二次根式的乘法

教學建議

知識結構：

重點難點分析：

本節的教學重點是利用積的算術平方根的性質進行二次根式的計算和化簡.積的算術平方根的性質是本節的中心內容，化簡和運算都是圍繞其進行的，而運用此性質計算化簡又是二次根式的化簡和混合運算的基礎.二次根式的計算和化簡通常與如勾股定理等幾何方面的知識綜合在一起.

本節難點是二次根式的乘法與積的算術平方根的關系及應用.積的算術平方根在應用時既要強調這部分題目中的字母為正數，但又要注意防止學生產生字母只表示正數的片面認識.要讓學生認識到積的算術平方根性質與根式的乘法公式是互為逆運算的關系。綜合應用性質或乘法公式時要注意題目中的條件一定要滿足.

教法建議：

1. 由于性質、法則和關系式較集中，在二次根式的計算、化簡和應用中又相互交錯，綜合運用，因此要使學生在認識過程中脈絡清楚，條理分明，在教學時就一定要逐步有序的展開.在講解二次根式的乘法時可以結合積的算術平方根的性質，讓學生把握兩者的關系。

2. 積的算術平方根的性質和 （ ）及比較大小等內容都可以通過從特殊到一般的歸納方法，讓學生通過計算一組具體的式子，引導他們做出一般的結論。由于歸納是通過對一些個別的、特殊的例子的研究，從表象到本質，進而猜想出一般的結論，這種思維過程對于初中學生認識、研究和發現事物的規律有著重要的作用，所以在教學中對于培養的思維品質有著重要的作用。

 

教學設計示例

二次根式的乘法(一)

一、教學目標 

1．使學生能夠利用積的算術平方根的性質進行二次根式的化簡與運算．

2．會進行簡單的二次根式的乘法運算．

3．使學生能聯系幾何課中學習的勾股定理解決實際問題．

4．使學生了解比較二次根式的大小的方法．

二、教學重點和難點

1．重點：會利用積的算術平方根的性質化簡二次根式，會進行簡單的二次根式的乘法運算．

2．難點：二次根式的乘法與積的算術平方根的關系及應用．

三、教學方法

從特殊到一般總結歸納的方法，類比的方法，講授與練習結合法．

四、教學手段

利用投影儀．

五、教學過程 

(一)引入新課

觀察下面的例子：

于是可得到：

又如：

類似地可以得到：

 (二)新課

積的算術平方根．

由前面所舉特殊的例子，引導學生總結出：一般地，有 (a≥0，b≥0)．

積的算術平方根，等于積中各因式的算術平方根的積．

要注意a≥0、b≥0的條件，因為只有a、b都是非負數公式才能成立，這里要啟發學生為什么必須a≥0、b≥0．在本章中，如果沒有特別說明，所有字母都表示正數，下面啟發學生從運算順序看，等號左邊是將非負數a、b先做乘法求積，再開方求積的算術平方根，等號右邊是先分別求a、b的兩因數的算術平方根，然后再求兩個算術平方根的積．

根據這個性質可以對二次根式進行恒等變形，或將有的因式適當改變移到根號外邊，或將根號外邊的非負因式平方后移到根號內．

例1 把下面各數分解因數：

(1)20； (2)42； (3)63； (4)128．

說明：通過本題復習分解因數，為利用積的算術平方根公式化簡二次根式打下基礎．

解：略．

例2 化簡：

（1） （2）

（3） （4）

分析：本題需要用積的算術平方根公式進行化簡，題目中的被開方數都是具體數字，學生便于理解，在講完例2后可以總結化簡的方法．

解：（1）

（2）

（3）

（4）

說明：① (a≥0，b≥0)可以推廣為 (a≥0，b≥0，c≥0)．

②這個小題與本章章頭圖與章序言的內容有聯系，解答了章序言中提出的一個問題．

③ (4)小題要首先用平方差公式分解成積的形式，才可以用積的算術平方根公式進行化簡．

④通過例2可以看出，如果一個二次根式的被開方數中有的因式(或因數)能開得盡方，可以利用積的算術平方根的性質，將這些因式(或因數)開出來，從而將二次根式化簡．

通過例2，我們根據算術平方根的定義，可得出： ， ， 等結果，于是可以總結出：一般地，有

（a≥0）

關于a＜0時， ，這種情況將在本章最后一小節專門研究.

例3 化簡：

（1） ； （2）

分析：由例3，讓學生注意，在本章中，未加特別說明時，字母一般表示正數，但在實際問題中不一定非是正數不可，如第(1)小題，a可以是負數，根據學生實際情況，可適當引導學生展開小組的討論，滲透分類討論的思想．

解：（1）

（2）

說明：x2+y2這個式子不能再開方了，進一步強調積的算術平方根公式的特點．

例4 如右圖，在△ABC中，∠C=90°，4C=10cm，BC=24cm．求AB．

解：∵  AB2=AC2+BC2

∴

(cm)

答：AB長26cm．

(三)小結

1．本節課講了積的算術平方根的性質

(a≥0，b≥0)．

通過分式的應用，讓學生進一步總結，為什么必須有a≥0、b≥0這個條件，而沒有這個條件上述性質不成立．

問學生：當a＜0，b＜0， 也有意義，為什么一定要a≥0、b≥0呢？

引導學生說出：若a＜0，b＜0， ， 在實數范圍內沒有意義. 公式顯然不成立．

2．利用積的算術平方根的性質，化簡二次根式的方法．

3．結合幾何課學習的勾股定理，提高學生解決實際問題的能力．

(四)練習

1．  化簡：

（1） ； （2） ；

（3） ； （4） ；

（5） ; (6) ；

（7） ； （8）

2．  計算：

（1） ； （2） ；

（3） ； （4）

3．已知一個直角三角形的斜邊c=21，一條直角邊b＝4，求另一條直角邊a．

六、作業 

教材P．177習題11．2； A組1、2、3、4、5．

七、板書設計 

 

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