第八講 投影變換1.知識要點
（6）求一般位置直線的實長及其對投影面的夾角（7）求一般位置平面對投影面的夾角（8）求投影面垂直面的實形（9）綜合舉例2.教學設計求一般位置直線的實長及其對投影面的夾角有三種方法：直角三角形法、換面法、旋轉法，我們只介紹前兩種方法，而且把直角三角形法看成是換面法的特例；求一般位置平面的實形需要兩次換面，我們分成兩步講解：求一般位置平面對投影面的夾角、求投影面垂直面的實形，
。3.課前準備準備教具和演示文稿。4.教學內容（1）求一般位置直線的實長及其對投影面的夾角1)直角三角形法直角三角形法的原理如圖3-26所示，在直角三角形ABC中，AD=ab，BD=ΔZ（B和A點的Z坐標差），AB為空間直線AB的實長，∠BAD為直線AB和H面的夾角α，從投影圖可知ab和B、A點的Z坐標差ΔZ，所以可畫出直角ΔabE,使ΔabE≌ΔABD，則aE為空間直線AB的實長，∠baE為直線AB和H面的夾角α。若求AB和V面的夾角β，可用a’b’和B、A點的Y坐標差ΔY為直角邊作直角ΔabF，則∠Fa’b’為直線AB和V面的夾角β。2)投影變換法一般位置直線可經過一次換面將其換成新投影面的平行線，在新投影面上的投影將反映空間直線對保留下來的舊投影面的夾角。例如若要求空間直線對H面的夾角α和實長AB，可在由V、H面組成的投影體系中添加新投影面V1，使V1和H面垂直，和直線AB平行，則在由V1、H面組成的新投影體系中AB為正平線，且線段AB端點的Z坐標不變，所以可由原投影求出直線在V1面上的投影。投影變換的原理如圖3-27所示。圖3-26直角三角形法（制作動畫）圖3-27換面法的原理（1）（制作動畫）若要求直線對V面的夾角β，可在由V、H面組成的投影體系中添加新投影面H1，使H1和V面垂直，和直線AB平行，則在由H1、V面組成的新投影體系中AB為水平線，且線段AB端點的Y坐標不變，所以可由原投影求出直線在H1面上的投影。投影變換的原理如圖3-27所示。圖3-27換面法的原理（2）（制作動畫）（2）求一般位置平面對投影面的夾角一般位置平面經過一次換面可以變換為投影面的垂直面，所以可經過一次換面求出其和投影面所成的角。若要求平面和H面所成的角α可換掉V面保留H面，將平面變換為新投影體系的正垂面，如圖3-28所示。為了將一般位置直線變換為投影面垂直面，要先在平面內作一條水平線，X1軸和水平線的水平投影垂直，這樣就可將這條水平線積聚為一個點，從而將平面積聚為一條直線。同理，若要求β角，則換掉H面保留V面，需在平面內作一條正平線，將正平線積聚成一個點。（3）求投影面垂直面的實形投影面垂直面經一次換面可將其換成投影面平行，從而求出其實形，換面原理如圖3-29所示。一般位置直線可經過兩次換面求出其實形，第一步先將一般位置直線換成投影面垂直線，第二次換面求出實形，。圖3-28求一般位置直線對投影面的夾角（制作動畫）圖3-29求投影面垂直面的實形（4）綜合舉例[例1]已知物體的主視圖和俯視圖，分析物體上的平面對投影面的位置關系，想象物體的形狀，補畫出左視圖。（圖3-30）【分析】首先想象其基礎形體，基礎形體為長方體，由主視圖上兩條斜線知，在長方體上用兩個正垂面切去左右兩個角，由左視圖上的斜線知，在長方體上用一個側垂面切去上前方的一個角，最后切去一個矩形豎槽，豎槽和側垂面產生了交線。如圖3-31所示。補畫俯視圖時，要先畫長方體的投影，左右的切角，再畫上前方的切角，后畫矩形豎槽。圖3-30已知條件圖3-31補畫俯視圖［例2］求平面ΔABC和矩形P的交線，判斷可見性，補畫俯視圖。如圖3-32(a)所示。第八講 投影變換1.知識要點（6）求一般位置直線的實長及其對投影面的夾角（7）求一般位置平面對投影面的夾角（8）求投影面垂直面的實形（9）綜合舉例2.