函數的單調性（教案）二

（三）例題講解 例1  圖4所示的是定義在閉區間[-5，5]上的函數f（x）的圖象，根據圖象說出f（x）的單調區間，并回答：在每一個單調區間上，f（x）是增函數還是減函數？ （用投影幻燈給出圖象．） 生甲：函數y=f（x）在區間[-5，-2]，[1，3]上是減函數，因此[-5，-2]，[1，3]是函數y=f（x）的單調減區間；在區間[-2，1]，[3，5]上是增函數，因此[-2，1]，[3，5]是函數y=f（x）的單調增區間． 生乙：我有一個問題，[-5，-2]是函數f（x）的單調減區間，那么，是否可認為（-5，-2）也是f（x）的單調減區間呢？ 師：問得好．這說明你想的很仔細，思考問題很嚴謹．容易證明：若f（x）在[a，b]上單調（增或減），則f（x）在（a，b）上單調（增或減）．反之不然，你能舉出反例嗎？一般來說．若f（x）在[a，b]上單調（增或減），且[ ， ] [a，b]，則f（x）在[ ， ]（增或減）．反之不然． 例2  證明函數f（x）=3x+2在（-∞，+∞）上是增函數． 師：從函數圖象上觀察函數的單調性是最直觀的，但如果每次都要畫出函數圖像就太麻煩了，而且有些函數不容易畫出它的圖像，一次我們必須學會根據解析式和定義來證明。 師：怎樣用定義證明呢？請同學們思考后在筆記本上寫出證明過程． （教師巡視，并指定一名中等水平的學生在黑板上板演．學生可能會對如何比較 和 的大小關系感到無從入手，教師應給以啟發．） 師：對于 和 我們如何比較它們的大小呢？我們知道對兩個實數a，b，如果a＞b，那么它們的差a-b就大于零；如果a=b，那么它們的差a—b就等于零；如果a＜b，那么它們的差a-b就小于零，反之也成立．因此我們可由差的符號來決定兩個數的大小關系． 生：（板演）設 ， 是（-∞，+∞）上任意兩個自變量，當 時， ， 所以f（x）是增函數． 師：他的證明思路是清楚的．一開始設 ， 是（-∞，+∞）內任意兩個自變量，并設 （邊說邊用彩色粉筆在相應的語句下劃線，并標注“①→設”），然后看 ，這一步是證明的關鍵，再對式子進行變形，一般方法是分解因式或配成完全平方的形式，這一步可概括為“作差，變形”（同上，劃線并標注”②→作差，變形”）．但美中不足的是他沒能說明為什么 ＜0，沒有用到開始的假設“ ”，不要以為其顯而易見，在這里一定要對變形后的式子說明其符號．應寫明“因為x1＜x2，所以 ，從而 ＜0，即 ．”這一步可概括為“定符號”（在黑板上板演，并注明“③→定符號”）．最后，作為證明題一定要有結論，我們把它稱之為第四步“下結論”（在相應位置標注“④→下結論”）． 這就是我們用定義證明函數增減性的四個步驟，請同學們記住．需要指出的是第二步，如果函數y=f（x）在給定區間上恒大于零，也可 小．   調函數嗎？并用定義證明你的結論．     師：你的結論是什么呢？   上都是減函數，因此我覺得它在定義域（-∞，0）∪（0，+∞）上是減函數． 生乙：我有不同的意見，我認為這個函數不是整個定義域內的減函數，因為它不符合減函數的定義．比如取x1∈（-∞，0），取x2∈（0，+∞）， 顯然成立，而 ， ，顯然有 ，而不是 ，因此它不是定義域內的減函數．   生：也不能這樣認為，因為由圖象可知，它分別在（-∞，0）和（0，+∞）上都是減函數．   域內的增函數，也不是定義域內的減函數，它在（-∞，0）和（0，+∞）每一個單調區間內都是減函數．因此在函數的幾個單調增（減）區間之間不要用符號“∪”連接．另外，x=0不是定義域中的元素，此時不要寫成閉區間．     上是減函數． （教師巡視．對學生證明中出現的問題給予點拔．可依據學生的問題，給出下面的提示： （1）分式問題化簡方法一般是通分． （2）要說明三個代數式的符號：k， ， ． （3）如果用作商的方法，要注意說清 與1的關系，還要注意在不等式兩邊同乘以一個負數的時候，不等號方向要改變。  （四）課堂練習   課本38頁練習1、2、3. （五）課堂小結 師：請同學小結一下這節課的主要內容，有哪些是應該特別注意的？ （請一個思路清晰，善于表達的學生口述，教師可從中給予提示．） 生：這節課我們學習了函數單調性的定義，要特別注意定義中“給定區間”、“屬于”、“任意”、“都有”這幾個關鍵詞語；在寫單調區間時不要輕易用并集的符號連接；最后在用定義證明函數的單調性時，應該注意證明的四個步驟．   （六）布置作業 課本P45練習第1，2，3，4題．  

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