是多少?你能寫出這一函數表達式嗎?
(2)完成下表，并回答問題：如果該綠化帶的長不得超過40m，那么它的寬應控制在什么范圍內?
x(m) 10 20 30 40
y(m)
過程：點A(40，10)在反比例函數圖象上說明點A的橫縱坐標滿足反比例函數表達式，代入可求得反比例函數k的值.
結果：(1)綠化帶面積為10×40＝400(m2)
設該反比例函數的表達式為y＝kx ，
∵圖象經過點A(40，10)把x＝40，y＝10代入，得10＝k40 ，解得，k＝400.
∴函數表達式為y＝400x .
(2)把x＝10，20，30，40代入表達式中，求得y分別為40，20，403 ，10.從圖中可以看出。若長不超過40m，則它的寬應大于等于10m。
函數數學教案 4
案例背景：
對數函數是函數中又一類重要的基本初等函數，它是在學生已經學過對數與常用對數，反函數以及指數函數的基礎上引入的故是對上述知識的應用，也是對函數這一重要數學思想的進一步認識與理解.對數函數的概念，圖象與性質的學習使學生的知識體系更加完整，系統，同時又是對數和函數知識的拓展與延伸.它是解決有關自然科學領域中實際問題的重要工具，是學生今后學習對數方程，對數不等式的基礎.
案例敘述：
(一).創設情境
(師)：前面的幾種函數都是以形式定義的方式給出的，今天我們將從反函數的角度介紹新的函數.
反函數的實質是研究兩個函數的關系，所以自然我們應從大家熟悉的函數出發，再研究其反函數.這個熟悉的函數就是指數函數.
(提問)：什么是指數函數?指數函數存在反函數嗎?
(學生)： 是指數函數，它是存在反函數的
(師)：求反函數的步驟
(由一個學生口答求反函數的過程)：
由 得 .又 的值域為 ，
所求反函數為 .
(師)：那么我們今天就是研究指數函數的反函數-----對數函數.
(二)新課
1.(板書) 定義：函數 的反函數 叫做對數函數.
(師)：由于定義就是從反函數角度給出的，所以下面我們的研究就從這個角度出發.如從定義中你能了解對數函數的什么性質嗎?最初步的認識是什么?
(教師提示學生從反函數的三定與三反去認識，學生自主探究，合作交流)
(學生)對數函數的定義域為 ，對數函數的值域為 ，且底數 就是指數函數中的 ，故有著相同的限制條件 .
(在此基礎上，我們將一起來研究對數函數的圖像與性質.)
2.研究對數函數的圖像與性質
(提問)用什么方法來畫函數圖像?
(學生1)利用互為反函數的兩個函數圖像之間的關系，利用圖像變換法畫圖.
(學生2)用列表描點法也是可以的。
請學生從中上述方法中選出一種，大家最終確定用圖像變換法畫圖.
(師)由于指數函數的圖像按 和 分成兩種不同的類型，故對數函數的圖像也應以1為分界線分成兩種情況 和 ，并分別以 和 為例畫圖.
具體操作時，要求學生做到：
(1) 指數函數 和 的圖像要盡量準確(關鍵點的位置，圖像的變化趨勢等).
(2) 畫出直線 .
(3) 的圖像在翻折時先將特殊點 對稱點 找到，變化趨勢由靠近 軸對稱為逐漸靠近 軸，而 的圖像在翻折時可提示學生分兩段翻折，在 左側的先翻，然后再翻在 右側的.部分.
學生在筆記本完成具體操作，教師在學生完成后將關鍵步驟在黑板上演示一遍，畫出
和 的圖像.(此時同底的指數函數和對數函數畫在同一坐標系內)如圖：
教師畫完圖后再利用電腦將 和 的圖像畫在同一坐標系內，如圖：
然后提出讓學生根據圖像說出對數函數的性質(要求從幾何與代數兩個角度說明)
3. 性質
(1) 定義域：
(2) 值域：
由以上兩條可說明圖像位于 軸的右側.
(3)圖像恒過(1，0)
(4) 奇偶性：既不是奇函數也不是偶函數，即它不關于原點對稱，也不關于 軸對稱.
(5) 單調性：與 有關.當 時，在 上是增函數.即圖像是上升的
當 時，在 上是減函數，即圖像是下降的
之后可以追問學生有沒有最大值和最小值，當得到否定答案時，可以再問能否看待何時函數值為正?學生看著圖可以答出應有兩種情況：
當 時，有 ;當 時，有 .
學生回答后教師可指導學生巧記這個結論的方法：當底數與真數在1的同側時函數值為正，當底數與真數在1的兩側時，函數值為負，并把它當作第(6)條性質板書記下來.
最后教師在總結時，強調記住性質的關鍵在于要腦中有圖.且應將其性質與指數函數的性質對比記憶.(特別強調它們單調性的一致性)
對圖像和性質有了一定的了解后，一起來看看它們的應用.
(三).簡單應用
1. 研究相關函數的性質
例1. 求下列函數的定義域：
(1) (2) (3)
先由學生依次列出相應的不等式，其中特別要注意對數中真數和底數的條件限制.
2. 利用單調性比較大小
例2. 比較下列各組數的大小
(1) 與 ; (2) 與 ;
(3) 與 ; (4) 與 .
讓學生先說出各組數的特征即它們的底數相同，故可以構造對數函數利用單調性來比大小.最后讓學生以其中一組為例寫出詳細的比較過程.
三.拓展練習
練習：若 ，求 的取值范圍.
四.小結及作業
案例反思：
本節的教學重點是理解對數函數的定義，掌握對數函數的圖象性質.難點是利用指數函數的圖象和性質得到對數函數的圖象和性質.由于對數函數的概念是一個抽象的形式，學生不易理解，而且又是建立在指數與對數關系和反函數概念的基礎上，通過互為反函數的兩個函數的關系由已知函數研究未知函數的性質，這種方法是第一次使用，學生不適應，把握不住關鍵，因而在教學上采取教師逐步引導，學生自主合作的方式，從學生熟悉的指數問題出發，通過對指數函數的認識逐步轉化為對對數函數的認識，而且畫對數函數圖象時，既要考慮到對底數的分類討論而且對每一類問題也可以多選幾個不同的底，畫在同一個坐標系內，便于觀察圖象的特征，找出共性，歸納性質.
在教學中一定要讓學生動手做，動腦想，大膽猜，要以學生的研究為主，教師只是不斷地以反函數這條主線引導學生思考的方向.這樣既增強了學生的參與意識又教給他們思考問題的方法，獲取知識的途徑，使學生學有所思，思有所得，練有所獲，從而提高學習興趣.
函數數學教案 5
教學目標
1.使學生理解函數單調性的概念，并能判斷一些簡單函數在給定區間上的單調性.
2.通過函數單調性概念的教學，培養學生分析問題、認識問題的能力.通過例題培養學生利用定義進行推理的邏輯思維能力.
3.通過本節課的教學，滲透數形結合的數學思想，對學生進行辯證唯物主義的教育.
教學重點與難點
教學重點：函數單調性的概念.
教學難點：函數單調性的判定.
教學過程設計
一、引入新課
師：請同學們觀察下面兩組在相應區間上的函數，然后指出這兩組函數之間在性質上的主要區別是什么？
（用投影幻燈給出兩組函數的圖象.）
第一組：
第二組：
生：第一組函數，函數值y隨x的增大而增大；第二組函數，函數值y隨x的增大而減小.
