初中數學平方差公式教案

時間：2023-01-10 09:12:36 數學教案我要投稿

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初中數學平方差公式教案

　　作為一名教師，就不得不需要編寫教案，編寫教案有利于我們準確把握教材的重點與難點，進而選擇恰當的教學方法。那么寫教案需要注意哪些問題呢？以下是小編為大家收集的初中數學平方差公式教案，供大家參考借鑒，希望可以幫助到有需要的朋友。

初中數學平方差公式教案

初中數學平方差公式教案1

　　15.2 乘法公式

　　15.2.1平方差公式

　　教學目標

　�、俳洑v探索平方差公式的過程，進一步發展學生的符號感和推理能力、歸納能力．

　　②會推導平方差公式并掌握公式的結構特征，能運用公式進行簡單的計算．

　�、哿私馄椒讲罟降膸缀伪尘埃w會數形結合的思想方法．

　　教學重點與難點

　　重點：平方差公式的推導及應用．

　　難點：用公式的結構特征判斷題目能否使用公式．

　　教學準備

　　卡片及多媒體課件

　　教學設計

　　引入

　　同學們，前面我們剛剛學習了整式的乘法，知道了一般情形下兩個多項式相乘的法則．今天我們要繼續學習某些特殊情形下的多項式相乘．下面請同學們應用你所學的知識，自己來探究下面的問題：

　　探究：計算下列多項式的積，你能發現它們的運算形式與結果有什么規律嗎?

　　(1)(x+1)(x-1)=

　　(2)(m+2)(m-2)=

　　(3)(2x+1)(2x-1)=

　　引導學生用自己的語言敘述所發現的規律，允許學生之間互相補充，教師不急于概括．

　　注：平方差公式是多項式乘法運算中一個重要的公式，它的得出可以直接利用多項式與多項式相乘的運算法則，利用多項式乘法推導乘法公式是從一般到特殊的過程，對今后學習其他乘法公式的推導有一定的指導意義，同時也可培養學生觀察、歸納、概括等能力，因此在教學中，首先應讓學生思考：你能發現什么?讓學生經歷觀察(每個算式和結果的特點)、比較(不同算式之間的異同)、歸納(可能具有的規律)、提出猜想的過程，學生在發現規律后，還應通過符號運算對規律進行證明．

　　舉例

　　再舉幾個這樣的.運算例子．

　　注：讓學生獨立思考，每人在組內舉一個例子(可口述或書寫)，然后由其中一個小組的代表來匯報．

　　驗證

　　我們再來計算(a+b)(a-b)=

　　公式的推導既是對上述特例的概括，更是從特殊到一般的歸納證明，在此應注意向學生滲透數學的思想方法：特例→歸納→猜想→驗證→用數學符號表示．

　　注：這里是對前邊進行的運算的討論，目的是讓學生通過觀察、歸納，鼓勵他們發現這個公式的一些特點，如公式左右邊的結構特征，為下一步運用公式進行簡單計算打下基礎．

　　概括

　　平方差公式及其形式特征．

　　教師可以在前面的基礎上繼續鼓勵學生發現這個公式的一些特點：如公式左、右邊的結構，并嘗試說明這些特點的原因．

　　應用

　　教科書第152頁例1運用平方差公式計算：

　　(1)(3x+2)(3x-2)

　　(2)(b+2a)(2a-b)

　　(3)(-x+2y)(-x-2y)

　　填表：

　　(a+b)(a-b) a b a2—b2 最后結果

　　(3x+2)(3x-2) 2 (3x)2-22

　　(b+2a)(2a-b)

　　(-x+2y)(-x-2y)

　　對本例的前面兩個小題可以采用學生獨立完成，然后搶答的形式完成；第三小題可采用小組討論的形式，要求學生在給出表格所提示的解法之后，思考別的解法：提取后一個因式里的負號，將2y看作“a”，將x看作“b”，然后運用平方差公式計算．

　　注：(1)正確理解公式中字母的廣泛含義，是正確運用這一公式的關鍵．設計本環節，旨在通過將算式中的各項與公式里的a、b進行對照，進一步體會字母a、b的含義，加深對字母含義廣泛性的理解：即它們既可以是數，也可以是含字母的整式．

　　(2)在具體計算時，當有一個二項式兩項都負時，往往不易判明a、b，如第三小題，此時可以通過小組合作交流，放手讓學生去思考、討論，有助于學生思維互補、有條理地思考和表達，更有助于學生合作精神的培養．

　　(3)例1第(3)小題引導學生多角度思考問題，可以加深對公式的理解．

　　教科書第152頁例2計算：

　　(1)102×98

　　(2)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)

