《一元二次方程》數學教案（精選10篇）

　　作為一名專為他人授業解惑的人民教師，總歸要編寫教案，教案是教材及大綱與課堂教學的紐帶和橋梁。那么優秀的教案是什么樣的呢？下面是小編為大家收集的《一元二次方程》數學教案，僅供參考，大家一起來看看吧。

　　《一元二次方程》數學教案 1

　　【教學目標】

　　（1）理解一元二次方程的概念

　　（2）掌握一元二次方程的一般形式，會判斷一元二次方程的二次項系數、一次項系數和常數項。

　　（2）會用因式分解法解一元二次方程

　　【教學重點】

　　一元二次方程的概念、一元二次方程的一般形式

　　【教學難點】

　　因式分解法解一元二次方程

　　【教學過程】

　　（一）創設情景，引入新課

　　實際例子引入：列出的方程分別為X-7x+8=0,(X-7)(X+1)=89,X+8X-9=0

　　由學生說出這幾個方程的共同特征，從而引出一元二次方程的'概念。

　　（二）新授

　　1：一元二次方程的概念。（一個未知數、最高次2次、等式兩邊都是整式）

　　2：一元二次方程的一般形式（形如aX+bX+c=0)

　　任一個一元二次方程都可以轉化成一般形式，注意二次項系數不為零

　　3：講解例子

　　4：利用因式分解法解一元二次方程

　　5：講解例子

　　6：一般步驟

　　（三）小結

　　（四）布置作業

　　《一元二次方程》數學教案 2

　　課題：一元二次方程實數根錯例剖析課

　　【教學目的】

　　精選學生在解一元二次方程有關問題時出現的典型錯例加以剖析，幫助學生找出產生錯誤的原因和糾正錯誤的方法，使學生在解題時少犯錯誤，從而培養學生思維的批判性和深刻性。

　　【課前練習】

　　1、關于x的方程ax2+bx+c=0，當a_____時，方程為一元一次方程；當 a_____時，方程為一元二次方程。

　　2、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式△=_______，當△_______時，方程有兩個相等的實數根，當△_______時，方程有兩個不相等的實數根，當△________時，方程沒有實數根。

　　【典型例題】

　　例1 下列方程中兩實數根之和為2的方程是（）

　　(A) x2+2x+3＝0 (B) x2-2x+3＝0 (c) x2-2x-3＝0 (D) x2+2x+3＝0

　　錯答： B

　　正解： C

　　錯因剖析：由根與系數的關系得x1+x2＝2，極易誤選B，又考慮到方程有實數根，故由△可知，方程B無實數根，方程C合適。

　　例2 若關于x的方程x2+2(k+2)x+k2＝0 兩個實數根之和大于-4，則k的取值范圍是（ ）

　　(A) k＞-1 (B) k＜0 (c) -1＜ k＜0 (D) -1≤k＜0

　　錯解 ：B

　　正解：D

　　錯因剖析：漏掉了方程有實數根的前提是△≥0

　　例3（20xx廣西中考題） 已知關于x的一元二次方程(1-2k)x2-2 x-1＝0有兩個不相等的實根，求k的取值范圍。

　　錯解: 由△＝(-2 )2-4(1-2k)(-1) ＝-4k+8＞0得 k＜2又∵k+1≥0∴k≥ -1。即 k的取值范圍是 -1≤k＜2

　　錯因剖析：漏掉了二次項系數1-2k≠0這個前提。事實上，當1-2k＝0即k＝ 時，原方程變為一次方程，不可能有兩個實根。

　　正解： -1≤k＜2且k≠

　　例4 （20xx山東太原中考題） 已知x1，x2是關于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2+1＝0的兩個實數根，當x12+x22=15時，求m的值。

　　錯解：由根與系數的關系得

　　x1+x2＝ -（2m+1）, x1x2＝m2+1,

　　∵x12+x22＝(x1+x2)2-2 x1x2

　　＝[-（2m+1）]2-2（m2+1）

　　＝2 m2+4 m-1

　　又∵ x12+x22=15

　　∴ 2 m2+4 m-1=15

　　∴ m1 ＝ -4 m2 ＝ 2

　　錯因剖析：漏掉了一元二次方程有兩個實根的前提條件是判別式△≥0。因為當m ＝ -4時，方程為x2-7x+17＝0，此時△＝（-7）2-4×17×1＝ -19＜0，方程無實數根，不符合題意。

　　正解：m ＝ 2

　　例5 若關于 x的方程(m2-1)x2-2 (m+2)x+1＝0有實數根，求m的取值范圍。

　　錯解：△＝[-2(m+2)]2-4(m2-1) ＝16 m+20

　　∵ △≥0

　　∴ 16 m+20≥0，

　　∴ m≥ -5/4

　　又 ∵ m2-1≠0，

　　∴ m≠±1

　　∴ m的取值范圍是m≠±1且m≥ -

　　錯因剖析：此題只說(m2-1)x2-2 (m+2)x+1＝0是關于未知數x的方程，而未限定方程的次數，所以在解題時就必須考慮m2-1＝0和m2-1≠0兩種情況。當m2-1＝0時，即m＝±1時，方程變為一元一次方程，仍有實數根。

