歷屆全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題

　　1981年，中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)開(kāi)始舉辦“全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽”，經(jīng)過(guò)1981、1982、1983三年的實(shí)踐，這一群眾性的數(shù)學(xué)競(jìng)賽活動(dòng)得到了廣大中學(xué)師生歡迎，也得到教育行政部門(mén)、各級(jí)科學(xué)技術(shù)協(xié)會(huì)、以及社會(huì)各階層人士的肯定和支持。以下是小編幫大家整理的，歡迎大家分享。

　　一、選擇題:（每小題7分，共計(jì)42分）

　　1、若a、b為實(shí)數(shù)，則下列命題中正確的是（ ）

　　（A）a＞b a2＞b2; (B)a≠b a2≠b2; (C)|a|＞b a2＞b2; (D)a＞|b| a2＞b2

　　2、已知：a+b+c=3,a2+b2+c2=3,則a2005+b2005+c2005的值是（ ）

　　（A）0 (B) 3 (C) 22005 (D)322005

　　3、有一種足球是由若干塊黑白相間的牛皮縫制而成，黑皮為正五邊形，白皮為 正六邊形，（如圖），如果縫制好的這種足球黑皮有12塊，則白皮有（ ）塊。

　　(A) 16 (B) 18 (C) 20 (D) 22

　　4、在Rt△ABC中，斜邊AB=5，而直角邊BC、AC之長(zhǎng)是一元二次方程x2－(2m－1)x+4(m－1)=0的兩根，則m的值是（ ）

　　（A）4 （B）－1 （C）4或－1 （D）－4或1

　　5、在直角坐標(biāo)系中，橫坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)，設(shè)k為整數(shù)，當(dāng)直線y=x－3與y=kx+k的交點(diǎn)為整數(shù)時(shí)，k的值可以取（ ）

　　（A）2個(gè) （B）4個(gè) （C）6個(gè) （D）8個(gè)

　　6、如圖，直線x=1是二次函數(shù) y=ax2+bx+c的圖像的對(duì)稱軸，則有（ ）

　　（A）a+b+c=0 （B）b＞a+c （C）c＞2b （D）abc＜0

　　二、填空題: （每小題7分，共計(jì)28分）

　　1、已知：x為非零實(shí)數(shù)，且 = a, 則 =_____________。

　　2、已知a為實(shí)數(shù)，且使關(guān)于x的.二次方程x2+a2x+a = 0有實(shí)根，則該方程的根x所能取到的最大值是_______________________.

　　3、p是⊙o的直徑AB的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，PC與⊙o相切于點(diǎn)C，∠APC的角平分線交AC于Q，則∠PQC = _________.

　　4、對(duì)于一個(gè)自然數(shù)n，如果能找到自然數(shù)a和b，使n=a+b+ab,則稱n為一個(gè)“好數(shù)”，例如:3=1+1+1×1，則3是一個(gè)“好數(shù)”，在1~20這20個(gè)自然數(shù)中，“好數(shù)”共有__個(gè)。

　　三、（本題滿分20分）設(shè)A、B是拋物線y=2x2+4x－2上的點(diǎn)，原點(diǎn)位于線段AB的中點(diǎn)處。試求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)。

　　四、（本題滿分25分）如圖，AB是⊙o的直徑，AB=d，過(guò)A作⊙o的切線并在其上取一點(diǎn)C，使AC=AB，連結(jié)OC叫⊙o于點(diǎn)D，BD的延長(zhǎng)線交AC于E，求AE的長(zhǎng)。

　　五、（本題滿分25分）設(shè)x = a+b－c ,y=a+c－b ,z= b+c－a ,其中a、b、c是待定的質(zhì)數(shù)，如果x2=y , =2,試求積abc的所有可能的值。

　　參考解答及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)

　　一、選擇題（每小題7分，共計(jì)42分）

　　1、D 2、B 3、C 4、A 5、C 6、C

　　二、填空題 （每小題7分，共計(jì)28分）

　　1、 a2－2 2、 3、 45° 4、 12

　　三、解：∵原點(diǎn)是線段AB的中點(diǎn) 點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

　　設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，b），則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（―a，―b）……5分

　　又 A、B是拋物線上的點(diǎn)，分別將它們的坐標(biāo)代入拋物線解析式，得：

　　…………………………10分

　　解之得： a = 1 , b = 4 或者a = －1 ,b = －4…………………15分

　　故 A為（1，4），B為（-1，-4） 或者 A（-1，-4），B（1，4）.……20分

　　四、解：如圖連結(jié)AD，則∠1=∠2=∠3=∠4

　　∴ΔCDE∽ΔCAD

　　∴ ① ………………5分

　　又∵ΔADE∽ΔBDA

　　∴ ② ………………10分

　　由①、②及AB=AC，可得AE=CD …………15分

　　又由ΔCDE∽ΔCAD可得 ，即AE2=CD2=CECA …………20分

　　設(shè)AE=x，則CE=d－x ，于是 x2=d(d－x)

　　即有AE = x = （負(fù)值已舍去） ……………………25分

　　五、解：∵a+b－c=x, a+c－b=y, b+c－a =z ,

　　∴a= , b= , c= …………………5分

　　又∵ y=x2 ,

　　故 a= ---(1);

　　b= -----(2)

　　c= ----(3)

　　∴x= ---------------(4)

　　∵x是整數(shù)，得1+8a=T2，其中T是正奇數(shù)。 ………………10分

　　于是，2a= ，其中a是質(zhì)數(shù)，故有 =2, =a

　　∴T=5,a=3 ……………………15分

　　將a=3代入（4） 得 x=2或－3.

　　當(dāng)x=2時(shí)，y=x2=4,

　　因而 －2=2， z=16 ，

　　代入（2）、（3）可得b=9 ，c=10，

　　與b、c是質(zhì)數(shù)矛盾，當(dāng)舍去。 ……………………20分

　　當(dāng)x=－3時(shí)，y=9 . －3=2,

　　∴z=25

　　代入（2）、（3）可得 b=11，c=17

　　∴abc=3×11×17=561 ……………………………25分

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