師：（手執投影棒使之沿曲線移動）對.他（她）答得很好，這正是兩組函數的主要區別.當x變大時，第一組函數的函數值都變大，而第二組函數的函數值都變小.雖然在每一組函數中，函數值變大或變小的方式并不相同，但每一組函數卻具有一種共同的性質.我們在學習一次函數、二次函數、反比例函數以及冪函數時，就曾經根據函數的圖象研究過函數的函數值隨自變量的變大而變大或變小的性質.而這些研究結論是直觀地由圖象得到的在函數的集合中，有很多函數具有這種性質，因此我們有必要對函數這種性質作更進一步的一般性的討論和研究，這就是我們今天這一節課的內容.
（點明本節課的內容，既是曾經有所認識的，又是新的知識，引起學生的注意.）
二、對概念的分析
（板書課題：）
師：請同學們打開課本第51頁，請××同學把增函數、減函數、單調區間的定義朗讀一遍.
（學生朗讀.）
師：好，請坐.通過剛才閱讀增函數和減函數的定義，請同學們思考一個問題：這種定義方法和我們剛才所討論的函數值y隨自變量x的增大而增大或減小是否一致？如果一致，定義中是怎樣描述的？
生：我認為是一致的定義中的“當x1＜x2時，都有f（x1）＜f（x2）”描述了y隨x的增大而增大；“當x1＜x2時，都有f（x1）＞f（x2）”描述了y隨x的增大而減少.
師：說得非常正確.定義中用了兩個簡單的不等關系“x1＜x2”和“f（x1）＜f（x2）或f（x1）＞f（x2）”，它刻劃了函數的單調遞增或單調遞減的性質.這就是數學的魅力！
（通過教師的情緒感染學生，激發學生學習數學的興趣.）
師：現在請同學們和我一起來看剛才的兩組圖中的第一個函數y=f1（x）和y=f2（x）的圖象，體會這種魅力.
（指圖說明.）
師：圖中y=f1（x）對于區間[a，b]上的任意x1，x2，當x1＜x2時，都有f1（x1）＜f1（x），因此y=f1（x）在區間[a，b]上是單調遞增的，區間[a，b]是函數y=f1（x）的單調增區間；而圖中y=f2（x）對于區間[a，b]上的任意x1，x2，當x1＜x2時，都有f2（x1）＞f2（x2），因此y=f2（x）在區間[a，b]上是單調遞減的，區間[a，b]是函數y=f2（x）的單調減區間.
（教師指圖說明分析定義，使學生把函數單調性的定義與直觀圖象結合起來，使新舊知識融為一體，加深對概念的理解.滲透數形結合分析問題的數學思想方法.）
師：因此我們可以說，增函數就其本質而言是在相應區間上較大的自變量對應……
（不把話說完，指一名學生接著說完，讓學生的思維始終跟著老師.）
生：較大的函數值的函數.
師：那么減函數呢？
生：減函數就其本質而言是在相應區間上較大的自變量對應較小的函數值的函數.
（學生可能回答得不完整，教師應指導他說完整.）
師：好.我們剛剛以增函數和減函數的定義作了初步的分析，通過閱讀和分析你認為在定義中我們應該抓住哪些關鍵詞語，才能更透徹地認識定義？
（學生思索.）
學生在高中階段以至在以后的學習中經常會遇到一些概念（或定義），能否抓住定義中的關鍵詞語，是能否正確地、深入地理解和掌握概念的重要條件，更是學好數學及其他各學科的重要一環.因此教師應該教會學生如何深入理解一個概念，以培養學生分析問題，認識問題的能力.
（教師在學生思索過程中，再一次有感情地朗讀定義，并注意在關鍵詞語處適當加重語氣.在學生感到無從下手時，給以適當的提示.）
生：我認為在定義中，有一個詞“給定區間”是定義中的關鍵詞語.
師：很好，我們在學習任何一個概念的時候，都要善于抓住定義中的關鍵詞語，在學習幾個相近的概念時還要注意區別它們之間的不同.增函數和減函數都是對相應的區間而言的，離開了相應的區間就根本談不上函數的增減性.請大家思考一個問題，我們能否說一個函數在x=5時是遞增或遞減的？為什么？
生：不能.因為此時函數值是一個數.
師：對.函數在某一點，由于它的函數值是唯一確定的常數（注意這四個字“唯一確定”），因而沒有增減的變化.那么，我們能不能脫離區間泛泛談論某一個函數是增函數或是減函數呢？你能否舉一個我們學過的例子？
生：不能.比如二次函數y=x2，在y軸左側它是減函數，在y軸右側它是增函數.因而我們不能說y=x2是增函數或是減函數.
（在學生回答問題時，教師板演函數y=x2的'圖像，從“形”上感知.）
師：好.他（她）舉了一個例子來幫助我們理解定義中的詞語“給定區間”.這說明是函數在某一個區間上的性質，但這不排斥有些函數在其定義域內都是增函數或減函數.因此，今后我們在談論函數的增減性時必須指明相應的區間.
師：還有沒有其他的關鍵詞語？
生：還有定義中的“屬于這個區間的任意兩個”和“都有”也是關鍵詞語.
師：你答的很對.能解釋一下為什么嗎？
（學生不一定能答全，教師應給予必要的提示.）
師：“屬于”是什么意思？
生：就是說兩個自變量x1，x2必須取自給定的區間，不能從其他區間上取.
師：如果是閉區間的話，能否取自區間端點？
生：可以.
師：那么“任意”和“都有”又如何理解？
生：“任意”就是指不能取特定的值來判斷函數的增減性，而“都有”則是說只要x1＜x2，f（x1）就必須都小于f（x2），或f（x1）都大于f（x2）.
師：能不能構造一個反例來說明“任意”呢？
（讓學生思考片刻.）
生：可以構造一個反例.考察函數y=x2，在區間[-2，2]上，如果取兩個特定的值x1=-2，x2=1，顯然x1＜x2，而f（x1）=4，f（x2）=1，有f（x1）＞f（x2），若由此判定y=x2是[-2，2]上的減函數，那就錯了.
師：那么如何來說明“都有”呢？
生：y=x2在[-2，2]上，當x1=-2，x2=-1時，有f（x1）＞f（x2）；當x1=1，x2=2時，有f（x1）＜f（x2），這時就不能說y=x2，在[-2，2]上是增函數或減函數.
師：好極了！通過分析定義和舉反例，我們知道要判斷函數y=f（x）在某個區間內是增函數或減函數，不能由特定的兩個點的情況來判斷，而必須嚴格依照定義在給定區間內任取兩個自變量x1，x2，根據它們的函數值f（x1）和f（x2）的大小來判定函數的增減性.
（教師通過一系列的設問，使學生處于積極的思維狀態，從抽象到具體，并通過反例的反襯，使學生加深對定義的理解.在概念教學中，反例常常幫助學生更深刻地理解概念，鍛煉學生的發散思維能力.）
師：反過來，如果我們已知f（x）在某個區間上是增函數或是減函數，那么，我們就可以通過自變量的大小去判定函數值的大小，也可以由函數值的大小去判定自變量的大小.即一般成立則特殊成立，反之，特殊成立，一般不一定成立.這恰是辯證法中一般和特殊的關系.
（用辯證法的原理來解釋數學知識，同時用數學知識去理解辯證法的原理，這樣的分析，有助于深入地理解和掌握概念，分清概念的內涵和外延，培養學生學習的能力.）
三、概念的應用
例1 圖4所示的是定義在閉區間[-5，5]上的函數f（x）的圖象，根據圖象說出f（x）的單調區間，并回答：在每一個單調區間上，f（x）是增函數還是減函數？
（用投影幻燈給出圖象.）
生甲：函數y=f（x）在區間[-5，-2]，[1，3]上是減函數，因此[-5，-2]，[1，3]是函數y=f（x）的單調減區間；在區間[-2，1]，[3，5]上是增函數，因此[-2，1]，[3，5]是函數y=f（x）的單調增區間.
