數(shù)學(xué)中的問題解決

1980年4月, 以美國數(shù)學(xué)教師全國聯(lián)合會(huì)(NCTM)的名義，公布了一份名曰《行動(dòng)綱領(lǐng) - 80年代數(shù)學(xué)教育（www.35d1.com－上網(wǎng)第一站35d1教育網(wǎng)）的議程》的文件，首次提出必須把問題解決(problem solving)作為80年代中學(xué)數(shù)學(xué)的核心。在1980年8月的第四屆國際數(shù)學(xué)會(huì)議上，美國數(shù)學(xué)教師協(xié)會(huì)提出了80年代中學(xué)數(shù)學(xué)教育（www.35d1.com－上網(wǎng)第一站35d1教育網(wǎng)）行動(dòng)計(jì)劃的八點(diǎn)建議，指出80年代中學(xué)數(shù)學(xué)教育（www.35d1.com－上網(wǎng)第一站35d1教育網(wǎng)）改革焦點(diǎn)是培養(yǎng)學(xué)生問題解決的能力，這種力量衡量個(gè)人和國家數(shù)學(xué)水平的標(biāo)志。到1988年召開的第六屆國際數(shù)學(xué)教育（www.35d1.com－上網(wǎng)第一站35d1教育網(wǎng)）會(huì)議上，則將問題解決列為大會(huì)的七個(gè)主要研究課題之一，在課題報(bào)告中，幾次明確提出問題解決?模擬化和應(yīng)用必須成為從中學(xué)到大學(xué)的所有數(shù)學(xué)課程的一部份。這樣，在美國和國際數(shù)學(xué)教育（www.35d1.com－上網(wǎng)第一站35d1教育網(wǎng)）會(huì)議的推動(dòng)下，問題解決受到了世界各國數(shù)學(xué)界普遍重視，不僅成為國際數(shù)學(xué)教育（www.35d1.com－上網(wǎng)第一站35d1教育網(wǎng)）界研究的重要課題，而且是繼「新數(shù)運(yùn)動(dòng)」和「回到基礎(chǔ)」之后興起的80年代和90年代國際數(shù)學(xué)教育（www.35d1.com－上網(wǎng)第一站35d1教育網(wǎng)）發(fā)展的潮流。

一、對(duì)「問題」的理解

對(duì)「問題」的理解與關(guān)于甚么是「問題解決」的分析直接相關(guān)，討論和研究「問題解決」的一個(gè)主要困難就在于對(duì)甚么是真正的「問題」缺少明晰的一致意見。

當(dāng)代美國著名數(shù)學(xué)家哈爾莫斯(P.R.Halmos)曾說：「問題是數(shù)學(xué)的心臟。」美籍匈牙利著名數(shù)學(xué)教育（www.35d1.com－上網(wǎng)第一站35d1教育網(wǎng)）家波利亞(G.Polya)在《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》一書中曾給出問題明確含義，并從數(shù)學(xué)角度對(duì)問題作了分類。他指出，所謂「問題」就是意味著要去尋找適當(dāng)?shù)男袆?dòng)，以達(dá)到一個(gè)可見而不立即可及的目標(biāo)。《牛頓大詞典》對(duì)「問題」的解釋是：指那些并非可以立即求解或較困難的問題 (question)，那種需要探索、思考和討論的問題，那種需要積極思維活動(dòng)的問題。

在1988年的第六屇國際數(shù)學(xué)教育（www.35d1.com－上網(wǎng)第一站35d1教育網(wǎng)）大會(huì)上，「問題解決、模型化及應(yīng)用」課題組提交的課題報(bào)告中，對(duì)「問題」給出了更為明確而富有啟發(fā)意義的界定，指出一個(gè)問題是對(duì)人具有智力挑戰(zhàn)特征的、沒有現(xiàn)成的直接方法、程序或算法的待解問題情境。該課題組主席奈斯 (M.Niss) 還進(jìn)一步把「數(shù)學(xué)問題解決」中的「問題」具體分為兩類：一類是非常規(guī)的數(shù)學(xué)問題；另一類是數(shù)學(xué)應(yīng)用問題。這種界定現(xiàn)已經(jīng)逐漸為人們所接受。

我國的張奠宙、劉鴻坤教授在他們的《數(shù)學(xué)教育（www.35d1.com－上網(wǎng)第一站35d1教育網(wǎng)）學(xué)》里的 "數(shù)學(xué)教育（www.35d1.com－上網(wǎng)第一站35d1教育網(wǎng)）中的問題解決"中，對(duì)甚么是問題及問題與習(xí)題的區(qū)別作了很好的探討，根據(jù)他們的思想觀點(diǎn)，我們可對(duì)「問題」作以下幾個(gè)方面的理解和認(rèn)識(shí)。

* 問題是一種情境狀態(tài)。這種狀態(tài)會(huì)與學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)之間產(chǎn)生內(nèi)部矛盾沖突，在當(dāng)前狀態(tài)下還沒有易于理解的、沒有完全確定的解答方法或法則。換句話說，所謂有問題的狀態(tài)，即這個(gè)人面臨著他們不認(rèn)識(shí)的東西，對(duì)于這種東西又不能僅僅應(yīng)用某種典范的解法去解答，因?yàn)橐粋�(gè)問題一旦可以使使用以前的算法輕易地解答出來，那么它就不是一個(gè)問題了。 

* 問題解決中的「問題」，并不包括常規(guī)數(shù)學(xué)問題，而是指非常規(guī)數(shù)學(xué)問題和數(shù)學(xué)的應(yīng)用問題。這里的常規(guī)數(shù)學(xué)問題，就是指課本中既已唯一確定的方法或可以遵循的一般規(guī)則、原理，而解法程序和每一步驟也都是完全確定的數(shù)學(xué)問題。 

* 問題是相對(duì)的。問題因人因時(shí)而宜，對(duì)于一個(gè)人可能是問題，而對(duì)于另一個(gè)人只不過是習(xí)題或練習(xí)，而對(duì)于第三個(gè)人，卻可能是所然無味了。另一方面，隨著人們的數(shù)學(xué)知識(shí)的增長、能力的提高，原先是問題的東西，現(xiàn)在卻可能變成常規(guī)的問題，或者說已經(jīng)構(gòu)不成問題了。例如，學(xué)生在學(xué)習(xí)因式分解之前，對(duì)于「求方程﹕x3 - 6x2 + 5x = 0的解」，構(gòu)成問題，而在學(xué)習(xí)了因式分解之后，已熟練地掌握了abc = 0 ; 則a = 0 或 b = 0或c = 0，那么，此時(shí)前述求方

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