指數(shù)函數(shù)高中數(shù)學(xué)教案

時間：2023-05-06 16:42:32 高中數(shù)學(xué)教案我要投稿

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　　教學(xué)目標(biāo)

指數(shù)函數(shù)高中數(shù)學(xué)教案

　　1.使學(xué)生掌握的概念,圖象和性質(zhì).

　　(1)能根據(jù)定義判斷形如什么樣的函數(shù)是,了解對底數(shù)的限制條件的合理性,明確的定義域.

　　(2)能在基本性質(zhì)的指導(dǎo)下,用列表描點法畫出的圖象,能從數(shù)形兩方面認(rèn)識的性質(zhì).

　　(3) 能利用的性質(zhì)比較某些冪形數(shù)的大小,會利用的圖象畫出形如的圖象.

　　2. 通過對的概念圖象性質(zhì)的學(xué)習(xí),培養(yǎng)學(xué)生觀察,分析歸納的能力,進(jìn)一步體會數(shù)形結(jié)合的思想方法.

　　3.通過對的研究,讓學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.使學(xué)生善于從現(xiàn)實生活中數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)問題,解決問題.教學(xué)建議

　　教材分析

　　(1) 是在學(xué)生系統(tǒng)學(xué)習(xí)了函數(shù)概念,基本掌握了函數(shù)的性質(zhì)的基礎(chǔ)上進(jìn)行研究的,它是重要的基本初等函數(shù)之一,作為常見函數(shù),它既是函數(shù)概念及性質(zhì)的第一次應(yīng)用,也是今后學(xué)習(xí)對數(shù)函數(shù)的基礎(chǔ),同時在生活及生產(chǎn)實際中有著廣泛的應(yīng)用,所以應(yīng)重點研究.

　　(2) 本節(jié)的教學(xué)重點是在理解定義的基礎(chǔ)上掌握的圖象和性質(zhì).難點是對底數(shù) 在和時,函數(shù)值變化情況的區(qū)分.

　　(3)是學(xué)生完全陌生的一類函數(shù),對于這樣的函數(shù)應(yīng)怎樣進(jìn)行較為系統(tǒng)的理論研究是學(xué)生面臨的重要問題,所以從的研究過程中得到相應(yīng)的結(jié)論固然重要,但更為重要的是要了解系統(tǒng)研究一類函數(shù)的方法,所以在教學(xué)中要特別讓學(xué)生去體會研究的方法,以便能將其遷移到其他函數(shù)的研究.

　　教法建議

　　(1)關(guān)于的定義按照課本上說法它是一種形式定義即解析式的特征必須是的樣子,不能有一點差異,諸如 , 等都不是.

　　(2)對底數(shù) 的限制條件的理解與認(rèn)識也是認(rèn)識的重要內(nèi)容.如果有可能盡量讓學(xué)生自己去研究對底數(shù),指數(shù)都有什么限制要求,教師再給予補(bǔ)充或用具體例子加以說明,因為對這個條件的認(rèn)識不僅關(guān)系到對的認(rèn)識及性質(zhì)的分類討論,還關(guān)系到后面學(xué)習(xí)對數(shù)函數(shù)中底數(shù)的認(rèn)識,所以一定要真正了解它的由來.

　　關(guān)于圖象的繪制,雖然是用列表描點法,但在具體教學(xué)中應(yīng)避免描點前的盲目列表計算,也應(yīng)避免盲目的連點成線,要把表列在關(guān)鍵之處,要把點連在恰當(dāng)之處,所以應(yīng)在列表描點前先把函數(shù)的性質(zhì)作一些簡單的討論,取得對要畫圖象的存在范圍,大致特征,變化趨勢的大概認(rèn)識后,以此為指導(dǎo)再列表計算,描點得圖象.

　　教學(xué)設(shè)計示例

　　教學(xué)目標(biāo)

　　1.理解的定義,初步掌握的圖象,性質(zhì)及其簡單應(yīng)用.

　　2. 通過的圖象和性質(zhì)的學(xué)習(xí),培養(yǎng)學(xué)生觀察,分析,歸納的能力,進(jìn)一步體會數(shù)形結(jié)合的思想方法.

　　3. 通過對的研究,使學(xué)生能把握函數(shù)研究的基本方法,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

　　教學(xué)重點和難點

　　重點是理解的定義,把握圖象和性質(zhì).

　　難點是認(rèn)識底數(shù)對函數(shù)值影響的認(rèn)識.

　　教學(xué)用具

　　投影儀

　　教學(xué)方法

　　啟發(fā)討論研究式

　　教學(xué)過程

　　一、引入新課

　　我們前面學(xué)習(xí)了指數(shù)運算,在此基礎(chǔ)上,今天我們要來研究一類新的常見函數(shù)-------.