生乙：我有一個問題，[-5，-2]是函數f（x）的單調減區間，那么，是否可認為（-5，-2）也是f（x）的單調減區間呢？
師：問得好.這說明你想的很仔細，思考問題很嚴謹.容易證明：若f（x）在[a，b]上單調（增或減），則f（x）在（a，b）上單調（增或減）.反之不然，你能舉出反例嗎？一般來說.若f（x）在[a，（增或減）.反之不然.
例2 證明函數f（x）=3x+2在（-∞，+∞）上是增函數.
師：從函數圖象上觀察固然形象，但在理論上不夠嚴格，尤其是有些函數不易畫出圖象，因此必須學會根據解析式和定義從數量上分析辨認，這才是我們研究函數單調性的基本途徑.
（指出用定義證明的必要性.）
師：怎樣用定義證明呢？請同學們思考后在筆記本上寫出證明過程.
（教師巡視，并指定一名中等水平的學生在黑板上板演.學生可能會對如何比較f（x1）和f（x2）的大小關系感到無從入手，教師應給以啟發.）
師：對于f（x1）和f（x2）我們如何比較它們的大小呢？我們知道對兩個實數a，b，如果a＞b，那么它們的差a-b就大于零；如果a=b，那么它們的差a—b就等于零；如果a＜b，那么它們的差a-b就小于零，反之也成立.因此我們可由差的符號來決定兩個數的大小關系.
生：（板演）設x1，x2是（-∞，+∞）上任意兩個自變量，當x1＜x2時，
f（x1）-f（x2）=（3x1+2）-（3x2+2）=3x1-3x2=3（x1-x2）＜0，
所以f（x）是增函數.
師：他的證明思路是清楚的一開始設x1，x2是（-∞，+∞）內任意兩個自變量，并設x1＜x2（邊說邊用彩色粉筆在相應的語句下劃線，并標注“①→設”），然后看f（x1）-f（x2），這一步是證明的關鍵，再對式子進行變形，一般方法是分解因式或配成完全平方的形式，這一步可概括為“作差，變形”（同上，劃線并標注”②→作差，變形”）.但美中不足的是他沒能說明為什么f（x1）-f（x2）＜0，沒有用到開始的假設“x1＜x2”，不要以為其顯而易見，在這里一定要對變形后的式子說明其符號.應寫明“因為x1＜x2，所以x1-x2＜0，從而f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）.”這一步可概括為“定符號”（在黑板上板演，并注明“③→定符號”）.最后，作為證明題一定要有結論，我們把它稱之為第四步“下結論”（在相應位置標注“④→下結論”）.
這就是我們用定義證明函數增減性的四個步驟，請同學們記住.需要指出的是第二步，如果函數y=f（x）在給定區間上恒大于零，也可以小.
（對學生的做法進行分析，把證明過程步驟化，可以形成思維的定勢.在學生剛剛接觸一個新的知識時，思維定勢對理解知識本身是有益的，同時對學生養成一定的思維習慣，形成一定的解題思路也是有幫助的）
調函數嗎？并用定義證明你的結論.
師：你的結論是什么呢？
上都是減函數，因此我覺得它在定義域（-∞，0）∪（0，+∞）上是減函數.
生乙：我有不同的意見，我認為這個函數不是整個定義域內的減函數，因為它不符合減函數的定義.比如取x1∈（-∞，0），取x2∈（0，+∞），x1＜x2顯然成立，而f（x1）＜0，f（x2）＞0，顯然有f（x1）＜f（x2），而不是f（x1）＞f（x2），因此它不是定義域內的減函數.
生：也不能這樣認為，因為由圖象可知，它分別在（-∞，0）和（0，+∞）上都是減函數.
域內的增函數，也不是定義域內的減函數，它在（-∞，0）和（0，+∞）每一個單調區間內都是減函數.因此在函數的幾個單調增（減）區間之間不要用符號“∪”連接.另外，x=0不是定義域中的元素，此時不要寫成閉區間.
上是減函數.
（教師巡視.對學生證明中出現的問題給予點拔.可依據學生的問題，給出下面的提示：
（1）分式問題化簡方法一般是通分.
（2）要說明三個代數式的符號：k，x1·x2，x2-x1.
要注意在不等式兩邊同乘以一個負數的時候，不等號方向要改變.
對學生的解答進行簡單的分析小結，點出學生在證明過程中所出現的問題，引起全體學生的重視.）
四、課堂小結
師：請同學小結一下這節課的主要內容，有哪些是應該特別注意的？
（請一個思路清晰，善于表達的學生口述，教師可從中給予提示.）
生：這節課我們學習了函數單調性的定義，要特別注意定義中“給定區間”、“屬于”、“任意”、“都有”這幾個關鍵詞語；在寫單調區間時不要輕易用并集的符號連接；最后在用定義證明時，應該注意證明的四個步驟.
五、作業
1.課本P53練習第1，2，3，4題.
數.
=a（x1-x2）（x1+x2）+b（x1-x2）
=（x1-x2）[a（x1+x2）+b].（*）
+b＞0.由此可知（*）式小于0，即f（x1）＜f（x2）.
課堂教學設計說明
是函數的一個重要性質，是研究函數時經常要注意的一個性質.并且在比較幾個數的大小、對函數作定性分析、以及與其他知識的綜合應用上都有廣泛的應用.對學生來說，早已有所知，然而沒有給出過定義，只是從直觀上接觸過這一性質.學生對此有一定的感性認識，對概念的理解有一定好處，但另一方面學生也會覺得是已經學過的知識，感覺乏味.因此，在設計教案時，加強了對概念的分析，希望能夠使學生認識到看似簡單的定義中有不少值得去推敲、去琢磨的東西，其中甚至包含著辯證法的原理.
另外，對概念的分析是在引進一個新概念時必須要做的，對概念的深入的正確的理解往往是學生認知過程中的難點.因此在本教案的設計過程中突出對概念的分析不僅僅是為了分析函數單調性的定義，而且想讓學生對如何學會、弄懂一個概念有初步的認識，并且在以后的學習中學有所用.
還有，使用函數單調性定義證明是一個難點，學生剛剛接觸這種證明方法，給出一定的步驟是必要的，有利于學生理解概念，也可以對學生掌握證明方法、形成證明思路有所幫助.另外，這也是以后要學習的不等式證明方法中的比較化的基本思路，現在提出要求，對今后的教學作一定的鋪墊.
函數數學教案 6
教學目標
(一)知道函數圖象的意義;
(二)能畫出簡單函數的圖象，會列表、描點、連線;
(三)能從圖象上由自變量的值求出對應的函數的近似值。
教學重點和難點
重點：認識函數圖象的意義，會對簡單的函數列表、描點、連線畫出函數圖象。
難點：對已恬圖象能讀圖、識圖，從圖象解釋函數變化關系。
教學過程設計
(一)復習
1.什么叫函數?
2.什么叫平面直角坐標系?
3.在坐標平面內，什么叫點的橫坐標?什么叫點的縱坐標?
4.如果點A的橫坐標為3，縱坐標為5，請用記號表示A(3，5).
