算理與算法并重，促進學生計算能力的培養

摘要：算理就是計算過程中的道理，是指計算過程中思維方式，是解決為什么這樣算的問題。算法就是計算的方法，主要是指計算的法則，是指怎樣算的問題。本文旨在"算理與算法并重，促進學生計算能力的培養"方面談談自己的一些淺見。

關鍵字：算理算法計算能力

一、算理與算法之間的關系。

算理是計算的理論依據，是計算過程中的道理，是指計算過程中思維方式，是解決為什么這樣算的問題，而算法則是依據算理提煉出來的計算規律和方法，主要是指計算的法則，就是簡約了復雜的思維過程、添加了人為規定后的程式化的操作步驟，主要是解決算的方便、準確，它是算理的具體體現。算理和算法是相輔相成的，算理是學生走向算法的橋梁，是學生學習算法的知識基礎，而算法是學生學習的中心任務。只強調算理，能理解了新問題，但無法實現計算方法上質的飛躍；只是強調算法，學生知其然，而不知其所以然，不利于學生進一步的學習和能力的培養。"感悟算理和掌握算法是計算教學的兩大任務，算法是解決問題的操作程序，算理是算法賴以成立的數學原理。"在教學中，要引導學生聯系自己身邊具體、有趣的事物，通過觀察、操作、解決問題等豐富的活動，感受算理，學會算法。如在教學西師版小學數學二年級(下)三位數的加法例1：計算220+260時，就是根據數的組成進行演算的：220是由2個百、2個十組成的，260是由2個百和6個十組成的，所以先把2個十與6個十相加得8個十，再把2個百與2個百相加得4個百，最后把4個百、8個十合并得480，這就是算理；當學生進行了一定量的練習以后，發現了計算的規律：個位數只能與個位數直接相加、十位數只能與十位數直接相加、百位數只能與百位數直接相加，也就是相同數位上的數才能直接相加，最后再把幾個得數合并，這是學生感悟算理的過程；最后進行優化計算過程，為了便于計算一般寫成豎式形式，在此基礎上引導學生抽象概括出普遍適用的計算法則：把相同數位對齊列出豎式，再從個位加起，滿十向前一位進一，這就是算法。

二、算理與算法并重、融會貫通。

1、引導研究，理解算理

學生只有理解了計算的道理，才能"創造"出計算的方法，才能理解和掌握計算方法，正確地計算，所以計算教學必須從算理開始。教學時要著重幫助學生應用已有的知識領悟計算的道理。例如教學西師版小學數學三年級(上)兩位書乘一位數的筆算12×4時，首先引導學生思考：你打算怎么計算12×4呢?使學生明白12是由1個十和2個一組成的，可以把12×4轉化成已經學過的乘法計算：先算4個10是多少，再算4個2是多少，最后把兩次算的得數合并起來，寫成的算式是：10×4=40，2×4=8，40+8=48。實際上這是口算的方法，口算的過程體現了兩位數乘一位數的算理。當學生理解和掌握了算理之后，應引導學生對計算過程進行反思，啟發學生再思考：計算14×2要寫出三個算式，你的感覺怎樣?可以簡化一下嗎?怎么簡化?學生通過獨立思考、同伴交流"創造"方便、快捷的計算方法：先算4×2=8，在個位上寫上8，再算10×2=20，在十位上寫2、個位上寫0，最后再把8和20加起來等于28，得出算理豎式。接著再啟發學生思考：還能再簡化嗎?通過師生共同研究，最終得出：加號可以省略，還可以把8個一與2個十直接合并，優化成簡化豎式。