　　正解：m的取值范圍是m≥-

　　例6 已知二次方程x2+3 x+a＝0有整數根，a是非負數，求方程的整數根。

　　錯解：∵方程有整數根，

　　∴△＝9-4a＞0，則a＜2.25

　　又∵a是非負數，∴a＝1或a＝2

　　令a＝1，則x＝ -3± ，舍去；令a＝2，則x1＝ -1、 x2＝ -2

　　∴方程的整數根是x1＝ -1， x2＝ -2

　　錯因剖析：概念模糊。非負整數應包括零和正整數。上面答案僅是一部分，當a＝0時，還可以求出方程的另兩個整數根，x3＝0， x4＝ -3

　　正解：方程的整數根是x1＝ -1， x2＝ -2 ， x3＝0， x4＝ -3

　　【練習】

　　練習1、（01濟南中考題）已知關于x的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有兩個不相等的實數根x1、x2。

　　（1）求k的取值范圍；

　　（2）是否存在實數k，使方程的兩實數根互為相反數？如果存在，求出k的值；如果不存在，請說明理由。

　　解：（1）根據題意，得△＝(2k-1)2-4 k2＞0 解得k＜

　　∴當k＜ 時，方程有兩個不相等的實數根。

　　（2）存在。

　　如果方程的兩實數根x1、x2互為相反數，則x1+ x2=- =0，得k＝ 。經檢驗k＝ 是方程- 的解。

　　∴當k＝ 時，方程的兩實數根x1、x2互為相反數。

　　讀了上面的解題過程，請判斷是否有錯誤？如果有，請指出錯誤之處，并直接寫出正確答案。

　　解：上面解法錯在如下兩個方面：

　　（1）漏掉k≠0，正確答案為：當k＜ 時且k≠0時，方程有兩個不相等的實數根。

　　（2）k＝ 。不滿足△＞0，正確答案為：不存在實數k，使方程的兩實數根互為相反數

　　練習2（02廣州市）當a取什么值時，關于未知數x的'方程ax2+4x-1＝0只有正實數根 ?

　　解：（1）當a＝0時，方程為4x-1＝0，∴x＝

　　（2）當a≠0時，∵△＝16+4a≥0 ∴a≥ -4

　　∴當a≥ -4且a≠0時，方程有實數根。

　　又因為方程只有正實數根，設為x1，x2，則：

　　x1+x2＝- ＞0 ；

　　x1. x2＝- ＞0 解得 ：a＜0

　　綜上所述，當a＝0、a≥ -4、a＜0時，即當-4≤a≤0時，原方程只有正實數根。

　　【小結】

　　以上數例，說明我們在求解有關二次方程的問題時，往往急于尋求結論而忽視了實數根的存在與“△”之間的關系。

　　1、運用根的判別式時，若二次項系數為字母，要注意字母不為零的條件。

　　2、運用根與系數關系時，△≥0是前提條件。

　　3、條件多面時（如例5、例6）考慮要周全。

　　【布置作業】

　　1、當m為何值時，關于x的方程x2+2（m-1）x+ m2-9＝0有兩個正根？

　　2、已知，關于x的方程mx2-2（m+2）x+ m+5＝0（m≠0）沒有實數根。

　　求證：關于x的方程

　　（m-5）x2-2（m+2）x + m＝0一定有一個或兩個實數根。

　　考題匯編

　　1、（20xx年廣東省中考題）設x1、 x2是方程x2-5x+3＝0的兩個根，不解方程，利用根與系數的關系，求（x1-x2）2的值。

　　2、（20xx年廣東省中考題）已知關于x的方程x2-2x+m-1＝0

　　（1）若方程的一個根為1，求m的值。

　　（2）m＝5時，原方程是否有實數根，如果有，求出它的實數根；如果沒有，請說明理由。

　　3、（20xx年廣東省中考題）已知關于x的方程x2+2（m-2）x+ m2＝0有兩個實數根，且兩根的平方和比兩根的積大33，求m的值。

　　4、（20xx年廣東省中考題）已知x1、x2為方程x2+px+q＝0的兩個根，且x1+x2＝6，x12+x22＝20，求p和q的值。

　　《一元二次方程》數學教案 3

　　教學目標

　　1． 了解整式方程和一元二次方程的概念；

　　2． 知道一元二次方程的一般形式，會把一元二次方程化成一般形式。

　　3． 通過本節課引入的教學，初步培養學生的數學來源于實踐又反過來作用于實踐的辨證唯物主義觀點，激發學生學習數學的興趣。

　　教學重點和難點：

　　重點：一元二次方程的概念和它的一般形式。

　　難點：對一元二次方程的一般形式的正確理解及其各項系數的確定。

　　教學建議：

　　1． 教材分析：

　　1）知識結構：本小節首先通過實例引出一元二次方程的概念，介紹了一元二次方程的一般形式以及一元二次方程中各項的名稱。

　　2）重點、難點分析

　　理解一元二次方程的定義：

　　是一元二次方程 的重要組成部分。方程 ，只有當 時，才叫做一元二次方程。如果 且 ，它就是一元二次方程了。解題時遇到字母系數的方程可能出現以下情況：

　　（1）一元二次方程的條件是確定的，如方程 （ ），把它化成一般形式為 ，由于 ，所以 ，符合一元二次方程的定義。

　　（2）條件是用“關于 的一元二次方程”這樣的語句表述的，那么它就隱含了二次項系數不為零的條件。如“關于 的一元二次方程 ”，這時題中隱含了 的條件，這在解題中是不能忽略的。