5.請在坐標平面內畫出A點。
6.如果已知一個點的坐標，可在坐標平面內畫出幾個點?反過來，如果坐標平面內的一個點確定，這個點的`坐標有幾個?這樣的點和坐標的對應關系，叫做什么對應?(答：叫做坐標平面內的點與有序實數對一一對應)
(二)新課
我們在前幾節課已經知道，函數關系可以用解析式表示，像y=2x+1就表示以x 為自變量時，y是x的函數。
這個函數關系中，y與x的函數。
這個函數關系中，y與x的對應關系，我們還可通知在坐標平面內畫出圖象的方法來表示。
函數數學教案 7
教學目標：
知識目標：
1、初步掌握函數概念，能判斷兩個變量間的關系是否可看作函數。
2、根據兩個變量間的關系式，給定其中一個量，相應地會求出另一個量的值。
3、會對一個具體實例進行概括抽象成為數學問題。
能力目標：
1、通過函數概念，初步形成學生利用函數的觀點認識現實世界的意識和能力。
2、經歷具體實例的抽象概括過程，進一步發展學生的抽象思維能力。
情感目標：
1、經歷函數概念的抽象概括過程，體會函數的模型思想。
2、讓學生主動地從事觀察、操作、交流、歸納等探索活動，形成自己對數學知識的理解和有效的學習模式。
教學重點：
掌握函數概念。
判斷兩個變量之間的關系是否可看作函數。
能把實際問題抽象概括為函數問題。
教學難點：
理解函數的概念。
能把實際問題抽象概括為函數問題。
教學過程設計：
一、創設問題情境，導入新課
『師』：同學們，你們看下圖上面那個像車輪狀的'物體是什么？
『生』：摩天輪。
『師』：你們坐過嗎？
『師』：當你坐在摩天輪上時，人的高度隨時在變化，那么變化是否有規律呢？
『生』：應該有規律。因為人隨輪一直做圓周運動。所以人的高度過一段時間就會重復依次，即轉動一圈高度就重復一次。
『師』：分析有道理。摩天輪上一點的高度h與旋轉時間t之間有一定的關系。請看下圖，反映了旋轉時間t（分）與摩天輪上一點的高度h（米）之間的關系。
大家從圖上可以看出，每過6分鐘摩天輪就轉一圈。高度h完整地變化一次。而且從圖中大致可以判斷給定的時間所對應的高度h。下面根據圖5－1進行填表：
t/分 0 1 2 3 4 5 …… h/米
t/分 0 1 2 3 4 5 …… h/米 3 11 37 45 37 11 ……
『師』：對于給定的時間t，相應的高度h確定嗎？
『生』：確定。
『師』：在這個問題中，我們研究的對象有幾個？分別是什么？
『生』：研究的對象有兩個，是時間t和高度h。
『師』：生活中充滿著許許多多變化的量，你了解這些變量之間的關系嗎？如：彈簧的長度與所掛物體的質量，路程的距離與所用時間……了解這些關系，可以幫助我們更好地認識世界。下面我們就去研究一些有關變量的問題。
二、新課學習
做一做
（1）瓶子或罐子盒等圓柱形的物體，常常如下圖那樣堆放，隨著層數的增加，物體的總數是如何變化的？
填寫下表：
層數n 1 2 3 4 5 … 物體總數y 1 3 6 10 15 … 『師』：在這個問題中的變量有幾個？分別師什么？
『生』：變量有兩個，是層數與圓圈總數。
（2）在平整的路面上，某型號汽車緊急剎車后仍將滑行S米，一般地有經驗公式，其中V表示剎車前汽車的速度（單位：千米/時）
①計算當fenbie為50，60，100時，相應的滑行距離S是多少？
②給定一個V值，你能求出相應的S值嗎？
解：略
議一議
『師』：在上面我們研究了三個問題。下面大家探討一下，在這三個問題中的共同點是什么？不同點又是什么？
『生』：相同點是：這三個問題中都研究了兩個變量。
不同點是：在第一個問題中，是以圖象的形式表示兩個變量之間的關系；第二個問題中是以表格的形式表示兩個變量間的關系；第三個問題是以關系式來表示兩個變量間的關系的。
『師』：通過對這三個問題的研究，明確“給定其中某一個變量的值，相應地就確定了另一個變量的值”這一共性。
函數的概念
在上面各例中，都有兩個變量，給定其中某一各變量（自變量）的值，相應地就確定另一個變量（因變量）的值。
一般地，在某個變化過程中，有兩個變量x和y，如果給定一個x值，相應地就確定了一個y值，那么我們稱y是x的函數，其中x是自變量，y是因變量。
三、隨堂練習
書P152頁 隨堂練習1、2、3
四、本課小結
初步掌握函數的概念，能判斷兩個變量間的關系是否可看作函數。
在一個函數關系式中，能識別自變量與因變量，給定自變量的值，相應地會求出函數的值。
函數的三種表達式：
圖象；（2）表格；（3）關系式。
五、探究活動
為了加強公民的節水意識，某市制定了如下用水收費標準：每戶每月的用水不超過10噸時，水價為每噸1.2元；超過10噸時，超過的部分按每噸1.8元收費，該市某戶居民5月份用水x噸（x>10），應交水費y元，請用方程的知識來求有關x和y的關系式，并判斷其中一個變量是否為另一個變量的函數？
（答案：Y=1.8x-6或）
六、課后作業
習題6.1
函數數學教案 8
教材：
角的概念的推廣
目的：
要求學生掌握用“旋轉”定義角的概念，并進而理解“正角”“負角”“象限角”“終邊相同的角”的含義。
過程：
一、提出課題：“三角函數”
回憶初中學過的“銳角三角函數”——它是利用直角三角形中兩邊的比值來定義的。相對于現在，我們研究的三角函數是“任意角的三角函數”，它對我們今后的學習和研究都起著十分重要的作用，并且在各門學科技術中都有廣泛應用。
二、角的概念的推廣
1.回憶：初中是任何定義角的？（從一個點出發引出的`兩條射線構成的幾何圖形）這種概念的優點是形象、直觀、容易理解，但它的弊端在于“狹隘”
2.講解：“旋轉”形成角（P4）
突出“旋轉” 注意：“頂點”“始邊”“終邊”
“始邊”往往合于軸正半軸
3.“正角”與“負角”——這是由旋轉的方向所決定的。
記法：角 或 可以簡記成
4.由于用“旋轉”定義角之后，角的范圍大大地擴大了。
1° 角有正負之分 如：a=210° b=-150° g=-660°
2° 角可以任意大
實例：體操動作：旋轉2周（360°×2=720°） 3周（360°×3=1080°）
3° 還有零角 一條射線，沒有旋轉
三、關于“象限角”
為了研究方便，我們往往在平面直角坐標系中來討論角
角的頂點合于坐標原點，角的始邊合于 軸的正半軸，這樣一來，角的終邊落在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限的角（角的終邊落在坐標軸上，則此角不屬于任何一個象限）
例如：30° 390° -330°是第Ⅰ象限角 300° -60°是第Ⅳ象限角
585° 1180°是第Ⅲ象限角 -20xx°是第Ⅱ象限角等
四、關于終邊相同的角
1.觀察：390°，-330°角，它們的終邊都與30°角的終邊相同
2.終邊相同的角都可以表示成一個0°到360°的角與 個周角的和
390°=30°+360°
-330°=30°-360° 30°=30°+0×360°
1470°=30°+4×360°
-1770°=30°-5×360°
3.所有與a終邊相同的角連同a在內可以構成一個集合
即：任何一個與角a終邊相同的角，都可以表示成角a與整數個周角的和
4.例一 （P5 略）
五、小結： 1° 角的概念的推廣
用“旋轉”定義角 角的范圍的擴大
2°“象限角”與“終邊相同的角”
六、作業： P7 練習1、2、3、4
習題1.4 1
函數數學教案 9
教學目標
1.知識與技能
了解函數的概念，弄清自變量與函數之間的關系.