　　此處仍先讓學生獨立思考，然后自主發言，口述解題思路，允許他們算法的多樣化，然后通過比較，優化算法，達到簡便計算的目的．

　　注：(1)運用平方差公式進行數的簡便運算的關鍵是根據數的形式特征，把相乘的兩數化成兩數和與兩數差的乘積形式，教學時可讓學生自己尋找相乘兩數的形式特征．

　　(2)第二小題要引導學生注意到一般形式的整式乘法與特殊形式的整式乘法的區別與聯系，強調：只有符合公式要求的乘法，才能運用公式簡化運算，其余的運算仍按整式乘法法則進行．

　　鞏固

　　教科書第153頁練習1、2

　　練習1口答完成；練習2采用大組競賽的形式進行，其中(1)(4)由兩個大組完成，(2)(3)由另兩個大組完成．

　　注：讓學生通過鞏固練習，達成本節課的基本學習目標，并通過豐富的活動形式，激發學習興趣，培養競爭意識和集體榮譽感．

　　解釋

　　你能根據下面的兩個圖形解釋平方差公式嗎?

　　多媒體動畫演示圖形的變換過程，體會過程中不變的量，并能用代數恒等式表示．

　　注：(1)重視公式的幾何背景，可以幫助學生運用幾何直觀理解、解決有關代數問題．

　　(2)此處將教科書的圖15.3-1分解為兩個圖形，是考慮到學生數與形結合的思想方法掌握的不夠熟練；利用兩個圖形可以清楚變化的過程，便于聯想代數的形式．

　　小結

　　談一談：你這一節課有什么收獲?

　　注：這兒采取的是先由每個學生自己小結，然后由小組代表作答，把教師做小結變成了課堂上人人做小結，有助于學生概括能力、抽象能力、表達能力的提高．同時，由于人人都要做小結，促使學生注意力集中，學習主動性加強．

　　作業

　　1．必做題：教科書第156頁習題15.2第1題

　　2．選做題：計算：

　　(1)x2+(y-x)(y+x)

　　(2)20082-20xx×20xx

　　(3)(-0.25x-2y)(-0.25x+2y)

　　(4)(a+ b)(a- b)-(3a-2b)(3a+2b)

　　教學后記

初中數學平方差公式教案2

　　一、知識結構

　　二、 重點、難點分析

　　本節教學的重點是掌握公式的結構特征及正確運用公式．難點是公式推導的理解及字母的廣泛含義．平方差公式是進一步學習完全平方公式、進行相關代數運算與變形的重要知識基礎．

　　1．平方差公式是由多項式乘法直接計算得出的：

　　與一般式多項式的乘法一樣，積的項數是多項式項數的積，即四項．合并同類項后僅得兩項．

　　2．這一公式的結構特征：左邊是兩個二項式相乘，這兩個二項式中有一項完全相同，另一項互為相反數；右邊是乘式中兩項的平方差，即相同項的平方與相反項的平方差．公式中的字母可以表示具體的數（正數和負數），也可以表示單項式或多項式等代數式．

　　只要符合公式的結構特征，就可運用這一公式．例如

　　在運用公式的過程中，有時需要變形，例如，變形為，兩個數就可以看清楚了．

　　3．關于平方差公式的特征，在學習時應注意：

　�。�1）左邊是兩個二項式相乘，并且這兩上二項式中有一項完全相同，另一項互為相反數．

　�。�2）右邊是乘式中兩項的平方差（相同項的平方減去相反項的平方）．

　�。�3）公式中的和可以是具體數，也可以是單項式或多項式．

　�。�4）對于形如兩數和與這兩數差相乘，就可以運用上述公式來計算．

　　三、教法建議

　　1．可以將“兩個二項式相乘，積可能有幾項”的問題作為課題引入，目的是激發學生的學習興趣，使學生能在兩個二項式相乘其積可能為四項、三項、兩項中找出積為兩項的特征，上升到一定的`理論認識，加以實踐檢驗，從而培養學生觀察、概括的能力．

　　2．通過學生自己的試算、觀察、發現、總結、歸納，得出為什么有的兩個二項式相乘，其積為兩項，因為其中兩項是兩個數的平方差，而另兩項恰是互為相反數，合并同類項時為零，即

　　(a+b)(a-b)=a2+ab-ab-b2=a2-b2．

　　這樣得出平方差公式，并且把這類乘法的實質講清楚了．

　　3．通過例題、練習與小結，教會學生如何正確應用平方差公式．這里特別要求學生注意公式的結構，教師可以用對應思想來加強對公式結構的理解和訓練，如計算(1+2x)(1-2x)，