　　（3）方程中含有字母系數的 項，且出現“關于 的方程”這樣的語句，就要對方程中的字母系數進行討論。如：“關于 的`方程 ”，這就有兩種可能，當 時，它是一元一次方程 ；當 時，它是一元二次方程，解題時就會有不同的結果。

　　教學目的

　　1.了解整式方程和一元二次方程的概念；

　　2.知道一元二次方程的一般形式，會把一元二次方程化成一般形式。

　　3.通過本節課引入的教學，初步培養學生的數學來源于實踐又反過來作用于實踐的辨證唯物主義觀點，激發學生學習數學的興趣。

　　教學難點和難點: 重點:

　　1．一元二次方程的有關概念

　　2．會把一元二次方程化成一般形式

　　難點: 一元二次方程的含義.

　　教學過程設計

　　一、引入新課

　　引例：剪一塊面積是150cm2的長方形鐵片，使它的長比寬多5cm、這塊鐵片應該怎樣剪?

　　分析：

　　1.要解決這個問題，就要求出鐵片的長和寬。

　　2.這個問題用什么數學方法解決?(間接計算即列方程解應用題。

　　3．讓學生自己列出方程 ( x（x十5）＝150 )

　　深入引導：方程x(x十5)＝150有人會解嗎?你能叫出這個方程的名字嗎？

　　二、新課

　　1．從上面的引例我們有這樣一個感覺：在解決日常生活的計算問題中確需列方程解應用題，但有些方程我們解不了，但必須想辦法解出來。事實上初中代數研究的主要對象是方程。這部分內容從初一一直貫穿到初三。到目前為止我們對方程研究的還很不夠，從今天起我們就開始研究這樣一類方程--------一元一二次方程(板書課題)

　　2．什么是—元二次方程呢？現在我們來觀察上面這個方程：它的左右兩邊都是關于未知數的整式，這樣的方程叫做整式方程，就這一點來說它與一元一次方程沒有什么區別、也就是說一元二次方程首先必須是一個整式方程，但是一個整式方程未必就是一個一元二次方程、這還取決于未知數的最高次數是幾。如果方程未知數的最高次數是2、這樣的整式方程叫做一元二次方程．(板書一元二次方程的定義)

　　3．強化一元二次方程的概念

　　下列方程都是整式方程嗎?其中哪些是一元一次方程?哪些是一元二次方程?

　　(1)3x十2＝5x—3：

　　(2)x2＝4

　　(3)(x十3)(3x·4)＝(x十2)2；

　　(4)(x—1)(x—2)＝x2十8

　　從以上4例讓學生明白判斷一個方程是否是一元二次方程不能只看表面、而是能化簡必須先化簡、然后再查看這個方程未知數的最高次數是否是2。

　　4. 一元二次方程概念的延伸

　　提問：一元二次方程很多嗎?你有辦法一下寫出所有的一元二次方程嗎?

　　引導學生回顧一元二次方程的定義，分析一元二次方程項的情況，啟發學生運用字母，找到一元二次方程的一般形式

　　ax2+bx+c=0 (a≠0)

　　1）．提問a＝0時方程還是一無二次方程嗎?為什么?(如果a＝0、b≠就成了一元一次方程了)。

　　2）．講解方程中ax2、bx、c各項的名稱及a、b的系數名稱．

　　3）．強調：一元二次方程的一般形式中“＝”的左邊最多三項、其中一次項、常數項可以不出現、但二次項必須存在、而且左邊通常按x的降冪排列：特別注意的是“＝”的右邊必須整理成0。

　　強化概念（課本P6）

　　1．說出下列一元二次方程的二次項系數、一次項系數、常數項：

　　（1）x2十3x十2＝O （2）x2—3x十4＝0； (3)3x2-5＝0

　　（4）4x2十3x—2＝0； (5)3x2—5＝0； (6)6x2—x=0。

　　2.把下列方程先化成二元二次方程的一般形式，再寫出它的二次項系數、一次項系數、常數項：

　　(1)6x2＝3-7x； (3)3x(x-1)＝2(x十2)—4；(5)(3x十2)2＝4(x-3)2

　　課堂小節

　　(1)本節課主要介紹了一類很重要的方程—一一元二次方程（如果方程未知數的最高次數為2，這樣的整式方程叫做一元一二次方程）；

　　(2)要知道一元二次方程的一般形式ax2十bx十c＝0(a≠0)并且注意一元二次方程的一般形式中“＝”的左邊最多三項、其中二次項、常數項可以不出現、但二次項必須存在。特別注意的是“＝”的右邊必須整理成0；

　　(3)要很熟練地說出隨便一個一元二次方程中一二次項、一次項、常數項：二次項系數、一次項系數．

　　課外作業：略

　　《一元二次方程》數學教案 4

　　一、教材分析：

　　1、教材所處的地位：此前學生已經學習了應用一元一次方程與二元一次方程組來解決實際問題。本節仍是進一步討論如何建立和利用一元二次方程模型來解決實際問題，只是在問題中數量關系的復雜程度上又有了新的發展。

