初中數學第二冊平行四邊形及其性質教案

　　教學目標

　　1、知識目標

　　（1）使學生掌握平行四邊形的概念，理解兩條平行線間的距離的概念。

　　（2）掌握平行四邊形的性質定理1、2，并能運用這些知識進行有關的證明或計算．

　　2、能力目標

　　（1）通過啟發、引導，讓學生猜想結論，培養學生的觀察能力和猜想能力。

　　（2）驗證猜想結論，培養學生的論證和邏輯思維能力。

　　（3）通過開放式教學，培養學生的創新意識和實踐能力。

　　3、非智力目標

　　滲透從具體到抽象、化未知為已知的數學思想及事物之間相互轉化的辯證唯物主義觀點．

　　教學重點、難點

　　重點：平行四邊形的概念及其性質．

　　難點：正確理解兩條平行線間的距離的概念和性質定理2的推論。

　　平行四邊形的概念及性質的靈活運用

　　教學方法：講解、分析、轉化

　　教學過程設計

　　一、利用分類、特殊化的方法引出平行四邊形的概念

　　1．復習四邊形的知識．

　　（1）引導學生畫任意凸四邊形，指出它的主要元素——頂點、邊、角、對角線的性質，強調對角線的作用：將四邊形分割化歸為三角形來研究．

　　（2）將四邊形的邊角按位置關系分為兩類：

　　教學時應結合圖形，讓學生識別清楚，并注意與三角形中角的對邊、邊的對角及第一章中的鄰角相區別．

　　2．教師提問：四邊形中的兩組對邊按位置關系分為幾種情況？

　　引導學生畫圖回答，并出示投影片顯示四邊形與特殊四邊形的關系，如圖4－11．

　　3．對比引出平行四邊形的概念．

　　（1）引導學生根據圖4－11，敘述平行四邊形的概念，引出課題．

　　（2）注意它與梯形的對比，及它與四邊形的特殊與一般的關系：平行四邊形是特殊的四邊形，因此它具有四邊形的一切性質（共性）．同時它還具有一般四邊形不具備的特殊性質（個性）．