2.過程與方法
經歷探索函數概念的過程，感受函數的模型思想.
3.情感、態度與價值觀
培養觀察、交流、分析的思想意識，體會函數的實際應用價值.
重、難點與關鍵
1.重點：認識函數的概念.
2.難點：對函數中自變量取值范圍的確定.
3.關鍵：從實際出發，由具體到抽象，建立函數的模型.
教學方法
采用“情境──探究”的方法，讓學生從具體的情境中提升函數的思想方法.
教學過程
一、回顧交流，聚焦問題
1.變量（P94）中5個思考題.
【教師提問】
同學們通過學習“變量”這一節內容，對常量和變量有了一定的認識，請同學們舉出一些現實生活中變化的實例，指出其中的常量與變量.
【學生活動】思考問題，踴躍發言.（先歸納出5個思考題的關系式，再舉例）
【教師活動】激發興趣，鼓勵學生聯想，2.在地球某地，溫度T（℃）與高度d（m）的.關系可以挖地用T=10-來表示（如圖），請你根據這個關系式回答下列問題：
（1）指出這個關系式中的變量和常量.
（2）填寫下表.
高度d/m 0，200，400，600，800，1000
溫度T/℃
（3）觀察兩個變量之間的聯系，當其中一個變量取定一個值時，另一個變量就______.
3.課本P7“觀察”.
【學生活動】四人小組互動交流，踴躍發言
二、討論交流，形成概念
【函數定義】
一般地，在一個變化過程中，如果有兩個變量x與y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，那么我們就說x是自變量，y是x的函數.
【教師活動】歸納出函數的定義.強調在上述活動中的關系式是函數關系式.提問學生，兩個變量中哪個是自變量呢？哪個是這個自變量的函數？
【學生活動】辨析理解，如：T=10-這個函數關系式中，d是自變量，T是d的函數等.弄清函數定義中的問題。
三、繼續探究，感知輕重
課本P8探究題.
【學生活動】使用計算器進行探索活動，回答問題，理解函數概念.（1）y=2x+5，y是x的函數；（2）y=2x+1，y是x的函數.
四、范例點擊，提高認知
【例1】一輛汽車的油箱中現有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（單位：L）隨行駛里程x（單位：km）的增加而減少，平均耗油量為/km.
（1）寫出表示y與x的函數關系的式子.
（2）指出自變量x的取值范圍.
（3）汽車行駛200km時，油箱中還有多少汽油？
【教師活動】講例，啟發引導學生共同解決上述例1.
五、隨堂練習，鞏固深化
課本P99練習.
六、課堂總結，發展潛能
1.用數學式子表示函數的方法叫做表達式法（解析式法），它只是函數表示法的一種.
2.求函數的自變量取值范圍的方法.
（1）要使函數的表達式有意義；
（2）對實際問題中的函數關系，要使實際問題有意義.
3.把所給自變量的值代入函數表達式中，就可以求出相應的函數值.
七、布置作業，專題突破
課本P106習題14.1第1，2，3，4題.
板書設計
函數
1、函數的概念例：
2、函數中自變量取值范圍的確定
函數數學教案 10
一、素質教育目標
（一）知識教學點：
1.使學生了解一元二次方程及整式方程的意義；
2.掌握一元二次方程的一般形式，正確識別二次項系數、一次項系數及常數項.
（二）能力訓練點：
1.通過一元二次方程的引入，培養學生分析問題和解決問題的能力；
2.通過一元二次方程概念的學習，培養學生對概念理解的完整性和深刻性.
（三）德育滲透點：由知識來源于實際，樹立轉化的思想，由設未知數列方程向學生滲透方程的思想方法，由此培養學生用數學的意識.
二、教學重點、難點
1.教學重點：一元二次方程的意義及一般形式.
2.教學難點：正確識別一般式中的“項”及“系數”.
三、教學步驟
（一）明確目標
1.用電腦演示下面的操作：一塊長方形的薄鋼片，在薄鋼片的四個角上截去四個相同的小正方形，然后把四邊折起來，就成為一個無蓋的長方體盒子，演示完畢，讓學生拿出事先準備好的長方形紙片和剪刀，實際操作一下剛才演示的過程.學生的實際操作，為解決下面的問題奠定基礎，同時培養學生手、腦、眼并用的能力.
2.現有一塊長80cm，寬60cm的薄鋼片，在每個角上截去四個相同的小正方形，然后做成底面積為1500cm 2 的無蓋的長方體盒子，那么應該怎樣求出截去的小正方形的邊長？
教師啟發學生設未知數、列方程，經整理得到方程x 2 -70x+825=0，此方程不會解，說明所學知識不夠用，需要學習新的知識，學了本章的知識，就可以解這個方程，從而解決上述問題.
板書：“第十二章一元二次方程”.教師恰當的語言，激發學生的求知欲和學習興趣.
（二）整體感知
通過章前引例和節前引例，使學生真正認識到知識來源于實際，并且又為實際服務，學習了一元二次方程的知識，可以解決許多實際問題，真正體會學習數學的意義；產生用數學的意識，調動學生積極主動參與數學活動中.同時讓學生感到一元二次方程的解法在本章中處于非常重要的地位.
（三）重點、難點的學習及目標完成過程
1.復習提問
（1）什么叫做方程？曾學過哪些方程？
（2）什么叫做一元一次方程？“元”和“次”的含義？
（3）什么叫做分式方程？
問題的提出及解決，為深刻理解一元二次方程的概念做好鋪墊.
2.引例：剪一塊面積為150cm 2 的長方形鐵片使它的長比寬多5cm，這塊鐵片應怎樣剪？
引導，啟發學生設未知數列方程，并整理得方程x 2 +5x-150=0，此方程和章前引例所得到的方程x 2 ＋70x＋825＝0加以觀察、比較，得到整式方程和一元二次方程的概念.
整式方程：方程的兩邊都是關于未知數的整式，這樣的方程稱為整式方程.
一元二次方程：只含有一個未知數，且未知數的最高次數是2，這樣的整式方程叫做一元二次方程.
一元二次方程的概念是在整式方程的前提下定義的一元二次方程中的“一元”指的是“只含有一個未知數”，“二次”指的是“未知數的最高次數是2”.“元”和“次”的概念搞清楚則給定義一元三次方程等打下基礎.一元二次方程的定義是指方程進行合并同類項整理后而言的這實際上是給出要判定方程是一元二次方程的步驟：首先要進行合并同類項整理，再按定義進行判斷.
3.練習：指出下列方程，哪些是一元二次方程？
（1）x（5x-2）＝x（x＋1）＋4x 2 ；
（2）7x 2 ＋6＝2x（3x＋1）；
（3）
（4）6x 2 ＝x；
（5）2x 2 ＝5y；
（6）-x 2 ＝0
4.任何一個一元二次方程都可以化為一個固定的形式，這個形式就是一元二次方程的一般形式.
一元二次方程的一般形式：ax 2 ＋bx＋c＝0（a≠0）.ax 2 稱二次項，bx稱一次項，c稱常數項，a稱二次項系數，b稱一次項系數.
一般式中的“a≠0”為什么？如果a＝0，則ax 2 +bx+c＝0就不是一元二次方程，由此加深對一元二次方程的概念的理解.
