引導學生在做數學中創造數學-《最大公約數》教學設計與思考

作者:江蘇省睢寧實驗小學 杜義超   

一  指導思想

       人教版與蘇教版教材中對最大公約數認識的編排順序是相同的：分別找出兩個數的約數→比較，生成公約數、最大公約數的概念→會求兩個數的最大公約數→應用（最大）公約數知識解決實際問題。

沿這種思路設計教學，學生對新知的接受常是被動的，并且也只能達成“知識與技能”單一教學目標 。數學課程標準“強調從學生已有的生活經驗出發，讓學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型并進行解釋與應用的過程，進而使學生獲得對數學理解的同時，在思維能力，情感態度與價值觀等多方面得到進步和發展。”在這新的教學理念指導下，怎樣結合學生的實際生活，在運用知識解決問題的實踐操作中，經歷知識產生過程，萌發創造新知需要，并完成對新知的建構呢？

二  教學設計

1．觀察——感知生活數學

      學習約數與倍數之后，布置學生回家觀察客廳或臥室，也可到廣場上，看看所貼的地板磚數是否正好為整數塊數（沒有切割）。如果是，沿著長鋪了多少塊？沿著寬鋪了多少塊？測量一方磚的邊長和房間的長、寬，方磚的邊長與房間的長、寬分別是什么關系？

2．思考——理解數學問題

      課堂教學伊始，投影出貼了地板磚的長方形廣場平面圖。學生能夠用約數、倍數知識解釋課前觀察到的數學問題：長方形廣場的長是方磚邊長的m倍，寬是方磚邊長的n倍。也可以說方磚的邊長既是長方形長的約數，又是長方形寬的約數。與師生交流之后，再出示一個新的問題：我們學校的畫廊高1.2米（12分米），長是3米（30分米），美術組的同學想在上面正好貼滿大小相同的正方形裝飾畫，這種裝飾畫的邊長應為多少分米（取整數）？會有幾種不同的正方形？

3．實驗——建構數學模型

      學生在對畫廊設計問題處于憤悱狀態之時，老師借用長方形紙作示范引導：這是一張長15cm，寬10cm的長方形紙，我們可以把它設想為縮小后的校園畫廊，（當然也可以想象為客廳或廣場的地面）老師在這張長方形紙上設計了兩種不同的小正方形，（實物投影出示另一張畫了方格的長方形紙）其中一面的小正方形邊長為1cm，另一面的小正方形邊長為5cm，它們同樣整分了這張長方形紙而無剩余。想一想，小正方形邊長除了1cm和5cm以外，還會有其它整厘米數嗎？根據剛才自己的理解，請拿出課前準備好的一張長12cm、寬8cm的長方形紙，仿效老師的做法，設計能正好整分這個長方形紙的小正方形，在紙上畫一畫，看一看有幾種不同的畫法設計，再想一想其中有什么規律？

4．總結——創造數學新知

      學生完成上一步操作以后，投影展示學生設計的作品，（會有三種不同的設計：小正方形的邊長分別為1cm、2cm、4cm）引導學生表述自己的想法，交流發現規律：因為小正方形要正好整分大長方形，那么，小正方形的邊長既要能整除大長方形的長，也要能整除長方形的寬。也就是說小正方形的邊長數1、2、4、既是12的約數，也是8的約數。同理，1和5既是15的約數，也是10的約數。

       至此，通過鋪方磚的生活常識及幾何中長、正方形關系的設計操作，學生實際上已初步感知和理解了公約數的存在及其在生活中的應用。此時，再引導學生通過命名的形式抽象出新的數學概念—公約數：請你根據1、2、4分別與12和8共有的關系給這幾個數取一個新的名稱，師板書：1、2、4是12和8的（       ），待學生大都滿意之后再板書：4是12和8的（         ）。

 板書設計 如下：(單位：厘米)

1是10的約數，也是15的約數         1是12的約數，也是8的約數

5是10的約數，也是15的約數         2是12的約數，也是8的約數

         4是12的約數，也是8的約數

1、5是15和10的( 公約數  )             1、2、4是12和8的(公約數 )

5是15和10的( 最大公約數 )           4是12和8的(最大公約數)

5．應用——解決實際問題

       先解決畫廊的裝飾畫設計，再解答小明分蛋糕的疑難：小明過生日的時候，媽媽給他訂了一個大的長方體蛋糕，長42 cm、寬30 cm、高24 cm，小明想把它均勻地切成大小相同的正方體后，再送給每一位客人，他怎樣切才能使蛋糕盡可能大一些？至少可以切成多少塊？