教學設計求一般位置直線的實長及其對投影面的夾角有三種方法：直角三角形法、換面法、旋轉法，我們只介紹前兩種方法，而且把直角三角形法看成是換面法的特例；求一般位置平面的實形需要兩次換面，我們分成兩步講解：求一般位置平面對投影面的夾角、求投影面垂直面的實形。3.課前準備準備教具和演示文稿。4.教學內容（1）求一般位置直線的實長及其對投影面的夾角1)直角三角形法直角三角形法的原理如圖3-26所示，在直角三角形ABC中，AD=ab，BD=ΔZ（B和A點的Z坐標差），AB為空間直線AB的實長，∠BAD為直線AB和H面的夾角α，從投影圖可知ab和B、A點的Z坐標差ΔZ，所以可畫出直角ΔabE,使ΔabE≌ΔABD，則aE為空間直線AB的實長，∠baE為直線AB和H面的夾角α。若求AB和V面的夾角β，可用a’b’和B、A點的Y坐標差ΔY為直角邊作直角ΔabF，則∠Fa’b’為直線AB和V面的夾角β。2)投影變換法一般位置直線可經過一次換面將其換成新投影面的平行線，在新投影面上的投影將反映空間直線對保留下來的舊投影面的夾角。例如若要求空間直線對H面的夾角α和實長AB，可在由V、H面組成的投影體系中添加新投影面V1，使V1和H面垂直，和直線AB平行，則在由V1、H面組成的新投影體系中AB為正平線，且線段AB端點的Z坐標不變，所以可由原投影求出直線在V1面上的投影。投影變換的原理如圖3-27所示。圖3-26直角三角形法（制作動畫）圖3-27換面法的原理（1）（制作動畫）若要求直線對V面的夾角β，可在由V、H面組成的投影體系中添加新投影面H1，使H1和V面垂直，和直線AB平行，則在由H1、V面組成的新投影體系中AB為水平線，且線段AB端點的Y坐標不變，所以可由原投影求出直線在H1面上的投影，
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機械制圖圖紙的一般知識_第八講、投影變換》(
http://salifelink.com)。投影變換的原理如圖3-27所示。圖3-27換面法的原理（2）（制作動畫）（2）求一般位置平面對投影面的夾角一般位置平面經過一次換面可以變換為投影面的垂直面，所以可經過一次換面求出其和投影面所成的角。若要求平面和H面所成的角α可換掉V面保留H面，將平面變換為新投影體系的正垂面，如圖3-28所示。為了將一般位置直線變換為投影面垂直面，要先在平面內作一條水平線，X1軸和水平線的水平投影垂直，這樣就可將這條水平線積聚為一個點，從而將平面積聚為一條直線。同理，若要求β角，則換掉H面保留V面，需在平面內作一條正平線，將正平線積聚成一個點。（3）求投影面垂直面的實形投影面垂直面經一次換面可將其換成投影面平行，從而求出其實形，換面原理如圖3-29所示。一般位置直線可經過兩次換面求出其實形，第一步先將一般位置直線換成投影面垂直線，第二次換面求出實形，。圖3-28求一般位置直線對投影面的夾角（制作動畫）圖3-29求投影面垂直面的實形（4）綜合舉例[例1]已知物體的主視圖和俯視圖，分析物體上的平面對投影面的位置關系，想象物體的形狀，補畫出左視圖。（圖3-30）【分析】首先想象其基礎形體，基礎形體為長方體，由主視圖上兩條斜線知，在長方體上用兩個正垂面切去左右兩個角，由左視圖上的斜線知，在長方體上用一個側垂面切去上前方的一個角，最后切去一個矩形豎槽，豎槽和側垂面產生了交線。如圖3-31所示。補畫俯視圖時，要先畫長方體的投影，左右的切角，再畫上前方的切角，后畫矩形豎槽。圖3-30已知條件圖3-31補畫俯視圖［例2］求平面ΔABC和矩形P的交線，判斷可見性，補畫俯視圖。如圖3-32(a)所示。【分析】由V面投影可知，P平面是正垂面，ΔABC是一般位置平面。兩平面的交線是一般位置直線，直線AC和P平面相交，交點K的V面投影為AC和P平面的V面投影的交點k’，水平投影在AC的水平投影上，所以，直線AC和P平面的交點可直接求出；線段BC和線段AB不與平面P相交，而矩形的左邊和ΔABC相交，設交點為L，因左邊為正垂線，所以不能直接求出交點的投影，我們注意到交點L的V面投影和矩形左邊的V面投影重合，所以可利用平面上的點的已知一個投影求另一個投影的基本作圖求出其水平投影l，作圖方法見圖3-32（b）所示。