5.例1? 把方程3x（x-1）＝2（x＋1）＋8化成一般形式，并寫出二次項系數，一次項系數及常數項？
教師邊提問邊引導，板書并規范步驟，深刻理解一元二次方程及一元二次方程的.一般形式.
6.練習1：教材P.5中1，2.要求多數學生在練習本上筆答，部分學生板書，師生評價.題目答案不唯一，最好二次項系數化為正數.
練習2：下列關于x的方程是否是一元二次方程？為什么？若是一元二次方程，請分別指出其二次項系數、一次項系數、常數項.
8mx-2m-1＝0；（4）（b 2 ＋1）x 2 -bx＋b＝2；（5）2tx（x-5）＝7-4tx.
教師提問及恰當的引導，對學生回答給出評價，通過此組練習，加強對概念的理解和深化.
（四）總結、擴展
引導學生從下面三方面進行小結.從方法上學到了什么方法？從知識內容上學到了什么內容？分清楚概念的區別和聯系？
1.將實際問題用設未知數列方程轉化為數學問題，體會知識來源于實際以及轉化為方程的思想方法.
2.整式方程概念、一元二次方程的概念以及它的一般形式，二次項系數、一次項系數及常數項.歸納所學過的整式方程.
3.一元二次方程的意義與一般形式ax 2 ＋bx＋c＝0（a≠0）的區別和聯系.強調“a≠0”這個條件有長遠的重要意義.
四、布置作業
1.教材P.6 練習2.
2.思考題：
1）能不能說“關于x的整式方程中，含有x 2 項的方程叫做一元二次方程？”
2）試說出一元三次方程，一元四次方程的定義及一般形式（學有余力的學生思考）.
五、板書設計
第十二章? 一元二次方程
12.1用公式解一元二次方程
1.整式方程：
4.例1：
2.一元二次方程：
3.一元二次方程的一般形式：
5.練習：
六、課后習題參考答案
教材P.6A2.
教材P.6B1、2.
1.（1）二次項系數：ab? 一次項系數：c? 常數項：d.
（2）二次項系數： m-n? 一次項系數：0? 常數項：m＋n.
2.一般形式：（m＋n）x 2 +（m-n）x＋p-q＝0（m＋n≠0）二次項系數：m＋n，一次項系數：m－n，常數項：p－q.
思考題
（1）不能.如x 3 ＋2x 2 －4x＝5.
（2）一元三次方程：只含有一個未知數，且未知數的最高次數是3，這樣的整式方程叫做一元三次方程.一般形式：ax 3 ＋bx 2 ＋cx＋d＝0（a≠0）.
一元四次方程：只含有一個未知數，且未知數的最高次數是4，這樣的整式方程叫做一元四次方程.一般形式：ax 4 ＋bx 3 ＋cx 2 ＋dx＋e＝0（a≠0）.
函數數學教案 11
教學目標
1.知識與技能
能應用所學的函數知識解決現實生活中的問題，會建構函數“模型”。
2.過程與方法
經歷探索一次函數的應用問題，發展抽象思維。
3.情感、態度與價值觀
培養變量與對應的，形成良好的函數觀點，體會一次函數的應用價值。
重、難點與關鍵
1.重點：一次函數的應用。
2.難點：一次函數的應用。
3.關鍵：從數形結合分析思路入手，提升應用思維。
教學方法
采用“講練結合”的教學方法，讓學生逐步地熟悉一次函數的應用。
教學過程
一、范例點擊，應用所學
例5小芳以米/分的速度起跑后，先勻加速跑5分，每分提高速度20米/分，又勻速跑10分，試寫出這段時間里她的跑步速度y（單位：米/分）隨跑步時間x（單位：分）變化的函數關系式，并畫出函數圖象。
y=
例6A城有肥料噸，B城有肥料300噸，現要把這些肥料全部運往C、D兩鄉。從A城往C、D兩鄉運肥料的.費用分別為每噸20元和25元；從B城往C、D兩鄉運肥料的費用分別為每噸15元和24元，現C鄉需要肥料240噸，D鄉需要肥料260噸，怎樣調運總運費最少？
解：設總運費為y元，A城往運C鄉的肥料量為x噸，則運往D鄉的肥料量為（-x）噸。B城運往C、D鄉的肥料量分別為（240-x）噸與（60+x）噸。y與x的關系式為：y=20x+25（-x）+15（240-x）+24（60+x），即y=4x+10040（0≤x≤）.
由圖象可看出：當x=0時，y有最小值10040，因此，從A城運往C鄉0噸，運往D鄉噸；從B城運往C鄉240噸，運往D鄉60噸，此時總運費最少，總運費最小值為10040元。
拓展：若A城有肥料300噸，B城有肥料噸，其他條件不變，又應怎樣調運？
二、隨堂練習，鞏固深化
課本P119練習。
三、課堂，發展潛能
由學生自我本節課的表現。
四、布置作業，專題突破
課本P120習題第9，10，11題。
函數數學教案 12
教學目標
1、回顧反比例函數的概念、通過實際問題，進一步感受用反比例函數解決實際問題的過程與方法，體會反比例函數是分析、解決實際問題的一種有效的模型、
2、歸納總結反比例函數的xxx象和性質，進一步體會形數結合的數學思想方法、
教學過程
1、回顧、梳理本章的知識：
如同已經學過的有關方程、函數的內容一樣，本章內容分為3塊：
（1）從生活到數學：從問題到反比例函數，即建構實際問題的數學模型；
（2）數學研究：反比例函數的xxx象與性質；
（3）用數學解決問題：反比例函數的'應用、
2、可以設計一組問題，重點歸納、整理反比例函數的xxx象與性質，進一步感受形數結合的數學思想方法、例如：
（1）由形到數——用待定系數法求反比例函數的關系式；由xxx象的位置或xxx象的部分確定函數的特征；
（2）由數到形――根據反比例函數關系式或反比例函數的性質，確定xxx形的位置、趨勢等；
（3）形數結合——函數的xxx象與性質的綜合應用
2例如：如xxx，點Ｐ是反比例函數y？上的一點，ＰＤ垂直x軸于點Ｄ，則△xＰＯＤ的面積為________
3、設計一個實際問題，讓學生經歷“問題情境一建立模型一求解一解釋與應用”的基本過程、
例如：為了預防“xxx”，某學校對教室采用藥薰法進行消毒、已知藥物燃燒時、室內每立方米空氣中的含藥量y（mg）與時間x（min）成正比例，藥物燃燒后，y與x成反比例（如xxx）、現測得藥物8min燃畢，此時室內空氣中每立方米含藥量為6mg。
（1）寫出藥物燃燒前、后y與x的函數關系式；
（2）研究表明，當空氣中每立方米的含藥量低于1.6mg時，學生方可進教室、那么從消毒開始，至少需要多少時間，學生方能進入教室？
（3）研究表明，當空氣中每立方米的含藥量不低于3mg且持續時間不少于10min時，才能有效滅殺空氣中的病菌，那么這次消毒是否有效？
函數數學教案 13
教學目標：
使學生對反比例函數和反比例函數的xxx象意義加深理解。
教學重點：
反比例函數的應用
教學程序：
一、新授：
1、實例1：(1)用含S的代數式表示P，P是S的反比例函數嗎？為什么？
答：P=600s (s0)，P是S的反比例函數。
（2）、當木板面積為0.2 m2時，壓強是多少？
答：P=3000Pa
（3）、如果要求壓強不超過6000Pa，木板的面積至少要多少？
答：至少0.lm2。
（4）、在直角坐標系中，作出相應的函數xxx象。
