直線與圓的位置關系教學設計

時間：2024-08-21 11:34:32 學人智庫我要投稿

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直線與圓的位置關系教學設計

　　導語：

直線與圓的位置關系教學設計

　　《直線與圓的位置關系》是圓與方程這一章的重要內容，它是學生在初中平面幾何中已學過直線與圓的三種位置關系，以及在前面幾節學習了直線與圓的方程的基礎上，從代數角度，運用坐標法進一步研究直線與圓的位置關系，體會數形結合思想，初步形成代數法解決幾何問題的能力，并逐漸內化為學生的習慣和基本素質，為以后學習直線與圓錐曲線的知識打下基礎。

　　一、課程分析：

　　(1)教材的地位和作用：

　　在近十年的高考中，對選擇題題型考查本章的基本概念和性質，此類題難度不大，但每年必考。以解答題考查直線與圓的位置關系，可能性不大。所以考試這類題難度為中檔題。但是圓這一章性質比較多，特別是直線與圓這一知識非常重要，對后面學習直線與圓錐曲線起著拋磚引玉的作用，要重點研究。解決直線與圓的位置關系的問題，要熟練運用數形結合的思想，既要充分運用平面幾何中有關圓的性質，又要結合代定系數法運用直線方程中的基本度量關系，養成勤畫圖的良好習慣。

　　(2)重點：1能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題.

　　2掌握兩種方法解決幾何問題：代數方法和幾何方法

　　難點：1.根據不同的幾何條件，求圓的方程

　　2解決有關圓與直線的位置關系的綜合問題

　　3了解解析幾何中多種數學方法的應用

　　二、學情分析

　　學生在前面已經學習了直線與圓的知識，還有圓錐曲線的知識。能夠解決一些基本題型，掌握了解析幾何的一些常用的數學思想方法。但是因為間隔時間比較長，所以有些知識有些淡忘，特別對某些題型該注意的問題比較模糊。另外對知識的掌握上還是不夠熟練，規律方法的總結上缺乏系統性。所以這節課主要是通過典型題目起到復習基本知識總結規律的作用，其實解析幾何中圓與圓錐曲線的解題方法有很多共性，在后面設置一個難度稍大，比較綜合的題目，起到深化知識，統一方法的作用。

　　三、設計理念：

　　課堂教學的中心是學生的學習活動，教學的根本任務是教學生學。本設計努力挖掘內容的本質和聯系，充分考慮學生的學習基礎和思維發展方向，力求教學過程的自然流暢。在教學方法上，以"問題引導，探究交流"為主，兼容講解、演示、合作等多種方式，力求靈活運用。在教學目標上，因為這是第一輪復習，所以注重基礎和方法規律的總結。以突出解析思想為主，容知識與技能、過程與方法、情感與體驗為一體，力求多元價值取向。

　　四、教學目標：

　　知識目標：①鞏固高一高二的成果，并在此基礎上有所提高，對知識方法的掌握達到熟練程度。

　　②熟練掌握圓的切線的求法，圓系方程的應用

　　③熟練運用直線與圓的位置關系的相關知識來解決有關問題。

　　能力目標：① 培養學生觀察、分析、類比轉化、一題多解的能力;

　　② 培養學生數形結合的思想方法，提高分析問題、解決問題、總結歸納的能力。

　　情感態度、價值觀目標：

　�、� 通過師生的合作與交流，體現教師為主導、學生為主體的教學模式。

　�、� 通過直線與圓位置關系相關知識的深入研究，提高學生的解析幾何的分析能力，培養學生探究精神和創新意識，讓學生感受數學，體會數學美的魅力，激發學生學數學、用數學的熱情。

　　五、課前準備(復習基礎知識：(小卷))

　　1.傾斜角的范圍：________

　　2. 斜率K=_____,限制條件：________

　　3.直線方程的五種形式：①點斜式：_____②斜截式：___③兩點式：___④截距式：____⑤一般式：____

　　4.兩直線的位置關系：(1)兩直線平行

　　對于直線L1:y=k1x+b1,L2:y=k2x+b2, L1 ∥L2_______

　　(2)兩直線垂直

　　對于直線L1:y=k1x+b1,L2:y=k2x+b2, L1 ⊥L2_______

　　對于直線L1:A1x+B1y+C1=0,L2 :A2x+B2y+C2=0, L1 ⊥L2_______

　　5.點到直線的距離：

　　平面上一點P(x0,y0)到一條直線L: Ax+By+C=0的距離

　　d=____________________

　　6.圓的方程

　　(1)圓的標準方程：

　　設圓心為(a,b)，半徑為r，則圓的標準方程為_______，當圓心在原點時，圓的方程為_________.