　　2、教學目標要求：

　　（1）能根據具體問題中的數量關系，列出一元二次方程，體會方程是刻畫現實世界的一個有效的數學模型；

　　（2）能根據具體問題的實際意義，檢驗結果是否合理；

　　（3）經歷將實際問題抽象為代數問題的過程，探索問題中的數量關系，并能運用一元二次方程對之進行描述；

　　（4）通過用一元二次方程解決身邊的問題，體會數學知識應用的價值，提高學生學習數學的興趣，了解數學對促進社會進步和發展人類理性精神的作用。

　　3、教學重點和難點：

　　重點：列一元二次方程解與面積有關問題的應用題。

　　難點：發現問題中的等量關系。

　　二．教法、學法分析：

　　1、本節課的設計中除了探究3教師參與多一些外，其余時間都堅持以學生為主體，充分發揮學生的主觀能動性。教學過程中，教師只注重點、引、激、評，注重學生探究能力的培養。還課堂給學生，讓學生去親身體驗知識的產生過程，拓展學生的創造性思維。同時，注意加強對學生的啟發和引導，鼓勵培養學生們大膽猜想，小心求證的科學研究的思想。

　　2、本節內容學習的關鍵所在，是如何尋求、抓準問題中的數量關系，從而準確列出方程來解答。因此課堂上從審題，找到等量關系，列方程等一系列活動都由生生交流，兵教兵從而達到發展學生思維能力和自學能力的目的，發掘學生的創新精神。

　　三．教學流程分析：

　　本節課是新授課，根據學生的知識結構，整個課堂教學流程大致可分為：

　　活動1復習回顧解決課前參與

　　活動2封面設計問題的探究

　　活動3草坪規劃問題的延伸

　　活動4課堂回眸

　　這一流程體現了知識發生、形成和發展的過程，讓學生體會到觀察、猜想、歸納、驗證的思想和數形結合的思想。

　　活動1復習回顧解決課前參與

　　由學生展示課前參與題目，集體訂正。目的在于回顧常用幾何圖形的面積公式，并且引出本節學習內容——面積問題。

　　活動2封面設計問題的'探究

　　通過學生自己獨立審題，找尋等量關系，教師引導學生對“正中央矩形與封面長寬比例相同”題意的理解，使學生明白中央矩形長寬比為9：7，從而進一步突破難點：上下邊襯與左右邊襯比也為9：7，為學生設未知數提供幫助。之后由學生分組完成方程的列法，以及取法。講解中注重簡便設法及解法的指導與評價。

　　活動3草坪規劃問題的延伸

　　放手給學生處理，以學生合作完成為主。突出利用平移變換為主的解決方式。多由學生分析不同的處理方法。

　　活動4課堂回眸

　　本課小結從內容、應用、數學思想方法，獲取知識的途徑等幾個方面展開，既有知識的總結，又有方法的提煉，這樣對于學生學知識，用知識是有很大的促進的。方法以學生暢談收獲為主。

　　《一元二次方程》數學教案 5

　　第1教時

　　教學內容：

　　12.1 用公式解一元二次方程（一）

　　教學目標：

　　知識與技能目標：

　　1．使學生了解一元二次方程及整式方程的意義；

　　2．掌握一元二次方程的一般形式，正確識別二次項系數、一次項系數及常數項．

　　過程與方法目標：

　　1．通過一元二次方程的引入，培養學生分析問題和解決問題的能力；

　　2．通過一元二次方程概念的學習，培養學生對概念理解的完整性和深刻性．

　　情感與態度目標：

　　由知識來源于實際，樹立轉化的思想，由設未知數列方程向學生滲透方程的思想方法，由此培養學生用數學的意識．。

　　教學重、難點與關鍵：

　　重點：一元二次方程的意義及一般形式．

　　難點：正確識別一般式中的“項”及“系數”。

　　教輔工具：

　　教學程序設計：

　　程序

　　1．用電腦演示下面的操作：一塊長方形的薄鋼片，在薄鋼片的四個角上截去四個相同的小正方形，然后把四邊折起來，就成為一個無蓋的長方體盒子，演示完畢，讓學生拿出事先準備好的長方形紙片和剪刀，實際操作一下剛才演示的過程．學生的實際操作，為解決下面的問題奠定基礎，同時培養學生手、腦、眼并用的能力．

　　2．現有一塊長80cm，寬60cm的薄鋼片，在每個角上截去四個相同的小正方形，然后做成底面積為1500cm2的無蓋的長方體盒子，那么應該怎樣求出截去的小正方形的邊長？

　　教師啟發學生設未知數、列方程，經整理得到方程x2-70x+825=0，此方程不會解，說明所學知識不夠用，需要學習新的知識，學了本章的知識，就可以解這個方程，從而解決上述問題．

　　板書：“第十二章一元二次方程”．教師恰當的語言，激發學生的求知欲和學習興趣．

　　學生看投影并思考問題

　　通過章前引例和節前引例，使學生真正認識到知識來源于實際，并且又為實際服務，學習了一元二次方程的'知識，可以解決許多實際問題，真正體會學習數學的意義；產生用數學的意識，調動學生積極主動參與數學活動中．同時讓學生感到一元二次方程的解法在本章中處于非常重要的地位．

　　探究新知1

　　1．復習提問

　　（1）什么叫做方程？曾學過哪些方程？

　　（2）什么叫做一元一次方程？“元”和“次”的含義？

　　（3）什么叫做分式方程？

　　2．引例：剪一塊面積為150cm2的長方形鐵片使它的長比寬多5cm，這塊鐵片應怎樣剪？

　　引導，啟發學生設未知數列方程，并整理得方程x2+5x-150=0，此方程和章前引例所得到的方程x2＋70x＋825＝0加以觀察、比較，得到整式方程和一元二次方程的概念．