（5）、請利用xxx象(2)和(3)作出直觀解釋，并與同伴進行交流。
二、做一做
1、（1)蓄電池的電壓為定值，使用此電源時，電流I(A)與電阻R(）之間的函數關系如xxx5-8所示。
（2）蓄電池的`電壓是多少？你以寫出這一函數的表達式嗎？
電壓U=36V，I=60k
2、完成下表，并回答問題，如果以蓄電池為電源的用電器限制電流不得超過10A，那么用電器的可變電阻應控制在什么范圍內？
R() 3 4 5 6 7 8 9 10
I（A）
3、如xxx5-9，正比例函數y=k1x的xxx象與反比例函數y=60k的xxx象相交于A、B兩點，其中點A的坐標為（3，23）
（1）分別寫出這兩個函數的表達式；
（2）你能求出點B的坐標嗎？你是怎樣求的？與同伴進行交流；
隨堂練習：
P145~146 1、2、3、4、5
作業：P146習題5.4 1、2
函數數學教案 14
課題：
對數函數
（1）——定義、圖象、性質目標：
1.了解對數函數的定義、圖象及其性質以及它與指數函數間的關系，會求對數函數的定義域。
2.培養培養觀察分析、抽象概括能力、歸納總結能力、邏輯推理能力、化歸轉化能力；
3.培養堅忍不拔的意志，培養發現問題和提出問題的意識、善于獨立思考的習慣，體會事物之間普遍聯系的辯證觀點。
重點：
對數函數的定義、圖象、性質
難點：
對數函數與指數函數間的關系
過程：
一、復習引入：實例引入：回憶學習指數函數時用的實例我們研究指數函數時，曾經討論過細胞分裂問題，某種細胞分裂時，得到的細胞的個數 是分裂次數 的函數，這個函數可以用指數函數 = 表示。現在，我們來研究相反的問題，如果要求這種細胞經過多少次分裂，大約可以得到1萬個，10萬個……細胞，那么，分裂次數 就是要得到的細胞個數 的函數。根據對數的定義，這個函數可以寫成對數的形式就是 如果用 表示自變量， 表示函數，這個函數就是 由反函數概念可知， 與指數函數 互為反函數這一節，我們來研究指數函數的反函數對數函數
二、新課
1.對數函數的定義：函數 叫做對數函數；它是指數函數 的反函數。對數函數 的定義域為 ，值域為 。
2.對數函數的圖象由于對數函數 與指數函數 互為反函數，所以 的圖象與 的圖象關于直線 對稱。因此，我們只要畫出和 的'圖象關于 對稱的曲線，就可以得到 的圖象，然后根據圖象特征得出對數函數的性質。
活動設計：由學生任意取底數作圖，觀察分析討論，教師引導、整理 3.對數函數的性質由對數函數的圖象，觀察得出對數函數的性質。見P87 表 圖象性質定義域：（0，+∞）值域：R過點（1，0），即當 時， 時 時 時 時 在（0，+∞）上是增函數在（0，+∞）上是減函數活動設計：學生觀察、分析討論，教師引導、整理4.應用例1.（課本第94頁）求下列函數的定義域：（1） ； （2） ； （3） 分析：此題主要利用對數函數 的定義域（0，+∞）求解。解：
（1）由 >0得 ，∴函數 的定義域是 ；
（2）由 得 ，∴函數 的定義域是
（3）由9- 得-3 ，∴函數 的定義域是 注：此題只是對數函數性質的簡單應用，應強調學生注意書寫格式。
三、小結：對數函數定義、圖象、性質四、作業： 課本第95頁 練習 1，2 習題2.8 1，2
函數數學教案 15
[教學目標]
1.能利用反比例函數的相關知識分析和解決一些簡單的實際問題.
2.在解決實際向題的過程中，進一步體會和認識反比例函數是刻畫現實世界中數量關系的一種數學模型.
[教學過程]
1.情境創設
k在一個實際問題中，兩個變量x、y滿足關系式y？（k為常數，k≠0），則xy就是x的反比例函數.由已知關系式和所給的x值（或y值）可以求出對應的y值（或x值）.
教學時，教師也可以從學生更加熟悉的生活事例引入課題：
生活中常用的刀具，使用一段時間后就會變鈍，用起來很費勁，如果把刀刃磨細，刀具就會鋒利起來，你知道為什么嗎？
充滿氣體的氣球能夠用腳踩爆，超載的汽車容易爆胎？這是為什么？
2.例題教學
課本提供了兩類問題：一類是速度、時間問題，另一類是幾何體積問題.生活中有許多反比例函數模型的實際問題，例如：壓強與受力面積（壓力一定）、長方形的長與寬（面積一定）、速度與時間（路程一定）等，教師可以根據實際情況創設情境.
數學活動：反比例函數實例調查
[數學活動指導]
學生在“用字母表示數”這一章里已經知道不同的實際問題可以用同一個代數式表示，而同一個代數式可以表示不同的實際意義；在“一元一次方程”這一章中，再一次地感受了不同的實際問題中數量的相等關系可以用同一個方程表示，而同一個一元一次方程可以表示不同實際問題中數量的相等關系；在“一次函數”、“分式”等章節中也有類似的內容.在課本中反復出現這樣的內容，是為了引導學生充分感受數學的兩個重要特征：高度的抽象性和廣泛的應用性.
本節活動包含兩個方面的.內容：
1.“關系式y？表示什么？”主要是要求學生結合生活經驗和對反比例x函數的理解與認識，列舉符合條件的實際事例.
2.“調查生活中的反比例函數的實際例子，并運用反比例函數的有關知識解決問題”.要求學生深入生活，進行實地調查.調查可以分組，也可以單獨進行，但都應該因地制宜地選擇調查部門和對象.
函數數學教案 16
教學目標
1. 經歷從實際問題抽象出反比例函數的探索過程，發展學生的抽象思維能力。
2. 理解反比例函數的概念，會列出實際問題的反比例函數關系式。
3. 使學生會畫出反比例函數的圖象。
4. 經歷對反比例函數圖象的觀察、分析、討論、概括過程，會說出它的性質。
教學重點
1、 使學生了解反比例函數的表達式，會畫反比例函數圖象
2、 使學生掌握反比例函數的圖象性質
3、 利用反比例函數解題
教學難點
1、 列函數表達式
2、 反比例函數圖象解題
教學過程
教師活動
一、作業檢查與講評
二、復習導入
1.什么是正比例函數?
我們知道當
(1) 當路程s一定，時間t與速度v成反比例，即vt=s(s是常數)
(2) 當矩形面積一定時，長a和寬b成反比例，即ab=s(s是常數)
創設問題情境
問題1：小華的爸爸早晨騎自行車帶小華到15千米外的鎮上去趕集，回來時讓小華乘坐公共汽車，用的時間少了。假設自行車和汽車的速度在行駛過程中都不變，爸爸要小華找出從家里到鎮上的時間和乘坐不同交通工具的速度之間的關系。
分析 和其他實際問題一樣，要探求兩個變量之間的關系，就應先選用適當的符號表示變量，再根據題意列出相應的函數關系式.
設小華乘坐交通工具的速度是v千米/時，從家里到鎮上的時間是t小時.因為在勻速運動中，時間=路程÷速度，所以
從這個關系式中發現:
1.路程一定時，時間t就是速度v的反比例函數.即速度增大了，時間變小;速度減小了，時間增大.
2.自變量v的取值是v>0.
問題2：學校課外生物小組的同學準備自己動手，用舊圍欄建一個面積為24平方米的矩形飼養場.設它的一邊長為x(米)，求另一邊的長y(米)與x的函數關系式.
