數(shù)軸

時間：2023-05-02 02:13:00 初中數(shù)學教案我要投稿

數(shù)軸

教學目標

1．了解數(shù)軸的概念和數(shù)軸的畫法，掌握數(shù)軸的三要素；

2．會用數(shù)軸上的點表示有理數(shù)，會利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大�。�

3．使學生初步了解數(shù)形結(jié)合的思想方法，培養(yǎng)學生相互聯(lián)系的觀點。

教學建議

一、重點、難點分析

本節(jié)的重點是初步理解數(shù)形結(jié)合的思想方法，正確掌握數(shù)軸畫法和用數(shù)軸上的點表示有理數(shù),并會比較有理數(shù)的大�。y點是正確理解有理數(shù)與數(shù)軸上點的對應關系。數(shù)軸的概念包含兩個內(nèi)容，一是數(shù)軸的三要素：原點、正方向、單位長度缺一不可，二是這三個要素都是規(guī)定的。另外應該明確的是，所有的有理數(shù)都可用數(shù)軸上的點表示，但數(shù)軸上的點所表示的數(shù)并不都是有理數(shù)。通過學習，使學生初步掌握用數(shù)軸解決問題的方法，為今后充分利用“數(shù)軸”這個工具打下基礎．

二、知識結(jié)構(gòu)

有了數(shù)軸，數(shù)和形得到了初步結(jié)合，這有利于對數(shù)學問題的研究，數(shù)形結(jié)合是理解數(shù)學、學好數(shù)學的重要思想方法，本課知識要點如下表：

定義

三要素

應用

數(shù)形結(jié)合

規(guī)定了原點、正方向、單位長度的直線叫數(shù)軸

原點

正方向

單位長度

幫助理解有理數(shù)的概念，每個有理數(shù)都可用數(shù)軸上的點表示，但數(shù)軸上的點并非都是有理數(shù)

比較有理數(shù)大小，數(shù)軸上右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)要大

在理解并掌握數(shù)軸概念的基礎之上，要會畫出數(shù)軸，能將已知數(shù)在數(shù)軸上表示出來，能說出數(shù)軸上已知點所表示的數(shù)，要知道所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示，會利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小。

三、教法建議

小學里曾學過利用射線上的點來表示數(shù)，為此我們可引導學生思考：把射線怎樣做些改進就可以用來表示有理數(shù)?伴以溫度計為模型，引出數(shù)軸的概念.數(shù)軸是一條具有三個要素（原點、正方向、單位長度）的直線，這三個要素是判斷一條直線是不是數(shù)軸的根本依據(jù)。數(shù)軸與它所在的位置無關，但為了教學上需要，一般水平放置的數(shù)軸，規(guī)定從原點向右為正方向。要注意原點位置選擇的任意性。

關于有理數(shù)與數(shù)軸上的點的對應關系，應該明確的是有理數(shù)可以用數(shù)軸上的點表示，但數(shù)軸上的點與有理數(shù)并不存在一一對應的關系。根據(jù)幾個有理數(shù)在數(shù)軸上所對應的點的相互位置關系，應該能夠判斷它們之間的大小關系。通過點與有理數(shù)的對應關系及其應用，逐步滲透數(shù)形結(jié)合的思想。

四、數(shù)軸的相關知識點

1．數(shù)軸的概念

（1）規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸．

這里包含兩個內(nèi)容：一是數(shù)軸的三要素：原點、正方向、單位長度缺一不可．二是這三個要素都是規(guī)定的．

（2）數(shù)軸能形象地表示數(shù)，所有的有理數(shù)都可用數(shù)軸上的點表示，但數(shù)軸上的點所表示的數(shù)并不都是有理數(shù)．

以數(shù)軸是理解有理數(shù)概念與運算的重要工具．有了數(shù)軸，數(shù)和形得到初步結(jié)合，數(shù)與表示數(shù)的圖形（如數(shù)軸）相結(jié)合的思想是學習數(shù)學的重要思想．另外，數(shù)軸能直觀地解釋相反數(shù)，幫助理解絕對值的意義，還可以比較有理數(shù)的大�。虼耍瑧匾晫�(shù)軸的學習．

