一元n 次方程根與系數的關系教案設計

【教學目的】通過教學讓學生明確一元n 次方程的根與系數的關系是一 元二次方程的根與系數關系的推廣，通過證明讓學生理解韋達定理的實質， 并會正確應用定理來解題。 【教學重點和難點】重點是根與系數的關系，難點是根與系數關系的 證明。 【教學過程】 一、復習提問 1.定理1 及定理2 的內容及作用。 定理1 一元n 次方程f（x）=0 有一個根x=b 的充要條件是多項式f（x） 有一個一次因式（x-b）。 定理2 復系數一元n 次方程f（x）=0 在復數集中有且僅有n 個根。 定理1 指出尋求方程根的方法，而定理2 只解決根的存在性及根的個數。 2.一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與系數之間有什么關系？如何 證明？ 設二根為x1 和x2，則根與系數間關系為： x + x = - b a x x = c a 1 2 1 2 · 稱韋達定理。` ì í 證明：若x1 和x2 是ax2+bx+c=0（a≠0）的兩個根，則根據定理1 得到 ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）。∵a≠0 ∴x + （ ） ，對比系數得到： b a x + c a = x - x x + x x + x x x + x = - b 2 a 2 1 2 1 2 1 2 x x = c a n 1 2 · ，同理對一元次方程的根與系數之間仍存在這個關系。 二、引入新課 三、小結 韋達定理中諸關系式是n 個n 元方程，仍無法解出各根，故與解一元n 次方程是等價問題，只有給出了各根之間滿足的某些條件時，應用根與系數 的關系，才能求出方程的解集，在應用時注意符號的規律。這個定理的逆命 題也成立，即對于任何一元n 次方程f（x）=anxn+an-1xn-1+?+a1x+a0=0 如果 有n 個數x1，x2，?，xn 滿足諸關系式，那么x1，x2，?，xn 一定是方程f （x）=0 的根。 四、作業

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