拉格朗日中值定理的一些應用
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拉格朗日中值定理的一些應用
柳州師范高等專科學校數學與計算機科學系
莫明忠
［摘要］微分中值定理是微分學的基礎定理,而拉格朗日中值定理則是微分中值定理的核心,有著廣泛的應用。本文對拉格朗日中值定理應用方面作一些探討和歸納。［關鍵詞］拉格朗日中值定理極限不等式收斂
拉格朗日中值定理在微積分學中是一個重要的理論基礎。它作為
中值定理的核心，有著廣泛的應用，在很多題型中都起到了化繁為簡的作用。下面通過舉例說明拉格朗日中值定理在七個方面的應用。
１．求極限
由拉格朗日中值定理指出，如果f在[a,b]連續，在(a,b)可導，則有f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a),a<ξ
因此對坌x(a,b)，有f(x)-f(a)=f'(ξ)(x-a),a<ξ
例1求limn2(姨n
n+1
n→∞
-姨)(x>0)
解：令f(t)=x'，則對任何自然數n，f(t)在
1,1
n+1n姨
上適合中值定理的條件，而且此時f'(t)=xt
lnx是t上的嚴格單調函數，因此在11
,姨上利用拉氏中值公式，有
n2(n姨-n+1姨)=n2姨f1δ-f1δ姨=n2f'(ξ)1-1
=n2xξlnx,
1<ξ<1，當n→+∞時，ξ→0。故原極限=limn2
n→+∞xξlnx=lnx。
２．證明不等式
證明不等式的方法很多，但對于某些不等式，用初等解法不一定解得出來，比如描述函數的增量與自變量增量關系的不等式或者中間一項可以表示成函數增量形式等題型。這時，如果考慮用拉格朗日中值定理，會比較簡單。
1111例2試證不等式k
1，n為自然數。1證明：令f(x)=k(k>1)，對f(x)在[n,n+1]上應用拉氏中值定理，則在(n,111n+1)內存在ξ，使f(n+1)-f(n)=f'(ξ)，即k-k=-k
lnk。因為k>1，1111
lnk>0，所以有k-k
lnk
0上是單調遞減1111111kk-k
的，又因n<ξ<<k，所以
由拉格朗日中值定理知，函數在定義域內取兩點x1，x（2不妨設x1
有f(x2)-f(x1)=f'(ξ)(x2-x1)，
那么若f'(x)恒為0，則有f'(ξ)=0，所以f(x2)=f(x1)，由x1，x2的任意性可知，f(x)在定義域內函數值恒等。即有下面一個推論：
推論：如果函數f(x)在開區間I內的導數恒為零，那么f(x)在I內是一個常數，利用這個推論可以證明一類反三角恒等式的題目。
例3證明arctgx-1arccos2x=π(x≥1)恒等。
證明：令φ(x)=arctgx-12arccos2x1+x2(x≥1)，在(x≥1)時arccos2x1+x
2有意義，且φ'(x)=112(1+x2
)-2x·2x+1姨
δ
=1+11-2x1+x22
2(1-x)=0∴在x>1時，φ(x)=c（常數）。又取(1,+∞)內任一點，如姨，有φ(姨)=π-1π=π，且φ(1)=π-0=π，所以端點值也成立，由推論有arctgx-12arccos2x1+x2=π4
(x≥1)恒等。４．證明等式
用拉格朗日中值定理證明等式也是它的應用中很重要的一項。證明
的目標在于湊出形式類似于拉格朗日中值定理的式子，尋找機會應用。
例4設f(x)在[a,b]上連續，在(a,b)內可導，且f(a)=f(b)=1，試證堝ξ,η∈
(a,b)，使得eη-ξ
[f(η)+f'(η)]=1。
證明：令F(x)=exf(x)，則F(x)在[a,b]上滿足拉格朗日中值定理條件，故存
在η∈(a,b)，使得ebf(b)-eaf(a)=eη[f(η)+f'(η)]，由條件f(a)=f(b)=1，可得eb-e
a
=eη[f(η)+f'(η)]，再令φ(x)=ex，則φ(x)在[a,b]上滿足拉格朗日中值定理條件，
故存在ξ∈(a,b)，使得eb-ea
=eξ，綜合上述兩式可得eξ=eη[f(η)+f'(η)]，即
eη-ξ[f(η)+f'(η)]=1。
５．研究函數在區間上的性質
因為拉氏中值定理溝通了函數與其導數的聯系，很多時候。我們可以借助其導數，研究導數的性質從而了解函數在整個定義域區間上的整
體認識。比如研究函數在區間上的符號、
單調性、一致連續性，凸性等等，都可能用到拉氏中值定理的結論。通過對函數局部性質的研究把握整體性質，這是數學研究中一種重要的方法。
例5證明:若函數f(x)于有窮或無窮的區間(a,b)內有有界的導函數f'(x),則f(http://http://salifelink.com/news/55953BF76A97CA5B.htmlx)于(a,b)中一致連續。
證明：設當x∈(a,b)f'(x)≤M，對于坌x1,x2∈(a,b)，在以x1,x2為端點的區間上由拉氏中值定理，有f(x2)-f(x1)=f'(ξ)，ξ在x1,x2之間。那么有f'(x)
21
≤M，對于坌ε>0，取δ=ε，則當x1,x2∈(a,b)，且x1-x2<δ，就有f(x1)-f(x2)
=x1-x2f'(ξ)≤M(x1-x2)<ε（ξ在x1,x2之間）由一致連續定義可知，f(x)在(a,b)內一致連續。
６．估值問題
證明估值問題，一般情況下選用泰勒公式證明比較簡便。特別是二
階及二階以上的導函數估值時。
但對于某些積分估值，可以采用拉氏中值定理來證明。
a
例6設f"(x)在[a,b]上連續，且f(a)=f(b)=0，試證：乙
bf"(x)dx≥4
am≤xax≤b
f(x)
證明：若f(x)≡0，不等式顯然成立，若f(x)不恒等于0，堝c∈(a,b)，使am≤axx≤bf(x)=f(c)，在[a,c]及[c,b]上分別用拉氏中值定理，有f'(ξ1)=f(c)，f'(ξ2)=f(c)aξ，從而乙bf"(x)dx≥乙
1ξf"(x)dx≥ξ
2乙
1ξf"(x)dx=f'(ξ2)-f'(ξ1)=2
f(c)(b-a)1再利用(c-a)(b-c)≤(b-a)2，即得所證。
７．證明級數收斂
∞∞
例7若一正項級數Σan(an>0)發散，sn=aa1+a2+…+an，證明級數nn=1
Σ
n=1
sn
(δ>0)收斂。
證明：作輔助函數f(x)=1δ，則f'(x)=-，當n≥2時，在[sn-1,sn]上用拉
氏中值定理，得f(sn)-f(sn-1)nn1=f'(ξn)(sn-1<ξn
n-1s，nδ
∞
由Σ1
n=21s-1s收斂，即得所證。n-1n
δ
nn
參考文獻［1］周煥芹.淺談中值定理在解題中的應用［J］.高等數學研究，1999,2(3).
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