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數(shù)學(xué)函數(shù)的對稱性與周期性
函數(shù)的對稱性，周期性是函數(shù)的兩個基本性質(zhì).在中學(xué)數(shù)學(xué)中，研究一個函數(shù)，首先看定義域，值域，然后就要研究對稱性(中心對稱，軸對稱)，以下是小編整理的數(shù)學(xué)函數(shù)的對稱性與周期性，希望對大家有所幫助。
數(shù)學(xué)函數(shù)的對稱性與周期性
對稱性：函數(shù)圖象存在的一種對稱關(guān)系，包括點對稱和線對稱。
周期性：若存在一非零常數(shù)T，對于定義域內(nèi)的任意x，使f(x)=f(x+T) 恒成立，則f(x)叫作周期函數(shù)，T叫作這個函數(shù)的一個周期。
對稱性和周期性是函數(shù)的兩大重要性質(zhì)，他們之間是否存在著內(nèi)在的聯(lián)系呢？本文就來研究一下它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，有不足之處望大家批評指正。
函數(shù)自身的對稱性探究
定理1.函數(shù) y = f (x)的圖像關(guān)于點A (a ，b)對稱的充要條件是
f (x) + f (2a－x) = 2b
證明：（必要性）設(shè)點P(x ，y)是y = f (x)圖像上任一點，∵點P( x ，y)關(guān)于點A (a ，b)的對稱點P（2a－x，2b－y）也在y = f (x)圖像上，∴ 2b－y = f (2a－x)
即y + f (2a－x)=2b故f (x) + f (2a－x) = 2b，必要性得證。
（充分性）設(shè)點P(x0，y0)是y = f (x)圖像上任一點，則y0 = f (x0)
∵ f (x) + f (2a－x) =2b∴f (x0) + f (2a－x0) =2b，即2b－y0 = f (2a－x0) 。
故點P（2a－x0，2b－y0）也在y = f (x) 圖像上，而點P與點P關(guān)于點A (a ，b)對稱，充分性得征。
推論：函數(shù) y = f (x)的圖像關(guān)于原點O對稱的充要條件是f (x) + f (－x) = 0
定理2. 函數(shù) y = f (x)的圖像關(guān)于直線x = a對稱的充要條件是
f (a +x) = f (a－x) 即f (x) = f (2a－x) （證明留給讀者）
推論：函數(shù) y = f (x)的圖像關(guān)于y軸對稱的充要條件是f (x) = f (－x)
定理3. ①若函數(shù)y = f (x) 圖像同時關(guān)于點A (a ，c)和點B (b ，c)成中心對稱（a≠b），則y = f (x)是周期函數(shù)，且2 a－b是其一個周期。
②若函數(shù)y = f (x) 圖像同時關(guān)于直線x = a 和直線x = b成軸對稱 （a≠b），則y = f (x)是周期函數(shù)，且2 a－b是其一個周期。
③若函數(shù)y = f (x)圖像既關(guān)于點A (a ，c) 成中心對稱又關(guān)于直線x =b成軸對稱（a≠b），則y = f (x)是周期函數(shù)，且4 a－b是其一個周期。
①②的證明留給讀者，以下給出③的證明：
∵函數(shù)y = f (x)圖像既關(guān)于點A (a ，c) 成中心對稱，
∴f (x) + f (2a－x) =2c，用2b－x代x得：
f (2b－x) + f [2a－(2b－x) ] =2c………………（*）
又∵函數(shù)y = f (x)圖像直線x =b成軸對稱，
∴ f (2b－x) = f (x)代入（*）得：
f (x) = 2c－f [2(a－b) + x]…………（**），用2（a－b）－x代x得
f [2 (a－b)+ x] = 2c－f [4(a－b) + x]代入（**）得：
f (x) = f [4(a－b) + x]，故y = f (x)是周期函數(shù)，且4 a－b是其一個周期。
二、不同函數(shù)對稱性的探究
定理4. 函數(shù)y = f (x)與y = 2b－f (2a－x)的圖像關(guān)于點A (a ，b)成中心對稱。
定理5. ①函數(shù)y = f (x)與y = f (2a－x)的圖像關(guān)于直線x = a成軸對稱。
②函數(shù)y = f (x)與a－x = f (a－y)的圖像關(guān)于直線x +y = a成軸對稱。
③函數(shù)y = f (x)與x－a = f (y + a)的圖像關(guān)于直線x－y = a成軸對稱。
定理4與定理5中的①②證明留給讀者，現(xiàn)證定理5中的③
設(shè)點P(x0 ，y0)是y = f (x)圖像上任一點，則y0 = f (x0)。記點P( x ，y)關(guān)于直線x－y = a的軸對稱點為P（x1， y1），則x1 = a + y0 ， y1 = x0－a ，∴x0 = a + y1 ， y0= x1－a 代入y0 = f (x0)之中得x1－a = f (a + y1) ∴點P（x1， y1）在函數(shù)x－a = f (y + a)的圖像上。
同理可證：函數(shù)x－a = f (y + a)的圖像上任一點關(guān)于直線x－y = a的軸對稱點也在函數(shù)y = f (x)的圖像上。故定理5中的③成立。
推論：函數(shù)y = f (x)的圖像與x = f (y)的圖像關(guān)于直線x = y 成軸對稱。
函數(shù)的周期性
令a,b均不為零，若：
1、函數(shù)y=f（x）存在f（x）=f（x+a）==>函數(shù)最小正周期T=|a|
2、函數(shù)y=f（x）存在f（a+x）=f（b+x）==>函數(shù)最小正周期T=|b-a|
3、函數(shù)y=f（x）存在f（x）=-f（x+a）==>函數(shù)最小正周期T=|2a|
4、函數(shù)y=f（x）存在f（x+a）=1/f（x）==>函數(shù)最小正周期T=|2a|
5、函數(shù)y=f（x）存在f（x+a）=[f（x）+1]/[1f（x）]==>函數(shù)最小正周期T=|4a|
這里只對第2~5點進行解析。
第2點解析：
令X=x+a，f[a+（xa）]=f[b+（xa）]∴f（x）=f（x+ba）==>T=ba
第3點解析：同理，f（x+a）=-f（x+2a）……
①f（x）=-f（x+a）……
②∴由①和②解得f（x）=f（x+2a）∴函數(shù)最小正周期T=|2a|
第4點解析：
f（x+2a）=1/f（x+a）==>f（x+a）=1/f（x+2a）
又∵f（x+a）=1/f（x）∴f（x）=f（x+2a）
∴函數(shù)最小正周期T=|2a|
第5點解析：
∵f（x+a）={2[1f（x）]}/[1f（x）]=2/[1f（x）]1
∴1f（x）=2/[f（x）+1]移項得f（x）=12/[f（x+a）+1]
那么f（x-a）=12/[f（x）+1]，等式右邊通分得f（x-a）=[f（x）1]/[1+f（x）]∴1/[f（x-a）=[1+f（x）]/[f（x）1]，即-1/[f（x-a）=[1+f（x）]/[1-f（x）]∴-1/[f（x-a）=f（x+a），-1/[f（x2a）=f（x）==>-1/f（x）=f（x-2a）①，又∵-1/f（x）=f（x+2a）②，
由①②得f（x+2a）=f（x-2a）==>f（x）=f（x+4a）
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