2、加強直觀演示，重視操作，讓學生在操作中理解算理。

算理是在直觀的基礎上形成表象，概念，并進行分析、綜合、判斷、推理等認識活動的過程中不斷發展起來的，在操作時要讓學生看懂，并把操作和語言表述緊密結合起來，才能讓學生在操作中理解算理。我在教學西師版數學五(下)異分母分數分數加減法時，學生在學習新知時遇到的挑戰。如何讓學生理解異分母分數加、減法的算理?我注重讓學生在數與形的結合中直觀地理解算理。在新知教學時，首先讓學生自主嘗試，或動手折紙、畫圖，或抽象演算，接著組織反饋交流，讓學生初步明確算理，即都是把異分母的分數轉化成同分母的分數，實質上就是統一了計數單位，使相同單位上的數相加，然后在練習中通過給圖形涂色、七巧板問題、特殊分數加法圖示等環節，讓學生深人理解異分母分數加、減法的算理。為幫助學生理解異分母分數加、減法的算理，依據小學生以形象思維為主的規律，呈現對應的圖形，以圖形來表達分數，以圖形來進行運算，以圖形來解釋算理(如下圖)，從而使學生在直觀形象中理解算理，發展思維。

3、講清楚最基本的算理

"根據算理，掌握法則，再以法則指導計算"。學生掌握計算法則關鍵在于理解。既要學生懂得怎樣算，更要學生懂為什么要這樣算。如教學"兩位數乘兩位數的筆算"12×14時，要使學生理解兩點：首先，通過學生對題意的理解，12×14就是求14個12連加的和是多少，可以先求出4盒的支數是多少，即4個12是多少，再求10盒的支數是多少，即10個12是多少，然后把兩個積加起來，從而讓學生知道，計算乘數是兩位數的乘法要分兩步乘，第三步是相加，這樣使學生看得見，摸得著，通過例題教學，使計算的每一步都成為有意義的操作，讓學生在操作中理解算理，掌握算法；其次，計算過程中還要強調數的位置對齊原則，"用乘數個位上的數去乘"，就是求4個12得48個一，所以8要和乘數4對齊寫在個位上。"用乘數十位上的數去乘，就是求10個12個得12個10，所以2要寫在十位上"，(如下圖)從而幫助學生理解數位對齊的道理。這樣，通過反復訓練，就能使學生在理解的基礎上掌握法則。

4、教會他們理清思路

現在的西師版教材增加了學生"說一說"的訓練，老師可以讓學生經常說說自己的思路。如：教學兩位數乘整十數的48×10口算時，可引導學生這樣說：10個十是100，48個十是480，或者1個48是48，10個48是480，讓學生在基本理解算理的基礎上算一算96×10=、54×10=、85×10=，再讓學生說一說自己的算法，然后讓學生討論：計算后，你發現了什么?讓學生掌握算理，學會算法，形成技能。可見，計算教學要在領悟算理基礎上掌握算法，最后形成計算技能。

5、重視溫故知新，引導已有計算能力的正遷移，為算理的理解作準備。

心理學家奧蘇伯爾曾說過，影響學生學習的唯一最重要的因素是學生已經知道了什么。學生是學習的主體，是學習知識的內因，教學中教師要根據學生不同的基礎，加強新舊知識的聯系，引導學生運用舊知識經驗去解決新問題，從而創造條件實現知識正遷移。在新舊知識之間，探求共同因素，辨析相異因素，努力探求新知與舊知間的共同因素，才能促進知識正遷移。例如教學異分母的分數加減法時，影響學生學習異分母分數加、減法的已有知識有很多，其中最重要的是兩點：一是相同計數單位相加減的原理，二是通分的概念。為幫助學生順利完成知識的遷移，通過復習分數的意義，計算+=?再現同分母分數加法，激活學生相關認知經驗，為進一步探索異分母分數加減法做好準備。

6、重"算法"，更應重"算理

教師在計算教學時常常容易忽略學生對于算理的有效理解與表達,而認為學生只要是掌握好了算法,能夠正確的計算有關題目就達到教學目標了,其實學生能很好掌握最優化的算法往往是有較清晰的算理的支持,一些計算能力強的學生,算理比一般同學更加清晰化,不但知道如何進行計算,還知道這樣計算的理由是什么?所謂追根朔源。下面是我在教學一年級(下)〈〈兩位數減一位數或整十數〉〉的教學片斷

師：從大屏幕出示的情境圖中我們得到了算式64-33，誰能說說64-33等于多少?