俯視圖的可見性要從主視圖上看才能知道兩者的遮擋關系，首先交線的水平投影是可見的，且交線和可見和不可見的分界線，所以只要判斷一條交線和另一個平面的遮擋關系即可，如直線AC和P平面的焦點K將AC分為AK和KC兩段，AK的水平投影可見，KC的水平投影部分被P遮擋，其余類推。圖3-32平面和平面互交（制作動畫）[例3]已知平面ABC、平面P和點K的兩面投影，過點K作直線KL，使KL平行于平面ABC和平面P。如圖3-33（a）所示.【分析】平面P為鉛垂面，平面ABC是一般位置平面，所以兩平面的交線EF為一般位置直線。若要過K點作一條直線，既平行于平面ABC，又平行于平面P，則該直線必平行于兩平面的交線，所以先求出平面ABC和平面P的交線EF的兩投影，再過K點作EF的平行線KL，則KL即為所求。如圖3-33(b)所示。[例4]完成四棱錐被兩平面切割后的俯視圖和左視圖。如圖3-34（a）所示。【分析】由圖可知，四棱錐的底面是水平面，四個側面是一般位置平面。兩個截平面中一個是水平面，一個是正垂面。水平面和四個側面均相交，且交線平行與四棱錐底面的棱線，截斷面為五邊形，水平截平面的水平投影反映實形，側面投影為一條直線段，所以只要求出右側棱和水平截平面交點的水平投影，然后作底面側棱的平行線，即可求出水平截斷面的水平投影，根據寬相等即可求出其側面投影；正垂截平面只和兩個側面相交，截斷面為三角形，兩個截平面的交線為正垂線，根據長對正先求出截斷面的水平投影，然后根據寬相等求出其側面投影。最后整理三棱錐的輪廓線，在左視圖上，右側棱的投影有一段和左側棱重合，有一段被正垂截斷面遮擋，所以畫成虛線，這一點應特別注意。如圖3-34（b）所是。繪制立體的三視圖時，一定要先畫出基礎立體的三視圖，然后再研究交線，最后整理輪廓線，最忌諱的是看到一條線就畫一條線，不作形體分析，只畫能看到的線，不畫看不到的線。圖3-33直線與平面平行5．本講作業習題集圖3-34平面與平面相交[例5]求圖3-35所示立體“凸”字形斷面的實形。圖3-35正垂面的實形【分析】“凸”字形斷面是正垂面，斷面形狀可理解為矩形切去兩個小矩形。矩形的高度（39）在主視圖上反映其大小，矩形的寬度（40）在俯視圖上反映其大小，所以可畫出矩形的實際大小。同理，可畫出小矩形的實際大小。[例6]求三棱錐的錐頂S到底面ABC高線的投影，如圖3-36（a）所示。分析:三棱錐S-ABC的四個面均為一般位置平面，錐頂S到底面ABC的高SD是一般位置直線，若將底面ABC經過投影變換成新投影面的垂直面，則高SD在新投影面上的投影和底面ABC的投影垂直，且SD平行于新投影面，所以，可求出SD在新投影體系中的投影。作圖步驟如下：（1）在底面ABC內作一條水平線，添加新投影軸，將底面ABC變換為V1面的垂直面；（2）求出S在V1面內的投影s1’，過s1’作直線a1’b1’c1’的垂線s1’d1’,則s1’d1’為高線SD的V1面投影；（3）過s作X1軸的平行線，過d’作X1軸的垂線，兩線的交點d為D點的H面投影；（4）利用d1’到X1軸的距離等于D點的Z坐標，可求出D點的V面投影d’。見圖3-36（b）所示。請讀者想一想，上述作圖方法求出的D點是不是垂足？為什么？[例7]求圖3-37所示變形接頭左側面和前面所成二面角的大小。【分析】設接頭左側面和前面的交線為AB，在左側面上取一點D，在前面上取一點C，則平面ABC和平面ABD所成的二面角即為接頭左側面和前面所成二面角。為了求出這個圖3-36投影變換法求三棱錐的高二面角的實際大小，需要將交線AB變換為投影面的垂直線，而AB為一般位置直線，所以需要經過兩次換面法才能將AB變換為投影面的垂直線。作圖過程見圖3-37。圖3-37求二面角的實際大小