　　（3）強調定義既是平行四邊形的一個判定方法，同時又是平行四邊形的一個性質．

　　（4）介紹平行四邊形的符號表示及定義的使用方法：如圖4－12．

　　①∵ABCD，∴AD∥BC，AB∥CD．（平行四邊形的定義）

　　②∵AD∥BC，AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形．（平行四邊形的定義）

　　練習1（投影）

　　如圖4－13，DC∥EF∥AB，DA∥GH∥CB，圖中的平行四邊形共有__個，它們是__．

　　二、探索平行四邊形的性質并證明

　　1．探索性質．

　　啟發學生從平行四邊形的主要元素——邊、角、對角線的位置關系及數量關系入手，來觀察、探索、猜想平行四邊形的特有的性質如下：

　　（3）對角線

　　⑤對角線互相平分（性質定理3）

　　教師注意解釋并強調對角線互相平分的含義及表示方法．

　　2．利用化歸的方法對性質逐一進行證明．

　　（1）由平行四邊形的定義及平行線的性質很快證出性質①，④，③．

　　（2）啟發學生添加一條或兩條對角線，將四邊形分割、化歸為三角形；利用全等三角形的知識證出性質②，⑤．

　　（3）寫出證明過程．

　　3．關于“兩條平行線間的平行線段和距離”的教學．

　　（1）利用性質定理2

　　導出推論：夾在兩條平行線間的平行線段相等．

　　①提問：在圖4－14中，l1∥l2，AB∥CD，那么AB，CD的數量有何關系？引導學生根據平行四邊形的定義和性質進行證明．

　　②引導學生用語言簡練地敘述圖4－14所反映的幾何命題，并強調它的作用．證題時可節省步驟，省掉判定平行四邊形這一步，直接得到夾在兩條平行線間的平行線段相等．

　　③強調推論中的條件：“夾”、“平行線間”、“平行線段”的含義和重要性，并做一組辨析練習．

　　練習2

　　（投影）如圖4－15，判斷下列幾組圖形能否體現推論所代表的含義．

　　（2）根據圖4－15（d）引出兩條平行線的距離的概念，并通過練習區別三個距離．

　　練習3

　　在圖4－15（d）中，

　　①點A與點C的距離是線段__的長；

　　②點A到直線l2的距離是線段__的長；

　　③兩條平行線l1與l2的距離是線段__或__的長；

　　④由推論可得：兩條平行線間的距離__．

　　三、平行四邊形的定義及性質的應用

　　1．計算．

　　例1填空．

　　（1）在ABCD中，AB＝a，BC＝b，∠A＝50°，則ABCD的周長為__，∠B＝__，∠C＝__，∠D＝__；

　　（2）在ABCD中：①∠A∶∠B＝5∶4，則∠A＝__；②∠A＋∠C＝200°，則∠A＝___，∠B＝__；

　　（3）已知平行四邊形周長為54，兩鄰邊之比為4∶5，則這兩邊長度分別為__；

　　（4）已知ABCD對角線交點為O，AC＝24mm，BD＝26mm，①若AD＝22mm，則△OBC周長為__；②若AB⊥AC，則△OBC比△OAB的周長大___；

　　（5）在ABCD中，AB＝8cm，BC＝10cm，∠B＝30°，SABCD＝__；

　　說明：通過此題讓學生熟悉平行四邊形的性質，會用它及方程的思想進行計算，并復習平行四邊形的面積公式．

　　2．證明．

　　例2 已知：如圖4－16，ABCD中，E，F分別為BC，AD上的點，AE∥CF．求證（1）BE＝DF；（2）EF過BD的中點．

　　分析：

　　（1）盡量利用平行四邊形的定義和性質，避免證三角形全等．

　　（2）考慮特殊化情形．在ABCD中，若E，F在BC，AD上運動到如下位置：AE⊥BC于E，CF⊥AD于F，求證BE＝DF．在題目的變化與聯系中靈活選用性質來解題．

　　例3已知：如圖4－17，A′B′∥BA，B′C′∥CB，C′A′∥AC．求證：（1）∠ABC＝∠B′，∠CAB＝∠A′，∠BCA＝∠C′；（2）△ABC的頂點分別是△B′C′A′各邊的中點．

　　著重引導學生先分解基本圖形，圖中有3個平行四邊形：C′BCA，ABCB′，ABA′C，分別利用對角相等和對邊相等的性質使問題得到證明．對于第（2）問也可用“夾在兩條平行線間的平行線段相等”來證明．

　　例4 已知：如圖4－18（a），ABCD的對角線AC，BD相交于點O，EF過點O與AB，CD分別相交于點E，F．求證：OE＝OF，AE＝CF，BE＝DF．

　　分析：

　　（1）引導學生證明以OE，OF為邊的兩個三角形全等，如證△AOE≌△COF或證△BOE≌△DOF．

　　（2）根據學生實際，對圖4－18（a）可作適當引申，如圖4－18（b），（c），（d），并歸納結論如下：過平行四邊形對角線的交點作直線交對邊或對邊的延長線，所得對應線段相等．

　　（3）圖4－18是一組重要的基本圖形，熟悉它的性質對解答復雜問題是很有幫助的．

　　3．供選用例題．

　　（1）從平行四邊形的一個銳角頂點作平行四邊形的兩條高線．如果這兩條高線的夾角為135°，則這個平行四邊形相鄰兩內角的度數為__；若高線分別為1cm和2cm，則平行四邊形的周長為__，面積為___；若兩條高線夾角為120°呢？

　　（2）如圖4－19，在△ABC中，AD平分∠BAC，過D作DE∥AC交AB于E，過E作EF∥DC交AC于F．求證：AE＝FC．

　　（3）如圖4－20，在ABCD中，AD＝2AB，將AB向兩方延長，使AE＝BF＝AB．求證：EC⊥FD．

　　四、師生共同小結

　　1．平行四邊形與四邊形的關系．

　　2．學習了平行四邊形哪些方面的性質？

　　3．兩條平行線的距離是怎樣定義的？有什么性質？

　　五、作業

　　課本第143頁第2，3，4，5，6題．

　　課堂教學設計說明

　　本教學設計需2課時完成．

　　這節內容分2課時．第1課時在復習四邊形的有關知識的基礎上，用對比的方式引入平行四邊形的概念，充分體現了平行四邊形在四邊形體系中的地位，然后，教師應啟發學生從邊、角、對角線三個方面探索平行四邊形的性質，使知識更加系統，更符合學生的認知規律，而且突出了第1課時的重點，同時更能培養學生主動探求知識的精神和思維的條理性．第2課時重點應用平行四邊形的定義、性質進行計算和證明，教師注意讓學生鞏固基礎知識和基本技能，加強對解題思路的分析，解題思想方法的概括、指導和結論的升華．