　　1.6.(板書)

　　這類函數(shù)之所以重點介紹的原因就是它是實際生活中的一種需要.比如我們看下面的問題:

　　問題1:某種細(xì)胞分裂時,由1個分裂成2個,2個分裂成4個,……一個這樣的細(xì)胞分裂次后,得到的細(xì)胞分裂的個數(shù) 與之間,構(gòu)成一個函數(shù)關(guān)系,能寫出與之間的函數(shù)關(guān)系式嗎?

　　由學(xué)生回答: 與之間的關(guān)系式,可以表示為 .

　　問題2:有一根1米長的繩子,第一次剪去繩長一半,第二次再剪去剩余繩子的一半,……剪了次后繩子剩余的長度為米,試寫出與之間的函數(shù)關(guān)系.

　　由學(xué)生回答: .

　　在以上兩個實例中我們可以看到這兩個函數(shù)與我們前面研究的函數(shù)有所區(qū)別,從形式上冪的形式,且自變量均在指數(shù)的位置上,那么就把形如這樣的函數(shù)稱為.

　　二、新課講解

　　一. 的概念(板書)

　　1.定義:形如的函數(shù)稱為.(板書)

　　教師在給出定義之后再對定義作幾點說明.

　　2.幾點說明 (板書)

　　(1) 關(guān)于對的規(guī)定:

　　教師首先提出問題:為什么要規(guī)定底數(shù)大于0且不等于1呢?(若學(xué)生感到有困難,可將問題分解為若會有什么問題?如 ,此時 , 等在實數(shù)范圍內(nèi)相應(yīng)的函數(shù)值不存在.

　　若對于都無意義,若則無論取何值,它總是1,對它沒有研究的必要.為了避免上述各種情況的發(fā)生,所以規(guī)定且 .

　　(2)關(guān)于的定義域 (板書)

　　教師引導(dǎo)學(xué)生回顧指數(shù)范圍,發(fā)現(xiàn)指數(shù)可以取有理數(shù).此時教師可指出,其實當(dāng)指數(shù)為無理數(shù)時, 也是一個確定的實數(shù),對于無理指數(shù)冪,學(xué)過的有理指數(shù)冪的性質(zhì)和運算法則它都適用,所以將指數(shù)范圍擴(kuò)充為實數(shù)范圍,所以的定義域為 .擴(kuò)充的另一個原因是因為使她它更具代表更有應(yīng)用價值.

　　(3)關(guān)于是否是的判斷(板書)

　　剛才分別認(rèn)識了中底數(shù),指數(shù)的要求,下面我們從整體的角度來認(rèn)識一下,根據(jù)定義我們知道什么樣的函數(shù)是,請看下面函數(shù)是否是.

　　(1) , (2) , (3)

　　(4) , (5) .

　　學(xué)生回答并說明理由,教師根據(jù)情況作點評,指出只有(1)和(3)是,其中(3) 可以寫成 ,也是指數(shù)圖象.

　　最后提醒學(xué)生的定義是形式定義,就必須在形式上一摸一樣才行,然后把問題引向深入,有了定義域和初步研究的函數(shù)的性質(zhì),此時研究的關(guān)鍵在于畫出它的圖象,再細(xì)致歸納性質(zhì).

　　3.歸納性質(zhì)

　　作圖的用什么方法.用列表描點發(fā)現(xiàn),教師準(zhǔn)備明確性質(zhì),再由學(xué)生回答.

　　函數(shù)

　　1.定義域 :

　　2.值域:

　　3.奇偶性 :既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)

　　4.截距:在軸上沒有,在軸上為1.

　　對于性質(zhì)1和2可以兩條合在一起說,并追問起什么作用.(確定圖象存在的大致位置)對第3條還應(yīng)會證明.對于單調(diào)性,我建議找一些特殊點.,先看一看,再下定論.對最后一條也是指導(dǎo)函數(shù)圖象畫圖的依據(jù).(圖象位于軸上方,且與軸不相交.)

　　在此基礎(chǔ)上,教師可指導(dǎo)學(xué)生列表,描點了.取點時還要提醒學(xué)生由于不具備對稱性,故的值應(yīng)有正有負(fù),且由于單調(diào)性不清,所取點的個數(shù)不能太少.

　　此處教師可利用計算機(jī)列表描點,給出十組數(shù)據(jù),而學(xué)生自己列表描點,至少六組數(shù)據(jù).連點成線時,一定提醒學(xué)生圖象的變化趨勢(當(dāng) 越小,圖象越靠近軸, 越大,圖象上升的越快),并連出光滑曲線.

　　二.圖象與性質(zhì)(板書)

　　1.圖象的畫法:性質(zhì)指導(dǎo)下的列表描點法.

