比較在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

“比較”指的是人腦把一些事物和現(xiàn)象放在一起進(jìn)行對(duì)比的思維過程。這是一種常用的思維方式，我們?cè)谏�活、工作、學(xué)習(xí)中經(jīng)常用到。 

比較有三個(gè)主要作用：1、揭示某些事物的共性。世界上事物繁多，有些事物沒有共同之處，有些事物之間存在著某些共同的特點(diǎn)。有些時(shí)候，我們需要知道這些事物的共同屬性。通過對(duì)所要研究的事物進(jìn)行比較，可以找出它們的共同點(diǎn)。例如、凸多面體概念的教學(xué)。常常是先出示一些不同形狀的凸多面體，讓學(xué)生對(duì)它們進(jìn)行比較，找出它們的共同點(diǎn)，抽象出凸多面體的定義。2、揭示某些事物的不同點(diǎn)。世界是一個(gè)相對(duì)的世界，絕對(duì)的事物是不存在的。即便是非常相近的同類事物，也有不同之處。有時(shí)候，人們希望知道這些事物的不同點(diǎn)。通過對(duì)這些事物的比較可以找出它們的不同點(diǎn)。例如、等差數(shù)列和等比數(shù)列是兩個(gè)相似的概念。如果把兩個(gè)定義放在一起進(jìn)行比較，就可以發(fā)現(xiàn)它們的不同點(diǎn)，就而把兩個(gè)概念區(qū)分開。3、揭示某些事物之間的聯(lián)系。事物和事物之間存在著千絲萬縷的聯(lián)系，有的顯而易見，有的深不可測(cè)。然而，當(dāng)我們把這些事物放在一起加以比較之后，就有可能發(fā)現(xiàn)他們之間的聯(lián)系。 

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。說白了，就是研究與數(shù)學(xué)有關(guān)的事物之間的不同點(diǎn)、相同點(diǎn)和它們之間的內(nèi)在聯(lián)系。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中經(jīng)常使用到“比較”的方法。 

一、    定義概念 

數(shù)學(xué)的特點(diǎn)是邏輯嚴(yán)謹(jǐn)。在科學(xué)的數(shù)學(xué)體系中，知識(shí)就像一根鏈條，前后環(huán)環(huán)相扣，前面的知識(shí)是后面知識(shí)的基礎(chǔ)，后面的知識(shí)是在前面知識(shí)的基礎(chǔ)上演繹而得到的。演繹推理需要有一定的基礎(chǔ)，如果從后向前追溯推理的根據(jù)，那么總能夠找到一些沒有推理依據(jù)的數(shù)學(xué)知識(shí)。這就是數(shù)學(xué)中的基本概念和基本規(guī)律。譬如，幾何中的“點(diǎn)”、“經(jīng)過三個(gè)不共線的點(diǎn)有且只有一個(gè)平面”、自然數(shù)中的“0”。因?yàn)榛�本的概念和�?guī)律沒有推理的基礎(chǔ)，所以，教學(xué)這些知識(shí)，通常是先對(duì)一些特殊的事例進(jìn)行比較，找出它們的共同點(diǎn)，再概括出概念的定義或者歸納出規(guī)律。例如、教學(xué)“正數(shù)”的定義，可以先讓學(xué)生拿5，1.5，10， ，8848與0相比較，找出它們的共同特點(diǎn)：都大于0。再引導(dǎo)學(xué)生概括出正數(shù)的定義：大于0的數(shù)叫做正數(shù)。 

二、揭示規(guī)律 

規(guī)律即事物的共性。可以通過對(duì)具體例子的比較獲得。如，在中學(xué)一年級(jí)代數(shù)課中教學(xué)加法的交換律，可以先讓學(xué)生比較下面幾個(gè)算式，找出它們的共同特點(diǎn)，然后歸納出一般規(guī)律。 

3+5=5+3； 

  

1.5+3.3=3.3+1.5； 

…… 

通過比較，發(fā)現(xiàn)它們等號(hào)右邊的加式，都是左邊的加式交換加數(shù)的位置得到的。由此得到“兩個(gè)數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變”的規(guī)律。 

有一些數(shù)學(xué)知識(shí)雖然能夠通過演繹推理的方法得到，但是，教學(xué)起來有些麻煩，學(xué)生不容易接受。對(duì)于這些知識(shí)，可以采用演繹推理和比較歸納相結(jié)合的方法教學(xué)。先進(jìn)行比較歸納，使學(xué)生初步認(rèn)識(shí)到所學(xué)規(guī)律的正確性，再?gòu)睦碚撋线M(jìn)一步證明，使學(xué)生堅(jiān)信所學(xué)規(guī)律是可靠的。比如，在中學(xué)教學(xué)數(shù)列極限的運(yùn)算法則。可以先讓學(xué)生計(jì)算數(shù)列 

 ……； 

與3，3，3，3，……； 

的極限，以及這兩個(gè)數(shù)列和的極限，再計(jì)算兩個(gè)常數(shù)列 

1，1，1，1，……； 

與1.5，1.5，1.5，1.5，……； 

的極限，以及這兩個(gè)數(shù)列和的極限。最后讓學(xué)生對(duì)兩個(gè)實(shí)例加以比較，找出它們的共同點(diǎn)，就而歸納出數(shù)列極限加法的運(yùn)算法則： 

  

中學(xué)生雖然沒有專一地學(xué)習(xí)邏輯學(xué)，但他們憑自己的經(jīng)驗(yàn)知道，這種通過不完全歸納法得到的結(jié)論不一定正確，對(duì)剛才歸納出的結(jié)論可能半信半疑。要使他們確信這一法則的正確性，還必須使用極限的“ε-N”定義進(jìn)行嚴(yán)格的證明。因?yàn)椤唉?N”實(shí)在是太難了，學(xué)生很難接受“ε-

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