小學四年級奧數下冊教案：排列組合的綜合應用

小學四年級奧數下冊教案：排列組合的綜合應用 　　原文來源：小學奧數輔導網 http://www.aoshufudao.com 　　排列組合是數學中風格獨特的一部分內容.它具有廣泛的實際應用.例如：某城市電話號碼是由六位數字組成，每位可從0～9中任取一個，問該城市最多可有多少種不同的電話號碼?又如從20名運動員中挑選6人組成一個代表隊參加國際比賽.但運動員甲和乙兩人中至少有一人必須參加代表隊，問共有多少種選法?回答上述問題若不采用排列組合的方法，結論是難以想像的.(前一個問題，該城市最多可有1000000個不同電話號碼.后一個問題，代表隊有20196種不同選法.) 　　當然排列組合的綜合應用具有一定難度.突破難點的關鍵：首先必須準確、透徹的理解加法原理、乘法原理;即排列組合的基石.其次注意兩點：①對問題的分析、考慮是否能歸納為排列、組合問題?若能，再判斷是屬于排列問題還是組合問題?②對題目所給的條件限制要作仔細推敲認真分析.有時利用圖示法，可使問題簡化便于正確理解與把握. 　　例1 從5幅國畫，3幅油畫，2幅水彩畫中選取兩幅不同類型的畫布置教室，問有幾種選法? 　　分析 首先考慮從國畫、油畫、水彩畫這三種畫中選取兩幅不同類型的畫有三種情況，即可分三類，自然考慮到加法原理.當從國畫、油畫各選一幅有多少種選法時，利用的乘法原理.由此可知這是一道利用兩個原理的綜合題.關鍵是正確把握原理. 　　解： 符合要求的選法可分三類： 　　不妨設第一類為：國畫、油畫各一幅，可以想像成，第一步先在5張國畫中選1張，第二步再在3張油畫中選1張.由乘法原理有 5×3=15種選法.第二類為國畫、水彩畫各一幅，由乘法原理有 5×2=10種選法.第三類油畫、水彩各一幅，由乘法原理有3×2=6種選法.這三類是各自獨立發生互不相干進行的. 　　因此，依加法原理，選取兩幅不同類型的畫布置教室的選法有 15+10+ 6=31種. 　　注 運用兩個基本原理時要注意： 　　①抓住兩個基本原理的區別，千萬不能混. 　　不同類的方法(其中每一個方法都能各自獨立地把事情從頭到尾做完)數之間做加法，可求得完成事情的不同方法總數. 　　不同步的方法(全程分成幾個階段(步)，其中每一個方法都只能完成這件事的一個階段)數之間做乘法，可求得完成整個事情的不同方法總數. 　　②在研究完成一件工作的不同方法數時，要遵循“不重不漏”的原則.請看一些例：從若干件產品中抽出幾件產品來檢驗，如果把抽出的產品中至多有2件次品的抽法僅僅分為兩類：第一類抽出的產品中有2件次品，第二類抽出的產品中有1件次品，那么這樣的分類顯然漏掉了抽出的產品中無次品的情況.又如：把能被2、被3、或被6整除的數分為三類：第一類為能被2整除的數，第二類為能被3整除的數，第三類為能被6整除的數.這三類數互有重復部分. 　　③在運用乘法原理時，要注意當每個步驟都做完時，這件事也必須完成，而且前面一個步驟中的每一種方法，對于下個步驟不同的方法來說是一樣的. 　　例2 一學生把一個一元硬幣連續擲三次，試列出各種可能的排列. 　　分析 要不重不漏地寫出所有排列，利用樹形圖是一種直觀方法.為了方便，樹形圖常畫成倒掛形式解： 　　由此可知，排列共有如下八種： 　　正正正、正正反、正反正、正反反、 　　反正正、反正反、反反正、反反反. 　　例3 用0～9這十個數字可組成多少個無重復數字的四位數. 　　分析 此題屬于有條件限制的排列問題，首先弄清楚限制條件表現為：①某位置上不能排某元素.②某元素只能排在某位置上.分析無重復數字的四位數的千位、百位、十位、個位的限制條件：千位上不能排0，或說千位上只能排1～9這九個數字中的一個.而且其他位置上數碼都不相同，下面分別介紹三種解法. 　　解法1：分析 某位置上不能排某元素.分步完成：第一步選元素占據特殊位置，第二步選元素占據其余位置. 　　解： 分兩步完成： 　　第一步：從1～9這九個數中任選一個占據千位，有9種方法. 　　第二步：從余下的9個數(包括數字0)中任選3個占據百位、十位、個位，百位有9種.十位有8種，個位有7種方法. 　　由乘法原理，共有滿足條件的四位數9×9×8×7=4536個. 　　答：可組成4536個無重復數字的四位數. 　　解法2：分析 對于某元素只能占據某位置的排列可分步完成：第一步讓特殊元素先占位，第二步讓其余元素占位.在所給元素中0是有位置限制的特殊元素，在組成的四位數中，有一類根本無0元素，另一類含有0元素，而此時0元素只能占據百、十、個三個位置之一. 　　解： 組成的四位數分為兩類： 　　第一類：不含0的四位數有9×8×7×6=3024個. 　　第二類：含0的四位數的組成分為兩步：第一步讓0占一個位有3種占法，(讓0占位只能在百、十、個位上，所以有3種)第二步讓其余9個數占位有9×8×7種占法.所以含0的四位數有3×9×8×7=1512個. 　　∴由加法原理，共有滿足條件的四位數 　　3024+1512=4536個. 　　解法3：從無條件限制的排列總數中減去不合要求的排列數(稱為排除法).此題中不合要求的排列即為0占據千位的排列. 　　解： 從0～9十個數中任取4個數的排列總數為10×9×8×7，其中0在千位的排列數有9×8×7個(0確定在千位，百、十、個只能從9個數中取不同的3個) 　　∴共有滿足條件的四位數 　　10×9×8×7-9×8×7 　　=9×8×7×(10-1) 　　=4536個. 　　注 用解法3時要特別注意不合要求的排列有哪幾種?要做到不重不漏. 更多》》……  

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