分析 根據矩形面積可知
xy=24，即
從這個關系中發現：
1.當矩形的面積一定時，矩形的一邊是另一邊的反比例函數.即矩形的一邊長增大了，則另一邊減小;若一邊減小了，則另一邊增大;
2.自變量的取值是x>0.
三、新課講解
上述兩個函數都具有的形式，一般地，形如(k是常數，k≠0)的函數叫做反比例函數(proportional function).
說明 1.反比例函數與正比例函數定義相比較，本質上，正比例y=kx，即，k是常數，且k≠0;反比例函數，則xy=k，k是常數，且k≠0.可利用定義判斷兩個量x和y滿足哪一種比例關系.
2.反比例函數的解析式又可以寫成：( k是常數，k≠0).
3.要求出反比例函數的解析式，只要求出k即可.
實踐應用
例1 下列函數關系中，哪些是反比例函數?
(1)已知平行四邊形的面積是12cm2，它的一邊是acm，這邊上的高是hcm，則a與h的函數關系;
(2)壓強p一定時，壓力F與受力面積s的關系;
(3)功是常數W時，力F與物體在力的方向上通過的距離s的函數關系.
(4)某鄉糧食總產量為m噸，那么該鄉每人平均擁有糧食y(噸)與該鄉人口數x的函數關系式.
例2 當m為何值時，函數是反比例函數，并求出其函數解析式.
例3 將下列各題中y與x的函數關系與出來.
(1)，z與x成正比例;
(2)y與z成反比例，z與3x成反比例;
(3)y與2z成反比例，z與成正比例;
例4 已知y與x2成反比例，并且當x=3時，y=2.求x=1.5時y的值.
分析 因為y與 x2成反比例，所以設，再用待定系數法就可以求出k，進而再求出y的值.
例5 已知y=y1+y2， y1與x成正比例，y2與x2成反比例，且x=2與x=3時，y的'值都等于19.求y與x間的函數關系式.
小結
一般地，形如(k是常數，k≠0)的函數叫做反比例函數(proportional function).
要求反比例函數的解析式，可通過待定系數法求出k值，即可確定.
練習2
1.分別寫出下列問題中兩個變量間的函數關系式，指出哪些是正比例函數，哪些是反比例函數，哪些既不是正比例函數也不是反比例函數?
(1)小紅一分鐘可以制作2朵花，x分鐘可以制作y朵花;
(2)體積為100cm3的長方體，高為hcm時，底面積為Scm2;
(3)用一根長50cm的鐵絲彎成一個矩形，一邊長為xcm時，面積為ycm2;
(4)小李接到對長為100米的管道進行檢修的任務，設每天能完成10米，x天后剩下的未檢修的管道長為y米.
2.已知y與x-2成反比例，當x=4時，y=3，求當x=5時，y的值.
3.已知y=y1+y2， y1與成正比例，y2與x2成反比例.當x=1時，y=-12;當x=4時，y=7.(1)求y與x的函數關系式和x的取范圍;(2)當x=時，求y的值.
4.已知一個長方體的體積是100立方厘米，它的長是ycm，寬是5cm，高是xcm.
(1)寫出用高表示長的函數式;
(2)寫出自變量x的取值范圍;
(3)當x=3cm時，求y的值.
5.試用描點作圖法畫出問題1中函數的圖象.
上節的練習中，我們畫出了問題1中函數的圖象，發現它并不是直線.那么它是怎么樣的曲線呢?本節課，我們就來討論一般的反比例函數(k是常數，k≠0)的圖象，探究它有什么性質.
二、探究歸納
1.畫出函數的圖象.
解 1.列表：這個函數中自變量x的取值范圍是不等于零的一切實數，列出x與y的對應值：
2.描點：用表里各組對應值作為點的坐標，在直角坐標系中描出在京各點點(-6，-1)、(-3，-2)、(-2，-3)等.
3.連線：用平滑的曲線將第一象限各點依次連起來，得到圖象的第一個分支;用平滑的曲線將第三象限各點依次連起來，得到圖象的另一個分支.這兩個分支合起來，就是反比例函數的圖象.
上述圖象，通常稱為雙曲線(hyperbola).
提問 這兩條曲線會與x軸、y軸相交嗎?為什么?
畫出反比例函數的圖象
1.這個函數的圖象在哪兩個象限?和函數的圖象有什么不同?
2.反比例函數(k≠0)的圖象在哪兩個象限內?由什么確定?
3.聯系一次函數的性質，你能否總結出反比例函數中隨著自變量x的增加，函數y將怎樣變化?有什么規律?
反比例函數有下列性質：
(1)當k>0時，函數的圖象在第一、三象限，在每個象限內，曲線從左向右下降，也就是在每個象限內y隨x的增加而減少;
(2)當k<0時，函數的圖象在第二、四象限，在每個象限內，曲線從左向右上升，也就是在每個象限內y隨x的增加而增加.
注 1.雙曲線的兩個分支與x軸和y軸沒有交點;
2.雙曲線的兩個分支關于原點成中心對稱.
以上兩點性質在上堂課的問題1和問題2中反映了怎樣的實際意義?
在問題1中反映了汽車比自行車的速度快，小華乘汽車比騎自行車到鎮上的時間少.
在問題2中反映了在面積一定的情況下，飼養場的一邊越長，另一邊越小.
三、實踐應用
例1 若反比例函數的圖象在第二、四象限，求m的值.
分析 由反比例函數的定義可知： ，又由于圖象在二、四象限，所以m+1<0，由這兩個條件可解出m的值.
解 由題意，得 解得.
例2 已知反比例函數(k≠0)，當x>0時，y隨x的增大而增大，求一次函數y=kx-k的圖象經過的象限.
例3 已知反比例函數的圖象過點(1，-2).
(1)求這個函數的解析式，并畫出圖象;
(2)若點A(-5，m)在圖象上，則點A關于兩坐標軸和原點的對稱點是否還在圖象上?
例4 已知函數為反比例函數.
(1)求m的值;
(2)它的圖象在第幾象限內?在各象限內，y隨x的增大如何變化?
(3)當-3≤x≤時，求此函數的最大值和最小值.
例5 一個長方體的體積是100立方厘米，它的長是y厘米，寬是5厘米，高是x厘米.
(1)寫出用高表示長的函數關系式;
(2)寫出自變量x的取值范圍;
(3)畫出函數的圖象.
說明 由于自變量x>0，所以畫出的反比例函數的圖象只是位于第一象限內的一個分支.
小結
本節課學習了畫反比例函數的圖象和探討了反比例函數的性質.
1.反比例函數的圖象是雙曲線(hyperbola).
2.反比例函數有如下性質：
(1)當k>0時，函數的圖象在第一、三象限，在每個象限內，曲線從左向右下降，也就是在每個象限內y隨x的增加而減少;
(2)當k<0時，函數的圖象在第二、四象限，在每個象限內，曲線從左向右上升，也就是在每個象限內y隨x的增加而增加.
五、課堂練習
1.在同一直角坐標系中畫出下列函數的圖象：
2.已知y是x的反比例函數，且當x=3時，y=8，求：
(1)y和x的函數關系式;
(2)當時，y的值;
3.若反比例函數的圖象在所在象限內，y隨x的增大而增大，求n的值.
4.已知反比例函數經過點A(2，-m)和B(n，2n)，求：
(1)m和n的值;
(2)若圖象上有兩點P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，且x1<0< x2，試比較y1和 y2的大小
四、課后作業布置
課后練習卷一份
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