　　(1+2x)(1-2x)=12-(2x)2=1-4x2

　　↓ ↓ ↓ ↓　↑　↑

　　(a + b)(a - b)=a2- b2．

　　這樣，學生就能正確應用公式進行計算，不容易出差錯．

　　另外，在計算中不一定用一種模式刻板地應用公式，可以結合以前學過的運算法則，經過變形后靈活應用公式，培養學生解題的靈活性．

　　教學目標

　　1．使學生理解和掌握平方差公式，并會用公式進行計算；

　　2．注意培養學生分析、綜合和抽象、概括以及運算能力．

　　教學重點和難點

　　重點：平方差公式的應用．

　　難點：用公式的結構特征判斷題目能否使用公式．

　　教學過程設計

　　一、師生共同研究平方差公式

　　我們已經學過了多項式的乘法，兩個二項式相乘，在合并同類項前應該有幾項？合并同類項以后，積可能會是三項嗎？積可能是二項嗎？請舉出例子．

　　讓學生動腦、動筆進行探討，并發表自己的見解．教師根據學生的回答，引導學生進一步思考：

　　兩個二項式相乘，乘式具備什么特征時，積才會是二項式？為什么具備這些特點的兩個二項式相乘，積會是兩項呢？而它們的積又有什么特征？

　　(當乘式是兩個數之和以及這兩個數之差相乘時，積是二項式．這是因為具備這樣特點的兩個二項式相乘，積的四項中，會出現互為相反數的兩項，合并這兩項的結果為零，于是就剩下兩項了．而它們的積等于乘式中這兩個數的平方差)

　　繼而指出，在多項式的乘法中，對于某些特殊形式的多項式相乘，我們把它寫成公式，并加以熟記，以便遇到類似形式的多項式相乘時就可以直接運用公式進行計算．以后經常遇到(a+b)(a-b)這種乘法，所以把(a+b)(a-b)=a2-b2作為公式，叫做乘法的平方差公式．

　　在此基礎上，讓學生用語言敘述公式．

　　二、運用舉例?變式練習

　　例1?計算(1+2x)(1-2x)．

　　解：(1+2x)(1-2x)

　　=12-(2x)2

　　=1-4x2．

　　教師引導學生分析題目條件是否符合平方差公式特征，并讓學生說出本題中a，b分別表示什么．

　　例2?計算(b2+2a3)(2a3-b2)．

　　解：(b2+2a3)(2a3-b2)

　�。�(2a3+b2)(2a3-b2)

　�。�(2a3)2-(b2)2

　　＝4a6-b4．

　　教師引導學生發現，只需將(b2+2a3)中的兩項交換位置，就可用平方差公式進行計算．

　　課堂練習

　　運用平方差公式計算：

　　(l)(x+a)(x-a)；(2)(m+n)(m-n)；

　　(3)(a+3b)(a-3b)；(4)(1-5y)(l+5y)．

　　例3?計算(-4a-1)(-4a+1)．

　　讓學生在練習本上計算，教師巡視學生解題情況，讓采用不同解法的兩個學生進行板演．

　　解法1：(-4a-1)(-4a+1)

　　=[-(4a+l)][-(4a-l)]

　　=(4a+1)(4a-l)

　　=(4a)2-l2

　　=16a2-1．

　　解法2：(-4a-l)(-4a+l)

　　=(-4a)2-l

　　=16a2-1．

　　根據學生板演，教師指出兩種解法都很正確，解法1先用了提出負號的辦法，使兩乘式首項都變成正的，而后看出兩數的和與這兩數的差相乘的形式，應用平方差公式，寫出結果．解法2把-4a看成一個數，把1看成另一個數，直接寫出(-4a)2-l2后得出結果．采用解法2的同學比較注意平方差公式的特征，能看到問題的本質，運算簡捷．因此，我們在計算中，先要分析題目的數字特征，然后正確應用平方差公式，就能比較簡捷地得到答案．