　　整式方程：方程的兩邊都是關于未知數的整式，這樣的方程稱為整式方程．

　　一元二次方程：只含有一個未知數，且未知數的最高次數是2，這樣的整式方程叫做一元二次方程．

　　3．練習：指出下列方程，哪些是一元二次方程？

　　（1）x（5x-2）＝x（x＋1）＋4x2；

　　（2）7x2＋6＝2x（3x＋1）；

　　（3）

　　（4）6x2＝x；

　　（5）2x2＝5y；

　　（6）-x2＝0

　　4．任何一個一元二次方程都可以化為一個固定的形式，這個形式就是一元二次方程的一般形式．

　　一元二次方程的一般形式：ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．ax2稱二次項，bx稱一次項，c稱常數項，a稱二次項系數，b稱一次項系數．

　　一般式中的“a≠0”為什么？如果a＝0，則ax2+bx+c＝0就不是一元二次方程，由此加深對一元二次方程的概念的理解．

　　5．例1 把方程3x（x-1）＝2（x＋1）＋8化成一般形式，并寫出二次項系數，一次項系數及常數項？

　　教師邊提問邊引導，板書并規范步驟，深刻理解一元二次方程及一元二次方程的一般形式．

　　討論后回答

　　學生設未知數列方程，并整理得方程x2+5x-150=0，此方程和章前引例所得到的方程x2＋70x＋825＝0加以觀察、比較，

　　獨立完成

　　加深理解

　　學生試解

　　問題的提出及解決，為深刻理解一元二次方程的概念做好鋪墊

　　反饋訓練應用提高

　　練習1：教材P．5中1，2．

　　練習2：下列關于x的方程是否是一元二次方程？為什么？若是一元二次方程，請分別指出其二次項系數、一次項系數、常數項：．

　　（4）（b2＋1）x2-bx＋b＝2；（5）2tx（x-5）＝7-4tx．

　　教師提問及恰當的引導，對學生回答給出評價，通過此組練習，加強對概念的理解和深化．

　　要求多數學生在練習本上筆答，部分學生板書，師生評價．題目答案不唯一，最好二次項系數化為正數．

　　小結提高

　　（四）總結、擴展

　　引導學生從下面三方面進行小結．從方法上學到了什么方法？從知識內容上學到了什么內容？分清楚概念的區別和聯系？

　　1．將實際問題用設未知數列方程轉化為數學問題，體會知識來源于實際以及轉化為方程的思想方法．

　　2．整式方程概念、一元二次方程的概念以及它的一般形式，二次項系數、一次項系數及常數項．歸納所學過的整式方程．

　　3．一元二次方程的意義與一般形式ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的區別和聯系．強調“a≠0”這個條件有長遠的重要意義．

　　學生討論回答

　　布置作業

　　1．教材P．6 練習2．

　　2．思考題：

　　1）能不能說“關于x的整式方程中，含有x2項的方程叫做一元二次方程？”

　　2）試說出一元三次方程，一元四次方程的定義及一般形式（學有余力的學生思考）．

　　《一元二次方程》數學教案 6

　　教學目標

　　1.能夠利用配方的方法，得到實系數一元二次方程的求根公式，會在復數集中解實系數一元二次方程。

　　2.能夠模仿初中學過的分解因式的方法，在復數范圍內對二次三項式進行因式分解。

　　3.能夠類比初中學過的根與系數的關系，推導出實系數一元二次方程根與數的關系。

　　教學重點與難點

　　1.在復數集中解實系數一元二次方程；

　　2.在復數范圍內對二次三項式進行因式分解.

　　教學流程

　　配方—-求根公式——練習分解因式——韋達定理

　　教學過程

　　1.復習實數的.平方根

　　實數a的平方根=

　　2.最簡單的一元二次方程

　　3.推廣

　　4.請同學們自己編一道解為共軛虛根的一元二次方程，并求解。

　　5.研究實系數一元二次方程的解

　　以上方程中的系數都是實數，今天我們研究實系數一元二次方程的解。

　　6.回頭再解前面的方程

　　7.分解因式

　　8.韋達定理

　　對于實系數一元二次方程，當其有實數根時，我們在初中已經學習過了根與系數的關系：，（即韋達定理）.

　　實系數一元二次方程的韋達定理：

　　特別地，當時，為一對共軛虛根，即，∴，.

　　9.課后練習：

　　（1）在復數集中分解因式：.

　　（2）方程在復數集中解的個數為（）

　　（A）2（B）4（C）6（D）8

　　（3）在復數范圍內解方程(i為虛數單位).

　　（4）已知1-i是實系數一元二次方程的一個根，則=.

　　（5）若兩個數之和為2，兩個數之積為3，則這兩個數分別為.

　　（6）在復數集中分解因式：=.

　　（7）若方程有虛數根z，則|z|=.