生：64-33=31

師：算得對。那么同學們能利用擺小棒的方法，來擺一擺計算過程嗎?擺好后跟同桌交流一下你是怎么擺的?

生擺一擺后，請學生上臺邊擺邊說你是怎么擺的?

師：剛才我們是通過擺小棒的方法擺出了計算過程?現在誰能結合算式用先算什么，再算什么來說一說你是怎么算的?

生：先算60-30=30，再算4-3=1，最后算30+1=31。

生：先算4-3=1，再算60-30=30，最后算30+1=31

片斷中我利用一年級學生思維的直觀性，先讓學生利用小捧來擺一擺，借助實物更直觀的把64-33的算理擺了出來，再引導學生脫離算式利用先算什么，再算什么來說出計算的過程，學生在教師有效引導下能較快的理清算理，掌握口算方法。

7、呈現多樣化算法選擇最優化

現代教育心理學研究指出，學生的學習過程不僅是一個接受知識的過程，而且也是一個發現、分析、解決問題的過程。這個過程一方面是暴露學生產生各種疑問、困難、障礙和矛盾的過程，另一方面，是展示學生發展聰明才智、形成獨特個性與創新成果的過程。正因為如此，新課程強調過程，強調學生探索新知的經歷和獲得新知的體驗。"當然，強調探索過程，意味著學生要面臨問題和困惑、挫折和失敗，這同時也意味著學生可能花了很多時間和精力，但是，這卻是一個人的學習、生存、生長、發展、創造所必須的過程，也是一個人的能力、智慧發展的內在要求，它是一種不可量化的'長效'，一種難以言說的豐厚回報，眼前耗費的時間和精力應該說是值得付出的代價。"正如俗話所說的"失敗是成功之母"，經過千萬次的失敗，愛迪生發明了燈泡；居里夫人發現了鐳的存在。"算法多樣化"是新課標改革的一個亮點，提倡并鼓勵算法多樣化，有利于"不同的學生得到不同的發展"，但算法并不是越多越好。教學時我們面對學生各種各樣的算法時，要注意分析這些算法的特點、局限性，適時引導學生的思維，對算法進行優化。例如教學完乘法的運算定律后進行簡便計算時，要求對"25×48="怎樣簡便就怎樣計算，出現了25×48=25×4×12=100×12=1200，25×48=(25×4)×(48÷4)=100×12=1200，25×48=25×40+25×8=1000+200=1200等多種算法。"你們真聰明，想出這么多方法，現在請以小組為單位來計算24×25，然后互相說一說自己是怎么算的，再討論、比較一下哪種方法較便捷、合理。"于是他們開始了積極的小組討論,交流："我是這樣算的"，"哦，原來你可以這樣算"，"我這樣算也可以，只不過比你慢一點"。后來在全班交流時，他們各抒己見：有人說第一種容易理解，有人說第二種比較方便，有人說第三種方法更加實在，有人說用豎式簡便…"你們都說的很有道理，這計算方法的多樣，就如同我們在生活中處理事件，有很多方法和渠道。可我們總是要尋找最簡單，最合理的方法來處理，希望你們能在眾多計算方法中通過嘗試、比較，找到最適合自己的。"這算法多樣化的學習方式，在學生相互的交流與探討中逐漸確立自己的計算方法，并在眾多的計算方法中，給他們一個充分自主的空間，讓他們選擇一種適合自己的計算方法，并適時滲透一些數學思想。學生在發表自己的見解時，與他人比較、共享他人的學習成果，進行自我反思，直至產生共鳴，達到對算理的深刻理解，形成了優化算法的技能。

計算教學的目的不僅是讓學生獲取有關計算知識，更重要的是發揮學生的學習主動性，發展學生的數學思考力，培養學生對數學的情感，促進學生的可持續發展，因此要算理與算法并重，促進學生計算能力的培養。

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