2．數(shù)軸的畫法

（1）畫直線（一般畫成水平的）、定原點，標出原點“O”．

（2）取原點向右方向為正方向，并標出箭頭．

（3）選適當?shù)拈L度作為單位長度，并標出…，－3，－2，－1，1，2，3…各點。具體如下圖。

（4）標注數(shù)字時，負數(shù)的次序不能寫錯，如下圖。

3．用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小

（1）在數(shù)軸上表示的兩數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。

（2）由正、負數(shù)在數(shù)軸上的位置可知：正數(shù)都有大于0，負數(shù)都小于0，正數(shù)大于一切負數(shù)。

（3）比較大小時，用不等號順次連接三個數(shù)要防止出現(xiàn)“ ”的寫法，正確應寫成“ ”。

五、數(shù)軸定義的理解

1.規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸，如圖1所示．

2.所有的有理數(shù)，都可以用數(shù)軸上的點表示．例如：在數(shù)軸上畫出表示下列各數(shù)的點(如圖2)．

A點表示-4； B點表示-1.5；

O點表示0； C點表示3.5；

D點表示6．

從上面的例子不難看出，在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大，又從正數(shù)和負數(shù)在數(shù)軸上的位置，可以知道：

正數(shù)都大于0，負數(shù)都小于0，正數(shù)大于一切負數(shù)．

因為正數(shù)都大于0，反過來，大于0的數(shù)都是正數(shù)，所以，我們可以用，表示是正數(shù)；反之，知道是正數(shù)也可以表示為。

同理，，表示是負數(shù)；反之是負數(shù)也可以表示為。

3．正數(shù)軸常見幾種錯誤

1)沒有方向

2)沒有原點

3)單位長度不統(tǒng)一

教學設計示例

數(shù)軸(一)

教學目標

1．使學生正確理解數(shù)軸的意義，掌握數(shù)軸的三要素；

2．使學生學會由數(shù)軸上的已知點說出它所表示的數(shù)，能將有理數(shù)用數(shù)軸上的點表示出來；

3．使學生初步理解數(shù)形結(jié)合的思想方法．

教學重點和難點

重點：初步理解數(shù)形結(jié)合的思想方法，正確掌握數(shù)軸畫法和用數(shù)軸上的點表示有理數(shù)．

難點：正確理解有理數(shù)與數(shù)軸上點的對應關系．

課堂教學過程設計

一、從學生原有認知結(jié)構(gòu)提出問題

1．小學里曾用“射線”上的點來表示數(shù)，你能在射線上表示出1和2嗎？

2．用“射線”能不能表示有理數(shù)？為什么？

3．你認為把“射線”做怎樣的改動，才能用來表示有理數(shù)呢？

待學生回答后，教師指出，這就是我們本節(jié)課所要學習的內(nèi)容——數(shù)軸．

二、講授新課

讓學生觀察掛圖——放大的溫度計，同時教師給予語言指導：利用溫度計可以測量溫度，在溫度計上有刻度，刻度上標有讀數(shù)，根據(jù)溫度計的液面的不同位置就可以讀出不同的數(shù)，從而得到所測的溫度．在0上10個刻度，表示10℃；在0下5個刻度，表示-5℃．

與溫度計類似，我們也可以在一條直線上畫出刻度，標上讀數(shù)，用直線上的點表示正數(shù)、負數(shù)和零．具體方法如下(邊說邊畫)：

1．畫一條水平的直線，在這條直線上任取一點作為原點(通常取適中的位置，如果所需的都是正數(shù)，也可偏向左邊)用這點表示0(相當于溫度計上的0℃)；

2．規(guī)定直線上從原點向右為正方向(箭頭所指的方向)，那么從原點向左為負方向(相當于溫度計上0℃以上為正，0℃以下為負)；

3．選取適當?shù)拈L度作為單位長度，在直線上，從原點向右，每隔一個長度單位取一點，依次表示為1，2，3，…從原點向左，每隔一個長度單位取一點，依次表示為-1，-2，-3，…