三  教學反思

1．重視數學思想——使數學學習終身受益

      日本著名數學教育家米山國藏指出：“作為知識的數學出校門不到兩年可能就忘了，唯有深深銘記在頭腦中的是數學的精神，數學的思想、研究的方法和著眼點等，這些隨時隨地發生作用，使他們終身受益。”從這個教學的設計中我們可以看到，教學中不只是讓學生接受一個概念知識或一種求最大公約數的方法；不只是注重數學形式層面的教學，而是更重視數學發現層面的教學，即讓學生在經歷“數學家”解決問題的過程中去理解、去感受一種數學的思想和觀念──數學化思想。學生先是感知地板磚中隱含的數學，會用約數、倍數知識解釋簡單的生活現象，進而思考并嘗試解決畫廊內裝飾畫的設計，學生自然會聯想到地板磚中數學知識。但是，從解釋到應用設計，在沒有學習公約數的情況下會存在較大的難度。于是，創設了做數學的空間。讓他們在設計正方形的過程中，逐漸感知公約數的存在，建立了解決這種問題的數學模型。再反思與總結，引導學生自己創造了“公約數”與“最大公約數”的概念。

       數學化思想觀念是指用數學眼光去認識和處理周圍事物或數學問題，可以培養學生良好的“用數學”意識，使數學關系成為學生的一種思維模式。而我們的課堂中，大多還是圍繞知識就事論事，沒有從形成學生思維模式的角度去展開知識形成和問題解決的思維過程，去注重現代的數學思想，去隱含重要的數學方法，這樣，學生學到的只是知識的堆砌，沒有自主的發展和對數學本質的領悟。

2．注重學習體驗——讓課堂煥發生命活力

      撲面而來的新基礎教育課程改革的浪潮強列地震撼著知識為本的傳統課堂教學，關注生活、關愛學生、關照生命等極具時代氣息的教學理念呼喚著以人為本的課堂。

     注意學習過程中的感悟、體驗是本節課設計的又一重點 。觀察、測量中感悟生活中的教學；對長方形紙中小方格設計的探索；總結、反思中感知公約數的存在；解決較復雜的分蛋糕問題時體會公約數的作用。教學中的各個環節，都較好地發揮了學生的主體作用，在動手操作與設計中建構了新舊知識的聯系。經歷了從現實生活中抽象出(最大)公約數的概念，在做數學的過程中體驗了數學的真實意義。

      華師大葉瀾教授提出了“教育的生命基礎”理論，主張“教育具有提升人的生命價值和創造人的精神生命的意義，對生命潛能的開發和發展需要的滿足，教育具有不可替代的重要責任。”以學生的經驗與活動為基礎，以學生的積極參與、身心投入為前提，以學生的自主體驗為核心的注重學生體驗的教學活動，能夠提升學生的生命質量，促進學生和諧發展。如果教學過程 僅是師生間簡單的知識“授一受”過程，剝奪學生對知識的主體性體驗，必然使他們養成被動而不是主動的，依賴而不是獨立的，接受而不是創造的體驗。那就會喪失了求知的欲望、體驗的沖動和創造的才能，課堂學習中學生的生命意義就無從體現。所以《數學課程標準》中，把目標區分為知識技能目標和過程性目標，而過程性目標中的“經歷、體驗、探索”也可理解為學生的體驗過程。體現了《標準》對學生在數學思考、解決問題、以及情感與態度等方面要求的同時，隱含了對學生生命質量的關注和重視。

3．開發教學資源——師生同為資源創生的主體

     教材只是供教學使用的一種材料，不是一成不變的經典。面對新課程標準，教師要有強烈的課程資源開發意識，不僅自己能針對學習內容開發出有利學生學習和發展的新材料，而且要善于引導學生去尋找和發現身邊的數學學習資源。在本節課的教學中，除了教師提示的臥室(廣場)地板磚，畫廊設計、分蛋糕之外，學生也列舉了許多類似的現象：教室內水磨石地面，銀行墻壁上的方形面磚，家中客廳頂部木質方塊的裝飾……學生在資源的識別與解釋中，逐步掌握了(最大)公約數的知識，為今后創造性的運用知識打下了良好的基礎。

引導學生在做數學中創造數學——《最大公約數》教學設計與思考