　　2.草圖:

　　當(dāng)畫完第一個圖象之后,可問學(xué)生是否需要再畫第二個?它是否具有代表性?(教師可提示底數(shù)的條件是且 ,取值可分為兩段)讓學(xué)生明白需再畫第二個,不妨取為例.

　　此時畫它的圖象的方法應(yīng)讓學(xué)生來選擇,應(yīng)讓學(xué)生意識到列表描點不是唯一的方法,而圖象變換的方法更為簡單.即 = 與圖象之間關(guān)于軸對稱,而此時的圖象已經(jīng)有了,具備了變換的條件.讓學(xué)生自己做對稱,教師借助計算機(jī)畫圖,在同一坐標(biāo)系下得到的圖象.

　　最后問學(xué)生是否需要再畫.(可能有兩種可能性,若學(xué)生認(rèn)為無需再畫,則追問其原因并要求其說出性質(zhì),若認(rèn)為還需畫,則教師可利用計算機(jī)再畫出如的圖象一起比較,再找共性)

　　由于圖象是形的特征,所以先從幾何角度看它們有什么特征.教師可列一個表,如下:

　　以上內(nèi)容學(xué)生說不齊的,教師可適當(dāng)提出觀察角度讓學(xué)生去描述,然后再讓學(xué)生將幾何的特征,翻譯為函數(shù)的性質(zhì),即從代數(shù)角度的描述,將表中另一部分填滿.

　　填好后,讓學(xué)生仿照此例再列一個的表,將相應(yīng)的內(nèi)容填好.為進(jìn)一步整理性質(zhì),教師可提出從另一個角度來分類,整理函數(shù)的性質(zhì).

　　3.性質(zhì).

　　(1)無論為何值, 都有定義域為 ,值域為 ,都過點 .

　　(2) 時, 在定義域內(nèi)為增函數(shù), 時, 為減函數(shù).

　　(3) 時, , 時, .

　　總結(jié)之后,特別提醒學(xué)生記住函數(shù)的圖象,有了圖,從圖中就可以能讀出性質(zhì).

　　三.簡單應(yīng)用 (板書)

　　1.利用單調(diào)性比大小. (板書)

　　一類函數(shù)研究完它的概念,圖象和性質(zhì)后,最重要的是利用它解決一些簡單的問題.首先我們來看下面的問題.

　　例1. 比較下列各組數(shù)的大小

　　(1) 與 ; (2) 與 ;

　　(3) 與1 .(板書)

　　首先讓學(xué)生觀察兩個數(shù)的特點,有什么相同?由學(xué)生指出它們底數(shù)相同,指數(shù)不同.再追問根據(jù)這個特點,用什么方法來比較它們的大小呢?讓學(xué)生聯(lián)想,提出構(gòu)造函數(shù)的方法,即把這兩個數(shù)看作某個函數(shù)的函數(shù)值,利用它的單調(diào)性比較大小.然后以第(1)題為例,給出解答過程.

　　解: 在上是增函數(shù),且

　　< .(板書)

　　教師最后再強(qiáng)調(diào)過程必須寫清三句話:

　　(1) 構(gòu)造函數(shù)并指明函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及相應(yīng)的單調(diào)性.

　　(2) 自變量的大小比較.

　　(3) 函數(shù)值的大小比較.

　　后兩個題的過程略.要求學(xué)生仿照第(1)題敘述過程.

　　例2.比較下列各組數(shù)的大小

　　(1) 與 ; (2) 與 ;

　　(3) 與 .(板書)

　　先讓學(xué)生觀察例2中各組數(shù)與例1中的區(qū)別,再思考解決的方法.引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)對(1)來說可以寫成 ,這樣就可以轉(zhuǎn)化成同底的問題,再用例1的方法解決,對(2)來說可以寫成 ,也可轉(zhuǎn)化成同底的,而(3)前面的方法就不適用了,考慮新的轉(zhuǎn)化方法,由學(xué)生思考解決.(教師可提示學(xué)生的函數(shù)值與1有關(guān),可以用1來起橋梁作用)

　　最后由學(xué)生說出 >1,<1,>.

　　解決后由教師小結(jié)比較大小的方法

　　(1) 構(gòu)造函數(shù)的方法: 數(shù)的特征是同底不同指(包括可轉(zhuǎn)化為同底的)

　　(2) 搭橋比較法: 用特殊的數(shù)1或0.

　　三、鞏固練習(xí)

　　練習(xí):比較下列各組數(shù)的大小(板書)

　　(1) 與 (2) 與 ;

　　(3) 與 ; (4) 與 .解答過程略

　　四、小結(jié)

　　1.的概念

　　2.的圖象和性質(zhì)

　　3.簡單應(yīng)用