提問：我們能不能用這條直線表示任何有理數(shù)？(可列舉幾個數(shù))

在此基礎上，給出數(shù)軸的定義，即規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸．

進而提問學生：在數(shù)軸上，已知一點P表示數(shù)-5，如果數(shù)軸上的原點不選在原來位置，而改選在另一位置，那么P對應的數(shù)是否還是-5？如果單位長度改變呢？如果直線的正方向改變呢？

通過上述提問，向?qū)W生指出：數(shù)軸的三要素——原點、正方向和單位長度，缺一不可．

三、運用舉例變式練習

例1 畫一個數(shù)軸，并在數(shù)軸上畫出表示下列各數(shù)的點：

例2 指出數(shù)軸上A，B，C，D，E各點分別表示什么數(shù)．

課堂練習

示出來．

2．說出下面數(shù)軸上A，B，C，D，O，M各點表示什么數(shù)？

最后引導學生得出結(jié)論：正有理數(shù)可用原點右邊的點表示，負有理數(shù)可用原點左邊的點表示，零用原點表示．

四、小結(jié)

指導學生閱讀教材后指出：數(shù)軸是非常重要的數(shù)學工具，它使數(shù)和直線上的點建立了對應關系，它揭示了數(shù)和形之間的內(nèi)在聯(lián)系，為我們研究問題提供了新的方法．

本節(jié)課要求同學們能掌握數(shù)軸的三要素，正確地畫出數(shù)軸，在此還要提醒同學們，所有的有理數(shù)都可用數(shù)軸上的點來表示，但是反過來不成立，即數(shù)軸上的點并不是都表示有理數(shù)，至于數(shù)軸上的哪些點不能表示有理數(shù)，這個問題以后再研究．

五、作業(yè)

1．在下面數(shù)軸上：

(1)分別指出表示-2，3，-4，0，1各數(shù)的點．

(2)A，H，D，E，O各點分別表示什么數(shù)？

2．在下面數(shù)軸上，A，B，C，D各點分別表示什么數(shù)？

3．下列各小題先分別畫出數(shù)軸，然后在數(shù)軸上畫出表示大括號內(nèi)的一組數(shù)的點：

(1)｛-5，2，-1，-3，0｝； (2)｛-4，2.5，-1.5，3.5｝；

課堂教學設計說明

從學生已有知識、經(jīng)驗出發(fā)研究新問題，是我們組織教學的一個重要原則．小學里曾學過利用射線上的點來表示數(shù)，為此我們可引導學生思考：把射線怎樣做些改進就可以用來表示有理數(shù)？伴以溫度計為模型，引出數(shù)軸的概念．教學中，數(shù)軸的三要素中的每一要素都要認真分析它的作用，使學生從直觀認識上升到理性認識．直線、數(shù)軸都是非常抽象的數(shù)學概念，當然對初學者不宜講的過多，但適當引導學生進行抽象的思維活動還是可行的．例如，向?qū)W生提問：在數(shù)軸上對應一億萬分之一的點，你能畫出來嗎？它是不是存在等．