　　《一元二次方程》數學教案 7

　　一、教學目標

　　（一）知識目標

　　1、理解求解一元二次方程的實質。

　　2、掌握解一元二次方程的配方法。

　　（二）能力目標

　　1、體會數學的轉化思想。

　　2、能根據配方法解一元二次方程的一般步驟解一元二次方程。

　　（三）情感態度及價值觀

　　通過用配方法將一元二次方程變形的過程，讓學生進一步體會轉化的思想方法，并增強他們學習數學的興趣。

　　二、教學重點

　　配方法解一元二次方程的一般步驟

　　三、教學難點

　　具體用配方法的一般步驟解一元二次方程。

　　四、知識考點

　　運用配方法解一元二次方程。

　　五、教學過程

　　（一）復習引入

　　1、復習：

　　解一元一次方程的一般步驟：

　　（1）去分母；

　　（2）去括號；

　　（3）移項；

　　（4）合并同類項；

　　（5）系數化為1。

　　2、引入：

　　二次根式的意義：若x2=a (a為非負數），則x叫做a的平方根，即x=±√a 。實際上，x2 =a（a為非負數)就是關于x的一元二次方程，求x的平方根就是解一元二次方程。

　　（二）新課探究

　　通過實際問題的解答，引出我們所要學習的知識點。通過問題吸引學生的注意力，引發學生思考。

　　問題1：

　　一桶某種油漆可刷的面積為1500dm李林用這桶油漆剛好刷完10個同樣的正方體形狀的盒子的.全部外表面，你能算出盒子的棱長嗎？

　　問題1重在引出用直接開平方法解一元二次方程。這一問題學生可通過“平方根的意義”的講解過程具體的解答出來，具體解題步驟：2解：設正方體的棱長為x dm，則一個正方體的表面積為6xdm

　　列出方程：60x2=1500

　　x2=25

　　x=±5

　　因為x為棱長不能為負值，所以x=5

　　即：正方體的棱長為5dm。

　　1、用直接開平方法解一元二次方程

　　（1）定義：運用平方根的定義直接開方求出一元二次方程解。

　　（2）備注：用直接開平方法解一元二次方程，實質是把一個一元二次方程“降次”，轉化為兩個一元二次方程來求方程的根。

　　問題2：

　　要使一塊矩形場地的長比寬多6cm，并且面積為16O，場地的長和寬應各為多少？

　　問題2重在引出用配方法解一元二次方程。而問題2應該大部分同學都不會，所以由我來具體的講解。主要通過與完全平方式對比逐步解這個方程。再由這個方程的求解過程師生共同總結出配方法解一元二次方程的一般步驟。讓學生加深映像。