　　課堂練習

　　1．口答下列各題：

　　(l)(-a+b)(a+b)；(2)(a-b)(b+a)；

　　(3)(-a-b)(-a+b)；(4)(a-b)(-a-b)．

　　2．計算下列各題：

　　(1)(4x-5y)(4x+5y)；(2)(-2x2+5)(-2x2-5)；

　　教師巡視學生練習情況，請不同解法的學生，或發生錯誤的學生板演，教師和學生一起分析解法．

　　三、小結

　　1．什么是平方差公式？

　　2．運用公式要注意什么？

　　(1)要符合公式特征才能運用平方差公式；

　　(2)有些式子表面不能應用公式，但實質能應用公式，要注意變形．

　　四、作業

　　1．運用平方差公式計算：

　　(l)(x+2y)(x-2y)；(2)(2a-3b)(3b+2a)；

　　(3)(-1+3x)(-1-3x)；(4)(-2b-5)(2b-5)；

　　(5)(2x 3 +15)(2x3-15)；(6)(0.3x-0.l)(0.3x+l)；

　　2．計算：

　　(1)(x+y)(x-y)+(2x+y)(2x+y)；

　　(2)(2a-b)(2a+b)-(2b-3a)(3a+2b)；

　　(3)x(x-3)-(x+7)(x-7)；

　　(4)(2x-5)(x-2)+(3x-4)(3x+4)．

初中數學平方差公式教案3

　　教學目標

　　1、使學生理解和掌握平方差公式，并會用公式進行計算；

　　2、注意培養學生分析、綜合和抽象、概括以及運算能力。

　　教學重點和難點

　　重點：平方差公式的應用。

　　難點：用公式的結構特征判斷題目能否使用公式。

　　教學過程設計

　　一、師生共同研究平方差公式

　　我們已經學過了多項式的乘法，兩個二項式相乘，在合并同類項前應該有幾項？合并同類項以后，積可能會是三項嗎？積可能是二項嗎？請舉出例子。

　　讓學生動腦、動筆進行探討，并發表自己的見解。教師根據學生的回答，引導學生進一步思考：

　　兩個二項式相乘，乘式具備什么特征時，積才會是二項式？為什么具備這些特點的兩個二項式相乘，積會是兩項呢？而它們的積又有什么特征？

　�。ó敵耸绞莾蓚€數之和以及這兩個數之差相乘時，積是二項式。這是因為具備這樣特點的兩個二項式相乘，積的四項中，會出現互為相反數的兩項，合并這兩項的'結果為零，于是就剩下兩項了。而它們的積等于乘式中這兩個數的平方差）

　　繼而指出，在多項式的乘法中，對于某些特殊形式的多項式相乘，我們把它寫成公式，并加以熟記，以便遇到類似形式的多項式相乘時就可以直接運用公式進行計算。以后經常遇到(a+b)(a-b)這種乘法，所以把(a+b)(a-b)=a2-b2作為公式，叫做乘法的平方差公式。

　　在此基礎上，讓學生用語言敘述公式。

　　二、運用舉例變式練習

　　例1計算(1+2x)(1-2x)。

　　解：(1+2x)(1-2x)

　　=12-(2x)2

　　=1-4x2.

　　教師引導學生分析題目條件是否符合平方差公式特征，并讓學生說出本題中a，b分別表示什么。

　　例2計算(b2+2a3)(2a3-b2)。

　　解：(b2+2a3)(2a3-b2)

　　=(2a3+b2)(2a3-b2)

　　=(2a3)2-(b2)2

　　=4a6-b4.

　　教師引導學生發現，只需將(b2+2a3)中的兩項交換位置，就可用平方差公式進行計算。

　　課堂練習

　　運用平方差公式計算：

　　(1)(x+a)(x-a)；

　　(2)(m+n)(m-n)；

　　(3)(a+3b)(a-3b)；

　　(4)(1-5y)(l+5y)。

　　例3計算(-4a-1)(-4a+1)。

　　讓學生在練習本上計算，教師巡視學生解題情況，讓采用不同解法的兩個學生進行板演。

　　解法1：(-4a-1)(-4a+1)

　　=[-(4a+l)][-(4a-l)]

　　=(4a+1)(4a-l)

　　=(4a)2-l2

　　=16a2-1.

　　解法2：(-4a-l)(-4a+l)

　　=(-4a)2-l

　　=16a2-1.

　　根據學生板演，教師指出兩種解法都很正確，解法1先用了提出負號的辦法，使兩乘式首項都變成正的，而后看出兩數的和與這兩數的差相乘的形式，應用平方差公式，寫出結果。解法2把-4a看成一個數，把1看成另一個數，直接寫出(-4a)2-l2后得出結果。采用解法2的同學比較注意平方差公式的特征，能看到問題的本質，運算簡捷。因此，我們在計算中，先要分析題目的數字特征，然后正確應用平方差公式，就能比較簡捷地得到答案。

　　課堂練習

　　1、口答下列各題：

　　(l)(-a+b)(a+b)；(2)(a-b)(b+a)；

　�。�3）(-a-b)(-a+b)；(4)(a-b)(-a-b)。

　　2、計算下列各題：

　�。�1）(4x-5y)(4x+5y)；(2)(-2x2+5)(-2x2-5)；

　　教師巡視學生練習情況，請不同解法的學生，或發生錯誤的學生板演，教師和學生一起分析解法。

　　三、小結

　　1、什么是平方差公式？

　　2、運用公式要注意什么？

　�。�1）要符合公式特征才能運用平方差公式；

　�。�2）有些式子表面不能應用公式，但實質能應用公式，要注意變形。