　　平行四邊形及其性質

　　教學目標

　　1、知識目標

　　（1）使學生掌握平行四邊形的概念，理解兩條平行線間的距離的概念。

　　（2）掌握平行四邊形的性質定理1、2，并能運用這些知識進行有關的證明或計算．

　　2、能力目標

　　（1）通過啟發、引導，讓學生猜想結論，培養學生的觀察能力和猜想能力。

　　（2）驗證猜想結論，培養學生的論證和邏輯思維能力。

　　（3）通過開放式教學，培養學生的創新意識和實踐能力。

　　3、非智力目標

　　滲透從具體到抽象、化未知為已知的數學思想及事物之間相互轉化的辯證唯物主義觀點．

　　教學重點、難點

　　重點：平行四邊形的概念及其性質．

　　難點：正確理解兩條平行線間的距離的概念和性質定理2的推論。

　　平行四邊形的概念及性質的靈活運用

　　教學方法：講解、分析、轉化

　　教學過程設計

　　一、利用分類、特殊化的方法引出平行四邊形的概念

　　1．復習四邊形的知識．

　　（1）引導學生畫任意凸四邊形，指出它的主要元素——頂點、邊、角、對角線的性質，強調對角線的作用：將四邊形分割化歸為三角形來研究．

　　（2）將四邊形的邊角按位置關系分為兩類：

　　教學時應結合圖形，讓學生識別清楚，并注意與三角形中角的對邊、邊的對角及第一章中的鄰角相區別．

　　2．教師提問：四邊形中的兩組對邊按位置關系分為幾種情況？

　　引導學生畫圖回答，并出示投影片顯示四邊形與特殊四邊形的關系，如圖4－11．

　　3．對比引出平行四邊形的概念．

　　（1）引導學生根據圖4－11，敘述平行四邊形的概念，引出課題．

　　（2）注意它與梯形的對比，及它與四邊形的特殊與一般的關系：平行四邊形是特殊的四邊形，因此它具有四邊形的一切性質（共性）．同時它還具有一般四邊形不具備的特殊性質（個性）．

