數學教案－可化為一元二次方程的分式方程

一、教學目標 

1．使學生掌握可化為一元二次方程的分式方程的解法，能用去分母的方法或換元的方法求此類方程的解，并會驗根.

2．通過本節課的教學，向學生滲透“轉化”的數學思想方法；

3．通過本節的教學，繼續向學生滲透事物是相互聯系及相互轉化的辨證唯物主義觀點.

二、重點·難點·疑點及解決辦法

1．教學重點：可化為一元二次方程的分式方程的解法．

2．教學難點 ：解分式方程，學生不容易理解為什么必須進行檢驗．

3．教學疑點：學生容易忽視對分式方程的解進行檢驗通過對分式方程的解的剖析，進一步使學生認識解分式方程必須進行檢驗的重要性．

4．解決辦法：（l）分式方程的解法順序是：先特殊、后一般，即能用換元法的方程應盡量用換元法解．（2）無論用去分母法解，還是換元法解分式方程，都必須進行驗根，驗根是解分式方程必不可少的一個重要步驟．（3）方程的增根具備兩個特點，①它是由分式方程所轉化成的整式方程的根②它能使原分式方程的公分母為0.

三、教學步驟 

（一）教學過程 

1．復習提問

（1）什么叫做分式方程？解可化為一元一次方程的分式方程的方法與步驟是什么？

（2）解可化為一元一次方程的分式方程為什么要檢驗？檢驗的方法是什么？

（3）解方程，并由此方程說明解方程過程中產生增根的原因.

通過（1）、（2）、（3）的準備，可直接點出本節的內容：可化為一元二次方程的分式方程的解法相同.

在教師點出本節內容的處理方法與以前所學的知識完全類同后，讓全體學生對照前面復習過的分式方程的解，來進一步加深對“類比”法的理解，以便學生全面地參與到教學活動中去，全面提高教學質量.

在前面的基礎上，為了加深學生對新知識的理解，教師與學生共同分析解決例題，以提高學生分析問題和解決問題的能力.

2．例題講解

例1  解方程.

分析  對于此方程的解法，不是教師講如何如何解，而是讓學生對已有知識的回憶，使用原來的方法，去通過試的手段來解決，在學生敘述過程中，發現問題并及時糾正.

解：兩邊都乘以，得

去括號，得

整理，得

解這個方程，得

檢驗：把代入，所以是原方程的根.

∴  原方程的根是.

雖然，此種類型的方程在初二上學期已學習過，但由于相隔時間比較長，所以有一些學

生容易犯的類型錯誤應加以強調，如在第一步中．需強調方程兩邊同時乘以最簡公分母．另

外，在把分式方程轉化為整式方程后，所得的一元二次方程有兩個相等的實數根，由于是解

分式方程，所以在下結論時，應強調取一即可，這一點，教師應給以強調．

例2  解方程

分析：解此方程的關鍵是如何將分式方程轉化為整式方程，而轉化為整式方程的關鍵是

正確地確定出方程中各分母的最簡公分母，由于此方程中的分母并非均按的降冪排列，所

以將方程的分母作一轉化，化為按字母終X進行降暴排列，并對可進行分解的分母進行分解，從而確定出最簡公分母．

解：方程兩邊都乘以，約去分母，得

整理后，得

解這個方程，得

檢驗：把代入，它不等于0，所以是原方程的根，把

代入它等于0，所以是增根．

∴   原方程的根是

師生共同解決例1、例2后，教師引導學生與已學過的知識進行比較．

例3  解方程.

分析：此題也可像前面例l、例2一樣通過去分母解決，學生可以試，但由于轉化后為一元四次方程，解起來難度很大，因此應尋求簡便方式，通過引導學生仔細觀察發現，方程中含有未知數的部分  和互為倒數，由此可設  ，則可通過換元法來解題，通過求出y后，再求原方程的未知數的值．

解：設，那么，于是原方程變形為

兩邊都乘以y，得

解得

.

當時，，去分母，得

解得；

當時，，去分母整理，得

，

檢驗：把分別代入原方程的分母，各分母均不等于0.

∴  原方程的根是

，.

此題在解題過程中，經過兩次“轉化”，所以在檢驗中，把所得的未知數的值代入原方程中的分母進行檢驗.

鞏固練習：教材P49中1、2引導學筆答.

（二）總結、擴展

對于小結，教師應引導學生做出.

本節內容的小結應從所學習的知識內容、所學知識采用了什么數學思想及教學方法兩方面進行.

本節我們通過類比的方法，在已有的解可化為一元一次方程的分式方程的基礎上，學習了可化為一元二次方程的分式方程的解法，在具體方程的解法上，適用了“轉化”與“換元”的基本數學思想與基本數學方法.

此小結的目的，使學生能利用“類比”的方法，使學過的知識系統化、網絡化，形成認知結構，便于學生掌握.

四、布置作業 

1．教材P50中A1、2、3.

2．教材P51中B1、2

五、板書設計 

探究活動1

解方程：

分析：若去分母，則會變為高次方程，這樣解起來，比較繁，注意到分母中都有，可用換元法降次

設，則原方程變為

∴

∴或無解

∴

經檢驗：是原方程的解

探究活動2

有農藥一桶，倒出8升后，用水補滿，然后又倒出4升，再用水補滿，此時農藥與水的比為18：7，求桶的容積．

解：設桶的容積為 升，第一次用水補滿后，濃度為 ，第二次倒出的農藥數為4． 升，兩次共倒出的農藥總量（8＋4· ）占原來農藥 ，故

整理，

（舍去）

答：桶的容積為40升．

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