　　(2)圓的一般方程

　　方程x2+y2+Dx+Ey+F =0當_______時表示圓，這叫圓的一般方程，其中圓心坐標為______，半徑為________

　　(3)圓的直徑式方程

　　設A(x1,y1),B(x2,y2)是圓的直徑的兩端點，則其直徑方程為_________

　　7.直線與圓的位置關系：_______、________、________

　　六、問題引入

　　師：投影課前小卷，附答案

　　[實錄]：學生對照答案自己改正

　　[點評]：復習一輪的基礎知識，并為這節課進一步深化研究直線與圓作好知識準備工作。

　　師：怎樣判別第7題的三種位置關系?

　　[點評]：問題提出，導入新課，讓學生明確這節課的目的和內容。

　　生：用圓心到直線的距離d與半徑r大小進行比較：

　　d>r相離，d=r相切，d師：很好，這用的是幾何法，有沒有別的方法要補充?

　　生：還可以把圓的二次方程與直線的一次方程聯立，看△

　　△ <0相離,△=0相切,△>相交.

　　師：不錯，這是代數法。直線和圓的位置關系非常重要，它的重要性僅次于圓錐曲線，并且是我們以后復習圓錐曲線的基礎。這節課我們重點對直線和圓的位置關系進行研究。

　　七、性質的運用

　　1、切線的應用

　　例1.(投影儀)

　　1) 設直線L過點A(-2,0)與圓x2+y2=1相切，則L的斜率是___________若L與圓有兩個交點，則K的范圍是__________________

　　師：(停頓2分鐘)做出來請舉手!并且給同學講解一下

　　([點評]：鼓勵學生通過思考，自己來獨立解決，從而提高學生的能力。)

　　([實錄]：一學生積極發言，投影自己的答案，并且進行講解，不詳的地方通過老師點撥或者其他同學補充)

　　師：很好，他用的是勾股定理，這是數形結合的方法。充分利用了圓的切線的性質，即連接圓心和切點得到垂直關系。

　　師：若將(-2，0)點換成(0，2)呢?

　　([點評]：通過設置變式，深入問題，提高學生的變通能力)

　　([實錄]：有第一題做鋪墊，學生很快作出答案，一生搶先發言，但是他第2個小題答案是(-,)，一部分同學有異議，說應該是(-，-)(，+)。大家開始議論，有的同學臉上寫滿困惑。)

　　師：K的范圍到底是什么，不能光靠猜想。大家想一想斜率的范圍應該由誰決定?

　　生齊答：傾斜角!

　　師：我們可以先來研究傾斜角，通過tan圖象來直觀觀察K的范圍。

　　([實錄]：學生頓悟，有的忙著畫圖象，有的小聲議論，很快有生起來解析，并切中要害：第一個題傾斜角的范圍里沒有，而第二個題有。)

　　師：這個同學發現的非常準，是一個特殊位置，根據角的范圍求K，一定要結合tan圖象，看清楚K的范圍到底是那些部分。

　　(點評：這個題目學生有明顯的共同的錯誤就是容易弄錯K的范圍。針對學生出現的困惑，老師適時點撥，引導學生積極思考，而不是直接把正確做法灌輸給學生，讓學生自己動手挖掘答案，具體解題讓學生自己完成，正確與錯誤方法的對照，讓學生清晰的認識到自己在審題、解答過程中出現的問題)

　　2) 求的最小值

　　([點評]：改變問題形式，仍然是切線問題。通過這題復習了求切線的兩種方法，設切線方程的點斜式，一種是代數方法：聯立圓的方程，用△=0求K;一種是幾何法，用圓心到直線的距離等于半徑求K。)

　　師：能不能求過(,)點的切線方程?如果改成求過點P(1，2)的切線方程呢?

　　([點評]：求過一點的圓的切線方程，是圓這一章中很重要的題型。有兩點要注意①是看清點是在圓上還是在圓外②是點如果在圓外,切線有兩條,有時求一個K,容易只得到一條切線方程,漏掉另一條斜率不存在的切線方程。通過這道題設置問題陷阱,給容易出錯的學生起到警醒的作用)

　　([實錄]:這類題目學生很容易完成,但依然不少出錯,老師讓出錯的同學說出答案,別的同學立即給予指正.這個同學臉上十分慚愧,從反面加深印象,起到了示范和警醒的效果)

　　2、圓系方程的應用

　　例2.圓心為(2,1),且與已知圓x2+y2-3x=0的公共弦所在的直線過點(5,-2),求圓的方程.