　　（3）強調定義既是平行四邊形的一個判定方法，同時又是平行四邊形的一個性質．

　　（4）介紹平行四邊形的符號表示及定義的使用方法：如圖4－12．

　　①∵ABCD，∴AD∥BC，AB∥CD．（平行四邊形的定義）

　　②∵AD∥BC，AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形．（平行四邊形的定義）

　　練習1（投影）

　　如圖4－13，DC∥EF∥AB，DA∥GH∥CB，圖中的平行四邊形共有__個，它們是__．

　　二、探索平行四邊形的性質并證明

　　1．探索性質．

　　啟發學生從平行四邊形的主要元素——邊、角、對角線的位置關系及數量關系入手，來觀察、探索、猜想平行四邊形的特有的性質如下：

　　（3）對角線

　　⑤對角線互相平分（性質定理3）

　　教師注意解釋并強調對角線互相平分的含義及表示方法．

　　2．利用化歸的方法對性質逐一進行證明．

　　（1）由平行四邊形的定義及平行線的性質很快證出性質①，④，③．

　　（2）啟發學生添加一條或兩條對角線，將四邊形分割、化歸為三角形；利用全等三角形的知識證出性質②，⑤．

　　（3）寫出證明過程．

　　3．關于“兩條平行線間的平行線段和距離”的教學．

　　（1）利用性質定理2

　　導出推論：夾在兩條平行線間的平行線段相等．

　　①提問：在圖4－14中，l1∥l2，AB∥CD，那么AB，CD的數量有何關系？引導學生根據平行四邊形的定義和性質進行證明．

　　②引導學生用語言簡練地敘述圖4－14所反映的幾何命題，并強調它的作用．證題時可節省步驟，省掉判定平行四邊形這一步，直接得到夾在兩條平行線間的平行線段相等．

　　③強調推論中的條件：“夾”、“平行線間”、“平行線段”的含義和重要性，并做一組辨析練習．

　　練習2

　　（投影）如圖4－15，判斷下列幾組圖形能否體現推論所代表的含義．

　　（2）根據圖4－15（d）引出兩條平行線的距離的概念，并通過練習區別三個距離．

　　練習3

　　在圖4－15（d）中，

　　①點A與點C的距離是線段__的長；

　　②點A到直線l2的距離是線段__的長；

　　③兩條平行線l1與l2的距離是線段__或__的長；

　　④由推論可得：兩條平行線間的距離__．

　　三、平行四邊形的定義及性質的應用

　　1．計算．

　　例1填空．

　　（1）在ABCD中，AB＝a，BC＝b，∠A＝50°，則ABCD的周長為__，∠B＝__，∠C＝__，∠D＝__；

　　（2）在ABCD中：①∠A∶∠B＝5∶4，則∠A＝__；②∠A＋∠C＝200°，則∠A＝___，∠B＝__；

　　（3）已知平行四邊形周長為54，兩鄰邊之比為4∶5，則這兩邊長度分別為__；

　　（4）已知ABCD對角線交點為O，AC＝24mm，BD＝26mm，①若AD＝22mm，則△OBC周長為__；②若AB⊥AC，則△OBC比△OAB的周長大___；

　　（5）在ABCD中，AB＝8cm，BC＝10cm，∠B＝30°，SABCD＝__；

　　說明：通過此題讓學生熟悉平行四邊形的性質，會用它及方程的思想進行計算，并復習平行四邊形的面積公式．

　　2．證明．

　　例2 已知：如圖4－16，ABCD中，E，F分別為BC，AD上的點，AE∥CF．求證（1）BE＝DF；（2）EF過BD的中點．

　　分析：

　　（1）盡量利用平行四邊形的定義和性質，避免證三角形全等．

　　（2）考慮特殊化情形．在ABCD中，若E，F在BC，AD上運動到如下位置：AE⊥BC于E，CF⊥AD于F，求證BE＝DF．在題目的變化與聯系中靈活選用性質來解題．

　　例3已知：如圖4－17，A′B′∥BA，B′C′∥CB，C′A′∥AC．求證：（1）∠ABC＝∠B′，∠CAB＝∠A′，∠BCA＝∠C′；（2）△ABC的頂點分別是△B′C′A′各邊的中點．

　　著重引導學生先分解基本圖形，圖中有3個平行四邊形：C′BCA，ABCB′，ABA′C，分別利用對角相等和對邊相等的性質使問題得到證明．對于第（2）問也可用“夾在兩條平行線間的平行線段相等”來證明．

　　例4 已知：如圖4－18（a），ABCD的對角線AC，BD相交于點O，EF過點O與AB，CD分別相交于點E，F．求證：OE＝OF，AE＝CF，BE＝DF．

　　分析：

　　（1）引導學生證明以OE，OF為邊的兩個三角形全等，如證△AOE≌△COF或證△BOE≌△DOF．

　　（2）根據學生實際，對圖4－18（a）可作適當引申，如圖4－18（b），（c），（d），并歸納結論如下：過平行四邊形對角線的交點作直線交對邊或對邊的延長線，所得對應線段相等．

　　（3）圖4－18是一組重要的基本圖形，熟悉它的性質對解答復雜問題是很有幫助的．

　　3．供選用例題．

　　（1）從平行四邊形的一個銳角頂點作平行四邊形的兩條高線．如果這兩條高線的夾角為135°，則這個平行四邊形相鄰兩內角的度數為__；若高線分別為1cm和2cm，則平行四邊形的周長為__，面積為___；若兩條高線夾角為120°呢？

　　（2）如圖4－19，在△ABC中，AD平分∠BAC，過D作DE∥AC交AB于E，過E作EF∥DC交AC于F．求證：AE＝FC．

　　（3）如圖4－20，在ABCD中，AD＝2AB，將AB向兩方延長，使AE＝BF＝AB．求證：EC⊥FD．

　　四、師生共同小結

　　1．平行四邊形與四邊形的關系．

　　2．學習了平行四邊形哪些方面的性質？

　　3．兩條平行線的距離是怎樣定義的？有什么性質？

　　五、作業

　　課本第143頁第2，3，4，5，6題．

　　課堂教學設計說明

　　本教學設計需2課時完成．

　　這節內容分2課時．第1課時在復習四邊形的有關知識的基礎上，用對比的方式引入平行四邊形的概念，充分體現了平行四邊形在四邊形體系中的地位，然后，教師應啟發學生從邊、角、對角線三個方面探索平行四邊形的性質，使知識更加系統，更符合學生的認知規律，而且突出了第1課時的重點，同時更能培養學生主動探求知識的精神和思維的條理性．第2課時重點應用平行四邊形的定義、性質進行計算和證明，教師注意讓學生鞏固基礎知識和基本技能，加強對解題思路的分析，解題思想方法的概括、指導和結論的升華．

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