高等數學與小學數學的相天性

一般人認為小學數學與高等數學相差甚遠，事實上它們之間不僅在內容方面，而且在思維形式方面都存在 著密切的聯系。如果站在高等數學的高度來理解小學數學，會使人感到小學數學的博大和精深；如果能把小學 數學的內容放在高等數學這一背景中理解，從某種意義上講小學數學是高等數學的重要組成部分。如果小學數 學教師都能站在高等數學的高度來進行小學數學教學，那將會對小學生學習和理解數學概念起到非常積極的意 義。本文將從內容和思維形式兩個方面來揭示小學數學和高等數學之間的聯系。

    一、內容的互補性

    高等數學中的一些概念是小學數學中一些量的抽象，而小學數學的內容則是高等數學中抽象概念的實例。 如果站在抽象后的高度對小學數學的內容進行解釋，那么小學數學的內容將是有序的、完整的。例如：加、減 、乘、除是小學數學主要的教學內容之一，在高等數學中則是映射（代數運算）的幾個特例而已。如果沒有小 學數學這些實例，那么就不可能理解、抽象出一般的代數運算的概念；如果在掌握了一般的代數運算的概念的 基礎上講解加、減、乘、除，就會把這些概念講活講完整。一般來講，高等數學和小學數學在內容上是從以下 四個方面進行互補的。

    １．個別和一般

    小學數學中有平均數的計算，平均數在高等數學中就是數學期望值的特例。如果站在數學期望的高度來講 解平均數，教師就會著重強調平均數和各個數之間差異，學生就會知道全班數學平均分數和每個學生的分數， 雖然都是分數，但是它們的意義是完全不同的。反之，如果學生只會計算平均分數，而沒有把平均分數和每個 學生的分數加以區別，那么學生只是多做了一些四則運算的習題。這樣不僅不能活躍學生的思維，而且也不利 于提高學生的學習興趣。再如小學數學中求自然數的正約數的個數問題，則是高等數學中代數基本定理的應用 ，并且求解任一正整數約數個數的計算公式，在高等數學中也有論證。

    ２．有限和無限

    在小學數學中，一般是在有限的范圍內討論問題，有些問題則需要利用高等數學的觀點進行解釋。如小學 數學中數的認識，內容雖然簡單，但是其中數“數”及用“對等”的方法比較兩個集合之間元素個數關系問題 必須讓學生理解。這是因為數“數”的方法是高等數學中研究可列集、不可列集的基本方法；而“對等”的方 法則是比較兩個集合（有限集、無限集）之間元素個數問題的基本方法。又如，小學數學中對于“自然數是無 限的”這一結論，只有用極限的觀點來進行解釋，學生才能正確地理解這一結論。相反，如果教師沒有扎實的 高等數學根底，而是采用一些不正確的方法進行解釋，不僅不能幫助學生準確地理解“自然數是無限的”這一 結論，而且會影響學生今后對極限概念的理解。再如，在小學數學中無限循環小數和分數之間的互化問題，這 一問題是高等數學中級數概念的應用，教師在教學中通過“０．９”、“０．９９…９”和“１”之間關系的 解釋，就會讓學生再一次體會極限的概念。

    ３．靜止和運動

    小學數學中的很多概念如果只強調結果，則是靜止的。如２＋３這一表達式，只討論其和為多少是靜止的 。如果分析這個表達形式，則是運動的。這是因為：若２＝３－１，３＝１＋２，……那么這個表達式變為： ３－１＋１＋２，……；若２、３分別表示２號房間和３號房間里人數之和，那么這個表達式的意義又不同了 。通過這一次次的變化，學生對于數學概念的理解更趨完整，這一次次的變化正是代數思想的雛型。而代數思 想是研究數學的最根本的思想之一。

    ４．推算和預測

    小學數學中有一類問題是已知現在的值，求原來的值。例如：現對甲、乙、丙三個車間的人員進行三次調 整。第一次丙車間不動，甲、乙兩個車間中的一個車間調出８人給另一車間；第二次乙車間不動，甲、丙兩車 間中的一個車間調出８人給另一車間；第三

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