　　具體解題步驟：

　　解：設場地寬x m，長（x +6）m。

　　列方程：x（x +6）=16

　　即：x2+6x-16=0

　　x2+6x=16

　　x2+6x+9=16+9

　　（x+3）2=25

　　x+3=±5

　　x+3=5x+3=-5

　　x1=2，x2=-8

　　2、配方法解一元二次方程

　　（1）定義：通過配成完全平方的形式來解一元二次方程的方法。

　　（2）配方法解一元二次方程一般步驟：

　　一化：先將常數移到方程右邊，后將二次項系數化為1

　　二配：方程左右兩端都加上一次項系數一半的平方

　　三成式：將方程左邊化為一個含有未知數的完全平方式

　　四開：直接開平方

　　五寫：寫出方程的解

　　（三）應用舉例

　　針對每個知識點各舉了一個例子，每個例子有兩個方程，逐漸加深。讓學生更易接受。讓學生在例題中進行思考和總結。具體的例1鏈接知識點1，例2鏈接知識點2。

　　例1解方程

　　（1）9x2-1=0；

　　（2）x2+2x+1=16。

　　解：（1）原方程變形為：9x2=1

　　x2=1/9

　　x=±1/3

　　即x1=1/3，x2=-1/3

　　（2）原方程變形為：（x+1）=16

　　x+1=±4

　　x1=3，x2=-5

　　2例1講解完之后，我會讓學生思考：形如（ax +b) =c（a≠0；cR0）的一元二次方程的解。讓學生能夠從特殊的到一般的題目。

　　例2用配方法解下列方程：

　　（1）x2-3x-2=0（2）2x2-3x-6=0

　　解：（1）移項x2-3x=2

　　配方x2-3x+（3/2）2=2+（3/2）2

　　（x-3/2）2=17/4

　　x-3/2=±√17/2

　　x1= 3/2+√17/2，x2=3/2-√17/2

　　(2)將二次項系數化為1

　　x2-3/2x-3=0

　　x2-3/2x=3

　　x2-3/2x+（3/4）2=3+（3/4）2

　　（x-3/4）2=57/16

　　x-3/4=±√57/4

　　x1= 3/4+√57/4，x2=3/4-√57/4

　　（四）反饋練習

　　了解學生知識的掌握程度，即時發現問題。而這道題目重在學生自己去發現錯誤，加深配方法解一元二次方程的一般步驟。從而突破這一重難點。練習：

　　觀察下列用配方法解方程2x2-4x+1=0的兩種解答是否正確，若不正確請你寫出正確的解答。

　　解:（1）配方2x2-4x+4-4=1，即（2x-2）2=5

　　所以，2x-2= √5或2x-2= -√5

　　所以，x1= 1+ √5 /2，x2=1- √5 /2

　　（2）系數化為1 x2-2x=1/2

　　配方x2-2x+1=1/2即（x-1）2=1/2

　　所以x-1=√2 /2或x-1=-√2 /2

　　所以x1= 1+ √2 /2，x2=1- √2/2。

　　六、課堂小結

　　對本堂課的內容進行鞏固和反思。主要由學生歸納，老師補充總結。

　　小結：

　　1、本節課主要學習了用配方法解一元二次方程，其中運用到了解一元一次方程，二次根式等方面的知識。

　　2、重點理解和掌握配方法解一元二次方程一般步驟并會運用配方法解一元二次方程。

　　七、布置作業

　　對本堂課的知識進行鞏固和提高。根據新課程標準“人人學習不同的數學”的理念，把作業分為必做題和選作題，給學生更大的空間。

　　《一元二次方程》數學教案 8

　　一、復習目標：

　　1、能說出一元二次方程及其相關概念；

　　2、能熟練應用配方法、公式法、分解因式法解簡單的一元二次方程，并在解一元二次方程的過程中體會轉化等數學思想。

　　3、能靈活應用一元二次方程的知識解決相關問題，能根據具體問題的實際意義檢驗結果的合理性，進一步培養學生分析問題、解決問題的意識和能力。

　　二、復習重難點：

　　重點：一元二次方程的解法和應用.

　　難點：應用一元二次方程解決實際問題的方法.

　　三、知識回顧:

　　1、一元二次方程的定義：

　　2、一元二次方程的常用解法有：

　　配方法的一般過程是怎樣的？

　　3、一元二次方程在生活中有哪些應用？請舉例說明。

　　4、利用方程解決實際問題的關鍵是。

　　在解決實際問題的過程中，怎樣判斷求得的結果是否合理？請舉例說明。

　　四、例題解析：

　　例1、填空

　　1、當m時，關于x的方程(m－1)+5+mx=0是一元二次方程.

　　2、方程(m2－1)x2+(m－1)x+1=0，當m時，是一元二次方程；當m時，是一元一次方程.

　　3、將一元二次方程x2-2x-2=0化成(x+a)2=b的.形式是；此方程的根是.

　　4、用配方法解方程x2+8x+9=0時，應將方程變形為()

　　A.(x+4)2=7B.(x+4)2=－9

　　C.(x+4)2=25D.(x+4)2=－7

　　學習內容學習隨記

　　例2、解下列一元二次方程

　　(1)4x2－16x+15=0(用配方法解)(2)9－x2=2x2－6x(用分解因式法解)

　　(3)(x＋1)(2－x)=1(選擇適當的方法解)

　　例3、1、新竹文具店以16元/支的價格購進一批鋼筆，根據市場調查，如果以20元/支的價格銷售，每月可以售出200支；而這種鋼筆的售價每上漲1元就少賣10支.現在商店店主希望銷售該種鋼筆月利潤為1350元，則該種鋼筆該如何漲價？此時店主該進貨多少？

　　2、如圖，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=6m，BC=8m，點P、Q同時由A、B兩點出發分別沿AC，BC方向向點C勻速運動，它們的速度都是1m/s，幾秒后△PCQ的面積為Rt△ACB面積的一半？

　　《一元二次方程》數學教案 9

　　【知識與技能】

　　1.理解一元二次方程求根公式的推導過程，了解公式法的概念.

　　2.會熟練應用公式法解一元二次方程.

　　【過程與方法】

　　通過復習配方法解一元二次方程，引導學生推導出求根公式，使學生進一步認識特殊與一般的關系.

　　【情感態度】

　　經歷探索求根公式的過程，培養學生抽象思維能力，滲透辯證唯物主義觀點.

　　【教學重點】

　　求根公式的推導和公式法的應用.

　　【教學難點】

　　一元二次方程求根公式的推導.

　　一、情境導入，初步認識

　　用配方法解方程：（1）x2+3x+2=0 （2）2x2-3x+5=0

　　解：（1）x1=-1,x2=-2 （2）無解

　　二、思考探究，獲取新知

　　如果這個一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的'步驟求出它們的兩根？

　　問題 已知ax2+bx+c=0（a≠0），試推導它的兩個根

　　【分析】因為前面具體數字的題目已做得很多，現在不妨把a,b,c也當成具體數字，根據上面的解題步驟就可以推導下去.

　　探究 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系數a,b,c而定，因此:

　　（1）解一元二次方程時，可以先將方程化為一般形式ax2+bx+c=0，當b2-4ac≥0時，將a,b,c代入式子 就得到方程的根，當b2-4ac＜0時,方程沒有實數根.

　　（2） 叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式.

　　（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.

　　【教學說明】教師可以引導學生利用配方法推出求根公式，體驗獲取知識的過程，體會成功的喜悅，可讓學生小組展示.

　　例1 用公式法解下列方程：

　　①2x2-4x-1=0 ②5x+2=3x2

　　③（x-2）（3x-5）=0 ④4x2-3x+1=0

　　解：①x1=1+ ,x2=1-

　　②x1=2,x2=-

　　③x1=2,x2=

　　④無解

　　【教學說明】（1）對②、③要先化成一般形式；（2）強調確定a,b,c的值，注意它們的符號；（3）先計算b2-4ac的值，再代入公式.