數(shù) 軸（二）

一、素質(zhì)教育目標

（一）知識教學點

1．掌握數(shù)軸的三要素，能正確畫出數(shù)軸．

2．能將已知數(shù)在數(shù)軸上表示出來，能說出數(shù)軸上已知點所表示的數(shù)．

（二）能力訓練點

1．使學生受到把實際問題抽象成數(shù)學問題的訓練，逐步形成應用數(shù)學的意識．

2．對學生滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法．

（三）德育滲透點

使學生初步了解數(shù)學來源于實踐，反過來又服務于實踐的辯證唯物主義觀點．

（四）美育滲透點

通過畫數(shù)軸，給學生以圖形美的教育，同時由于數(shù)形的結(jié)合，學生會得到和諧美的享受．

二、學法引導

1．教學方法：根據(jù)教師為主導，學生為主體的原則，始終貫穿“激發(fā)情趣—手腦并用—啟發(fā)誘導—反饋矯正”的教學方法．

2．學生學法：動手畫數(shù)軸，動腦概括數(shù)軸的三要素，動手、動腦做練習．

三、重點、難點、疑點及解決辦法

1．重點：正確掌握數(shù)軸畫法和用數(shù)軸上的點表示有理數(shù)．

2．難點：有理數(shù)和數(shù)軸上的點的對應關系。

四、課時安排

1課時

五、教具學具準備

電腦、投影儀、自制膠片．

六、師生互動活動設計

師生同步畫數(shù)軸，學生概括數(shù)軸三要素，師出示投影，生動手動腦練習

七、教學步驟

（一）創(chuàng)設情境，引入新課

師：大家知識溫度計的用途是什么？

生：溫度計可以測量溫度

（出示投影1）

三個溫度計．其中一個溫度計的液面在0上20個刻度，一個溫度計的液面在0下5個刻度，一個溫度計的液面在0刻度．

師：三個溫度計所表示的溫度是多少？

生：2℃，－5℃，0℃．

我們能否用類似溫度計的圖形表示有理數(shù)呢？

這種表示數(shù)的圖形就是今天我們要學的內(nèi)容—數(shù)軸（板書課題）．

【教法說明】從溫度計用標有讀數(shù)的刻度來表示溫度的高低這個事實出發(fā)，引出本節(jié)課所要學的內(nèi)容—數(shù)軸．再從溫度計這個實物形象抽象出數(shù)軸來研究．既激發(fā)了學生的學習興趣，又使學生受到把實際問題抽象成數(shù)學問題的訓練，培養(yǎng)了用數(shù)學的意識．

（二）探索新知，講授新課

1．數(shù)軸的畫法

與溫度計類似，可以在一條直線上畫出刻度，標上讀數(shù)，用直線上的點表示正數(shù)、負數(shù)和零，具體做法如下：

第一步：畫直線定原點原點表示0（相當于溫度計上的0℃）．

第二步：規(guī)定從原點向右的為正方向那么相反的方向（從原點向左）則為負方向．（相當于溫度計上℃以上為正，0℃以下為負）．

第三步：選擇適當?shù)拈L度為單位長度（相當于溫度計上每1℃占1小格的長度）．

【教法說明】教師邊講解邊示范，學生跟著一起畫圖．培養(yǎng)學生動手、動腦和實際操作能力，同時，把類比作為一種重要方法貫穿于概念形成過程的始終，讓學生在認知過程中領悟這種思想方法．

讓學生觀察畫好的直線，思考以下問題：

（出示投影1）

（1）原點表示什么數(shù)？

（2）原點右方表示什么數(shù)？原點左方表示什么數(shù)？

（3）表示＋2的點在什么位置？表示－1的點在什么位置？

（4）原點向右0.5個單位長度的A點表示什么數(shù)？原點向左個單位長度的B點表示什么數(shù)？

根據(jù)老師畫圖的步驟，學生思考在一條水平的直線上都畫出什么？然后歸納出數(shù)軸的定義．

學生活動：同學們思考，并要求同桌相互敘述，互相糾正補充，語句通順后舉手回答．大家思考準備更正或補充．

【教法說明】通過“觀察—類比—思考—概括—表達”展現(xiàn)知識的形成是從感性認識上升到理性認識的過程，讓學生在獲取知識的過程中，領會數(shù)學思想和思維方法，并有意識地訓練學生歸納概括和口頭表達能力．

教師根據(jù)學生回答給予肯定或否定，糾正后板書．

2．數(shù)軸的定義：規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸．

向?qū)W生提出問題：數(shù)軸上為什么要規(guī)定原點、正方向和單位長度呢？它們各起什么作用？引導學生結(jié)合溫度訂正確回答這個問題，從而知道數(shù)軸三要素的重要性，了解三者缺一不可，認識和掌握判斷一條直線是不是數(shù)軸的依據(jù)．