　　師:有沒有同學起來分析一下這道題,特別是不太會做的同學,可以起來說說你在哪個地方思維受阻?讓別的同學幫忙解決一下。

　　([點評]:改變以往的授課方式,老師退出"主角"的位置,把探究問題,分析問題的主動權讓給學生,鼓勵學生展示自己的思維過程,這樣避免了老師和學生的思維脫節,更貼近學生的實際,如果出現錯誤的思維過程正好暴漏學生知識的弱點)

　　生1:要求圓的方程應該先設圓的方程, 我知道這題與圓心有關應選擇圓的標準方程.但往下不知道怎么研究兩圓的公共弦所在的直線.

　　生2:我想到一輪復習中學過的圓系方程,圓1減圓2等于直線方程,就是兩圓公共弦所在的直線方程,然后代入點求K

　　([實錄]：師生共同活動完成這題的小結:①待定系數法求圓的方程,先根據已知條件選擇方程形式:如果與圓心半徑有關,用標準方程;如果告訴圓上兩點或三點,用一般方程②圓系方程：(圓1)+(圓2)=0 。-1表示經過兩圓交點的所有圓的方程;=0;表示圓1;=-1表示兩圓公共弦所在的直線方程(前提兩圓的x2.y2兩項系數要統一))

　　八、深入探究

　　例3.已知圓C:x2+(y-1)2=5,直線L:mx-y+1-m=0

　　(1) 求證mR:對直線L與圓C總有兩個不同的交點A.B

　　(2) 求A.B中點的軌跡方程

　　(3) 是否存在mR,使以A.B為直徑的圓過原點,若存在,求m的值,若不存在,說明理由.

　　([點評]:這三道題主要考察學生的運算能力,應該給學生一定的做題時間.另外前兩個小題的方法比較多,老師應注意收集學生不同的解法, 并且加以比較,找出最佳解法,以便統一)

　　([實錄]:學生各抒己見,課堂氣氛出現高潮:題(1)主要收集到三種方法,老師把它們進行投影:①聯立方程用△>0來判斷②用圓心到直線的距離d師:這三種解法都很不錯,說明同學們都能積極思考問題.特別注意第三種方法的技巧:當直線方程含有參數m時,我們經常把它寫成m( )+( )=0形式,讓兩個括號都為0求定點。

　　([實錄]:(2)學生主要有兩種方法: ①利用CM⊥AB,所以KCM.K AB=-1②聯立圓與直線的方程,用韋達定理求再消去m。師邊投影邊點評：法1其實可以用向量數量積為0來做，這樣可以避免K存不存在的問題。法2 用的是參數法，它的缺陷是運算比較大，有時候參數不容易消去。)

　　師：有沒有別的方法了?

　　師提示：看到垂直除了斜率乘積等于-1或者向量數量積等于0，還能想到什么?

　　生：圓!

　　師：很好，能不能用圓的方程來做這題?

　　([實錄]：學生先獨立思考一分鐘，然后同桌之間相互討論。很快得出答案：M的軌跡是以CP為直徑的圓，從而得到圓的方程。師總結：法1比較好，法2運算量大，法3數形結合最簡單)

　　(3)師提示：這是什么題型，存不存在問題。我們應先設存在。

　　怎樣構造m的方程?式子中點的坐標用什么來處理?請同學們拿出練習本，把步驟寫一寫。

　　([點評]：本題思路簡單但運算量很大，并且這個解題過程和后面的直線與圓錐曲線的解題過程異曲同工。所以要求步驟要規范統一。本題采用方式為引導思路，并且給出詳細的解答過程。兩個目的：本類型題目是高考的必考題，對分步得分要求嚴格，所以要規范步驟;另外幫助學生規范思路，解答問題的過程。需用時10分鐘)

　　([實錄]：學生思路明確，不準討論，都動筆演算。約10分鐘后，老師投影學生正確答案。點評學生的答案，表揚學生書寫規范與解題嚴謹，給其他學生一個規范的作答。)

　　九、歸納總結：

　　引導學生總結本節課的收獲