對數函數中與二次函數有關的問題

教學目的： 通過一些例題的講解 , 對對數函數的性質、圖象及二次函數的一些問題進行復習，使學生加深對函數的認識 , 能夠對一些有難度的題進行分析。 教學難點： 復合函數中定義域及值域的求解。 換元后新變量的定義域的確定。 教學過程： 在前段時間中我們學習了對數函數和它們的一些性質 , 下面我們就先來復習一下有關知識 ( 點擊性質 , 見幻燈片 2) 。 下面我們來做兩道復習鞏固題。 1. 求 的定義域。 （要求一個比較復雜的函數的定義域，首先要看清這個復雜函數是由哪幾個簡單函數構成的．在此是三個以十為底的對數函數，所以我們只要考慮其真數部分要大于０即可．由此可列出三個不等式．習慣上用大括號括起來，表示要同時滿足．） 分析： x>0 ０可以寫成 lg1 ，而該函數為單調遞增函數，由此可解出． 綜上所述 x>10 。 2. 試比較 與 的大小。 對于一般的比較大小問題，我們可以通過函數的增減性來解決．這道題目顯然也是通過此途徑來解決．但是其給出的條件不是很明確，那么我們就只能先從對數函數本身的條件作為著手點． 解： 由這個條件，可以知道這個函數是單調遞增的，即真數大的函數值就大． （請學生口述，屏幕顯示．第三條可能不會考慮） 則有：當 x-1>3 即 x>4 時， ＞ 當 0<x-1<3 即 1<x<4 時， ＜ 當 x-1=3 即 x=4 時， ＝ 上面兩題主要是讓同學們在解決對數函數問題的時候，要看清起定義域，對于約束條件要寫完整同時要注意一些隱藏條件，細致分析問題． 對于一般的對數函數中有關定義域、值域以及單調性問題我們能夠比較熟練的解決 , 但是我們在遇到的一些問題中往往對數函數不是單獨出現的 , 它總是和其他函數同時出現 , 特別是二次函數 , 那么如何來解決這類比較復雜的問題呢 ? 這就是我們這節課所要講的內容。在講解例題之前我先強調一點 , 我們做任何題 , 不管是簡單的還是復雜的 , 關鍵的是抓住其基本性質 , 盡量把問題轉化到我們所熟悉的情況下進行解決。 那么要把對數函數和二次函數結合起來 , 最常見的就是復合函數。下面就先來看這么一道題 例 1 的單調遞增區間是（）。 A. B. C. D. 分析： 由于以 1/2 為底的對數函數是一個單調減函數，所以要求該函數的單調遞增區間，也就是要求該二次函數的單調遞減區間。下面我們就把問題轉化為解決二次函數的問題。對于該二次函數進行配方 , 我們可以很容易看出是一個開口向上的拋物線 , 則其在 x 小于－ 1/2 時為單調遞減， x 大于－ 1/2 時為單調遞增。 那么該題是否到此為止了呢 ? 其實在此對于上面的二次函數是有范圍的，也就是說 即 x<-2 或 x>1 綜上所述，我們應該選擇Ｂ 好 , 我們來看一個一般問題 , 對于類似與上面這題的復合函數 的單調區間是怎樣的． 該二次函數圖象為一開口向上的拋物線。 若該拋物線與 x 軸有兩個交點 若該拋物線與 x 軸只有一個交點 若該拋物線與 x 軸沒有交點 若函數 的值域為一切實數 , 求實數 的取值范圍。 按照通常的做法，要使函數有意義，必須有： 對一切實數 x 都成立 ，即 其實當 時， 可以看出 可見值域并非為 R ，說明上述解答有誤。 要使函數 的值域為 R, 即要真數 取遍所有正數 , 故二次函數 的圖象與 x 軸有交點 , 所以 , 得 或 。 故實數 a 的取值范圍為 我們在考慮這類復合函數問題的時候 , 要仔細分析各函數的定義域和值域以及復合后的定義域和值域的變化。 以上這兩題中的二次函數是作為對數函數的一部分出現的 , 有的時候會和、反過來 , 對數函數作為二次函數的一部分出現 , 下面我們來看這么幾道題。 若 , 且 , 求 的最值。 分析 : 既

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