學生活動：同桌之間、前后桌之間討論．使學生從直觀認識上升到理性認識．

3．嘗試反饋，鞏固練習

請大家回答下列問題：

（出示投影2）

（1）有人說一條直線是一條數(shù)軸，對不對？為什么？

（2）下列所畫數(shù)軸對不對？如果不對，指出錯在哪里？

學生活動：學生思考，不準討論，想好后舉手回答．

讓其他學生對其回答進行評判，對確有疑問的題目，教師給予講解．

【教法說明】此組練習的目的是鞏固數(shù)軸的概念．

答案：（2）①缺原點，②缺正方向，③數(shù)軸不是射線而是直線，④缺單位長度，⑥提醒學生注意在同一數(shù)輪上必須用同一單位長度進行度量．⑤⑦是數(shù)軸，同時⑦為學習平面直角坐標系打基礎．

4．有理數(shù)與數(shù)軸上點的關系

通過剛才的學習我們知道所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點來表示．

例1 畫一條數(shù)軸，并畫出表示下列各數(shù)的點：

1，5，0，－2.5，．

學生練習：同學們在練習本上畫一條數(shù)軸，然后在數(shù)軸上標出各點，一名學生板演．教師巡回指導，發(fā)現(xiàn)問題及時糾正．

【教法說明】讓學生動手自己畫數(shù)軸，有助于培養(yǎng)學生實際操作能力．例1是把給定的有理數(shù)用數(shù)軸上的點來表示，完成由“數(shù)”到“形”的思維過程，有助于學生加深對數(shù)軸概念的理解．

（出示投影4）

例2 指出數(shù)軸上 A、B、C、D、E各點分別表示什么數(shù)？

先讓學生思考一會，然后學生舉手回答

解：A表示－3；B表示； C表示3；D表示；E表．

【教法說明】例2是讓學生說出數(shù)軸上的點表示的有理數(shù)，完成了由“形”到“數(shù)”的思維過程．例1、例2從各自不同的兩個側(cè)面，體現(xiàn)出數(shù)形結(jié)合，滲透了數(shù)形之間相互轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想．

5．嘗試反饋，鞏固練習

（出示投影5）

①說出下面數(shù)軸上A、B、C、D、O、M各點表示什么數(shù)？

②將－3，，1.5，－6，，2.25，，－5，1

各數(shù)用數(shù)軸上的點表示出來．

【教法說明】①題由點讀數(shù)練習，②題由數(shù)找點練習，進一步鞏固加深本節(jié)所學的內(nèi)容．

（三）歸納小結(jié)

師：①數(shù)軸是非常重要的數(shù)學工具，它使數(shù)和直線上的點建立了對應關系，它揭示數(shù)與形之間的內(nèi)在聯(lián)系，是幫助學生理解數(shù)學、學習數(shù)學的重要思想方法．本章有理數(shù)的有關性質(zhì)和運算都是結(jié)合數(shù)軸進行的．

②掌握數(shù)軸三要素，正確地畫出數(shù)軸，提醒同學們，所有的有理數(shù)都可用數(shù)軸上的各點來表示，但是反過來不成立，即數(shù)軸上的各點，并不是都表示有理數(shù)．以后再研究．

八、隨堂練習

1．判斷題

（1）直線就是數(shù)軸（）

（2）數(shù)軸是直線（）

（3）任何一個有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點來表示（）

（4）數(shù)軸上到原點距離等于3的點所表示的數(shù)是＋3（）

（5）數(shù)軸上原點左邊表示的數(shù)是負數(shù)，右邊表示的數(shù)是正數(shù)，原點表示的數(shù)是0．（）

2．畫一條數(shù)輪，并畫出表示下列各數(shù)的點

，－5，0，＋3.2，－1.4

九、布置作業(yè)

（－）必做題：課本第56頁1、2．