　　三、運用新知，深化理解

　　1.用公式法解下列方程：

　　（1）x2+x-12=0

　　（2）x2- x- =0

　　（3）x2+4x+8=2x+11

　　（4）x（x-4）=2-8x

　　（5）x2+2x=0

　　（6）x2+2 x+10=0

　　解：（1）x1=3,x2=-4;

　　（2）x1= ,x2= ；

　　（3）x1=1,x2=-3;

　　（4）x1=-2+ ，x2=-2- ；

　　（5）x1=0,x2=-2;

　　（6）無解.

　　【教學說明】用公式法解方程關鍵是要先將方程化為一般形式.

　　四、師生互動，課堂小結

　　1.求根公式的概念及其推導過程.

　　2.公式法的概念.

　　3.應用公式法解一元二次方程.

　　1.布置作業：從教材相應練習和“習題22.2”中選取.

　　2.完成練習冊中本課時練習的“課時作業”部分.

　　在學習活動中，要求學生主動參與，認真思考，比較觀察，交流與表述，體驗知識的獲取的過程，激發學生的學習興趣，利用師生的雙邊活動，適時調試，從而提高學習效率.

　　《一元二次方程》數學教案 10

　　教材分析：

　　1.本節以生活中的實際問題為背景，引出一元二次方程的概念，讓學生掌握一元二次方程的特點，歸納出一元二次方程的一般形式，給出一元二次方程的根的概念，并指出一元二次方程的根不唯一。本節內容是在前面所學方程、一元一次方程、整式、方程的解的基礎上進行學習，也是后面學習二次函數的一個基礎。

　　2.這些概念是全章后繼內容的基礎。

　　3.讓學生體會數學來源于生活，又服務于生活的基本思想。

　　學情分析：

　　1.授課班級學生基礎較差，學生成績參差不齊，差生較多。教學中應給予充分思考的時間，注意講練結合，以學生為本，體現生本課堂的理念。

　　2.該班級學生在平時訓練中已經形成了良好的合作精神和合作氣氛，可以充分發揮合作的優勢，從而充分調動學生主動性和積極性，使課堂氣氛活躍，讓學生在愉快的環境中學習。

　　3.作為該班的班主任，同時又擔任該班的數學教學，對學生學習情況有比較深入地了解，在解決具體問題的時候可以兼顧不同能力的學生，充分調動學生的積極性，在練習題的設計上要針對學生的差異采取分層設計的方法，著重加強對學生的雙基訓練。

　　教學目標：

　　一、知識與技能:

　　1.理解一元二次方程的概念，能判斷一個方程是一元二次方程。

　　2.掌握一元二次方程的一般形式，正確認識二次項系數、一次項系數及常數項.

　　二、過程與方法：

　　1.引導學生分析實際問題中的數量關系，組織學生討論，讓學生類比、抽象出一元二次方程的概念。

　　2.培養獨立思考，合作交流學，分析問題，解決問題的能力。

　　三、情感態度與價值觀：

　　1.培養學生主動探究知識、自主學習和合作交流的意識.

　　2.激發學生學數學的興趣，體會學數學的快樂，培養用數學的意識.

　　3.讓學生體會數學來源于生活，又服務于生活的基本思想，從而意識到數學在生活中的作用。

　　教學重點：一元二次方程的概念及一般形式，利用概念解決實際問題。

　　教學難點：

　　1.由實際問題向數學問題的轉化過程.

　　2.正確識別一般式中的“項”及“系數”.

　　3.一元二次方程的特點，如何判斷一個方程是一元二次方程。

　　教學過程：

　　一、創設情境，引入新課

　　1.問題1：廣安區為增加農民收入，需要調整農作物種植結構，計劃無公害蔬菜的產量比翻一番，要實現這一目標，和20無公害蔬菜產量的年平均增長率是多少?(通過放幻燈片引入)

　　設無公害蔬菜產量的年平均增長率為x，20的產量為a(a≠0)，翻一番的意思就是a變為2a,那么

　　(1)用代數式表示20的產量;

　　(2)年蔬菜的`產量比年增加了2x，對嗎?為什么?你能用代數式表示出來嗎?

　　學生思考交流得出方程a(1+x)2=2a

　　整理得，x2+2x-1=0…………①

　　2.通過幻燈片引入情境,提出問題：

　　問題2：廣安市政府在一塊寬200m、長320m的矩形廣場上，修筑寬相等的三條小路(兩條縱向、一條橫向，縱向與橫向垂直)，把矩形空地分成大小一樣的6塊，建成小花壇，要使花壇的總面積為57000m2，問小路的寬應為多少?

　　設小路的寬為x m，則橫向小路的面積如何表示?縱向的呢?重疊部分的面積是多少?小路所占的面積用x的代數式如何表示?

　　這個問題的相等關系是什么?

　　320×200-(320x+2×200x-2x2)=57000

　　整理得x2-36x+35=0

　　誰還能換一種思路考慮這個問題?

　　把6個小花壇拼起來是一個多長多寬的矩形，由此你會得出什么樣的方程?

　　(320-2x)(200-x)=57000

　　整理得x2-36x+35=0…………②

　　比較一下，哪種方法更巧妙?

　　3.通過幻燈片引入情景。問題3：廣安重百商場銷售某品牌服裝，若每件盈利50元，則每月可銷售100件。若每件降價1元，則每月可多賣出5件，若每月要盈利6000元，則商場決定每件服裝降價多少?

　　設每件降價x元，則現在的盈利為(50-x)元，降價后銷售量為(100+5x)件。可列方程為：(50-x)(100+5x)=6000

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