對口算算理、算法教學上的認識

12月21日"口算技能的訓練是學好其他的基礎"一文已經說過作為口算能力來說，它對學生基本的運算能力、觀察力、思維能力、快速反應能力有大意義，值得探討和研究，那么如何認識口算的價值呢?先來看看算理與算法的認識。

什么叫算理?什么叫算法?這是進行口算教學必須首先搞明白的問題。算理就是計算過程中的道理，解決"為什么這樣算"的問題。算法就是計算的方法，解決"怎樣算"的問題。如何認識口算中算理與算法的關系。

一、算理內隱，算法外化

對于小學生的口算來說，核心的內容是基本口算。所謂基本口算主要指20以內加減法和表內乘除法。除了這些基本口算，要求學生掌握的還有簡單的兩位數加、減法及百以內的乘加、乘減、除加、除減等；在小數、分數四則計算中，也有相當數量的口算內容。那學生在學習這些口算時，是否都是理解算理、掌握算法，并在理解算理的基礎上掌握算法的呢?

先從最簡單的加法說起。3+2，怎樣算?為什么這樣算?就這兩個問題許多老師沒法解釋，甚至連大學教授、小學數學教研員可能也沒能做出解釋。其實不難發現，我們往往脫口而出3加2等于5，我們的策略是"直接提取"，也就是說，3加2等于5，我們成人已經形成了"計算自動化"，在我們的頭腦中已經有了現成的答案.我們可以迅速地從長期記憶中提取有關數學事實。

那我們在一年級教學時，又是如何處理3+2的呢?一種常見的教法是借用數的組成想得數，即想：5可以分成3和2，3加2等于5。毋庸置疑，一段時間之后，學生在算"3+2"時也都形成了"計算自動化"，3+2等于5，都儲存于記憶中。這時，算法已經脫胎于算理。學生學習基本口算就是在頭腦中構建一個"數學事實庫"的過程，繼而完成從構建事實到提取事實的轉化。

我們是否可以這樣理解：最初，學生在口算時，可能有算法而不知算理；后來，知算法而且知算理；再后來，又是有算法無算理。也就是說，在學生學習口算探索與掌握算法的不同時段，他們計算時是否具有算理，經歷了"無--有--無"這樣一個過程。

由此推想，不同的口算內容，算法與算理是否也表現出像這樣脫離、融合、脫胎的不同階段之分呢?

在口算教學時，學生不理解算理，教師需要引導，否則學生的計算只是停留于形式化地計算，他們只是機械地掌握計算程序，知其然，而不知所以然；但理解算理之后，教師卻不要太多地糾纏于算理。

二、算理穩定算法多樣

在學習口算兩位數減兩位數44-25時，學生獨立思考之后交流了各自算法。

算法1：44-5=39，39-20=19--把減數分成5和20，從被減數中依次減去。

算法2：40-25=15，15+4=19--把被減數分成40和4，先從40里減去25，再把所得的差與4合并。

算法3：40-20=20，5-4=1，20-1=19--個位上4減5不夠減，還差1，就從十位上減得的差20里去掉1。

算法4：44-24=20，20-1=19--把減數分成24和1，再從被減數中依次減去。

算法5：30-25=5，14+5=19--把被減數分成30和14，從30里減去25得5，再把14和5合并。

算法6：14-5=9，30-20=10，10+9=19--豎式計算

算法7：十位上，30-20=10；個位上，14-5=9；得數是19--先算十位，再算個位。算法多樣化是學生獨立思考后自然生成的。

細細分析各種算法，算法1和算法4的算理是一樣的，都是把減數分成兩部分，從被減數中分別減去；算法2和算法5的算理是一樣的，都是把被減數分成兩部分，其中一部分減去減數后再與被減數的另一部分合起來；算法6和算法7都是在頭腦中構建豎式，算法6從個位減起，算法7從十位減起。由此可見，就算題本身來說，算法是多樣的，但算理可能相同。

再說一例。學習小數乘法，一組口算練習之后，反饋時發現，有幾位學生在口算20×0.4這一題時出錯了。教師指名一位學生口述算法：先算20乘4等于80，再點小數點：8.0，化簡得8。學生采用的是"類似筆算的口算"，即在頭腦中想20×0.4的豎式并算出得數。教師在學生口述算法的過程中板書(略)教師如上板書，是讓學生理解其算法的算理，即應用了乘法中因數變化引起積變化的規律進行口算。一位學生舉手：我是這樣算的：20×0.4=2×4=8。教師追問：你為什么這樣算呢?學生回答：20×0.4=2×l0×0.4=2×4=8。不難發現，這位學生交流的是"分解因數、運用乘法結合律"的方法進行口算。又一位學生舉手：我也是這樣算的：20×0.4=2×4=8。我想的是，一個因數除以10，另一個因數乘10，積不變。如果完整寫出這位學生的算法，就是：20×0.4=(20÷10)×(0.4×10)=2×4=8。

后兩種算法，如果不去追問思維過程，我們也許會做出"算法相同、算理相同"的判斷，然而，看似相同的算法，其實算法并不同，但算理卻是相同的。當我們看到的是"一"，也許僅僅是表面形式的相同，其內部蘊含的可能是"多"。學生的思維過程是豐富多彩的。口算教學中，存在著的一種現象是，教師重結果、輕過程，只滿足于口算正確，不愿花時間去分析學生的思維過程。我們要注意克服這種不良傾向，在口算時，鼓勵學生"用你的腦子去算"，而不僅僅是"在你的腦子里算"。

三、算理保證計算合理性，算法為計算提供操作方法

對于算理與算法，學生在實際口算時往往更注重算法，因為按其操作即可算出結果。教師關注的焦點是學生要算得對、算得快，至于"為什么這樣算"，往往不夠重視。那算理是"有用"還是"無用"呢?

口算整百數乘一位數400×2，學生一般的算法是：先算4×2=8，再在8的后面添兩個0。為什么在8后面添兩個0，學生解釋不清楚。教學時，教師要讓學生給自己的算法找一個合理的解釋，在學生解釋的過程中引導學生理解：4個百乘2，得8個百，也就是800。由此，學生可進一步在理解算理的基礎上計算像4000×2、40000×2這樣的算題，而不停留于"照葫蘆畫瓢"式的模仿計算。

可以發現，如果他們理解了算理，那么他們基本上就能正確算出算題。算理有助于學生探索算法。有算法時，不一定能說清算理；但有算理，可以轉化成算法。

綜上所述，算理不是沒有用，而是教師在教學中是否發揮其作用。不要把算理、算法作為"兩張皮"。算理為計算提供了正確的思維方式，保證了計算的合理性和正確性，算法為計算提供了快捷的操作方法，提高了計算的速度。算理往往是隱性的，算法往往是顯性的，它們相輔相成，算理的探討有助于學生探索算法、掌握算法。當然，在口算學習過程中，也要注意避免程式化地敘述算理，對算理的一味推崇容易讓學生陷入空洞抽象說教的泥潭，不過，對算法的過度操練也容易讓學生走向機械重復練習的誤區。

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