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基于“過程”哲學觀的“旋轉變換”教學創新
一、引言“過程”哲學觀是對數學課程內容的一種看法:數學課程內容不僅包括數學的結果,也包括數學結果的形成、發展與應用的過程和蘊涵的數學思想方法.即概念的形成過程、原理的發現與推導過程、概念或原理與外部的聯系及與內部的聯系的探索過程、概念或原理的特殊化及一般化的探索過程、發現和提出問題及分析和解決問題的過程、問題解決后的反思過程等,是數學課程內容的有機組成部分.特別是數學思維和思想的展開過程是數學課程的重要內容.辯證地把握“過程”與“結果”的關系,有利于學生理解和掌握數學的知識與技能、體會和運用數學的思想與方法、積累數學活動的經驗以及增強發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力和形成良好的個性.基于“過程”哲學觀的數學教學怎樣操作?筆者以浙教版《義務教育課程標準實驗教科書·數學》七年級下冊“2.4旋轉變換”為載體,采用研究性變革實踐的方式進行了探索.初步的理論求證與實踐驗證表明,探索中形成的教學操作方法,能辯證地把握“過程”與“結果”的關系,對促進學生和諧發展有積極的作用.本文簡錄其教學過程,并提供教后反思,供讀者參考、研究.
二、教學過程簡錄
第一階段:旨在“資源生成”的“有向開放”——預習基礎上的交互反饋
第1步:課前預習——自主探索
課前,教師設計如下的“先行組織者”,要求學生課前預習(允許合作研討).
(1)先指出下列圖形的運動特點(從△ABC到△A′B′C′),再按運動特點將其分類.
(2)生活中有類似于圖3、圖5的運動現象嗎?如果有的話,請你舉出盡可能多的生活實例!
(3)通過經歷上述觀察、分類、舉例的過程,對圖3、圖5的這類運動現象有何感觸?
第2步:匯報交流——交互反饋
上課一開始,教師出示課前布置的問題,并要求學生匯報預習成果.同時教師傾聽學生的匯報、交流,必要時,教師進行追問、激勵、評析.在此基礎上教師進行總結:
(1)圖1與圖4,圖形的運動特點是翻折(運動前后的兩個圖形關于某條直線成軸對稱);圖2與圖6,圖形的運動特點是定向移動(運動前后的兩個圖形的對應點連線平行);圖3與圖5,圖形的運動特點是繞定點旋轉(運動前后的兩個圖形的對應點旋轉相同的角度).
(2)圖形的旋轉運動具有豐富的現實情景,如“電風扇葉片的轉動”、“鐘表分針的轉動”、“螺旋槳葉片的轉動”、“鐘擺的轉動”等.
(3)生活中旋轉現象具有廣泛的存在性;圖形旋轉是物體旋轉運動的數學抽象?圖形旋轉能使局部的圖形變成整體的圖形,能使分散的圖形集中起來,能使分散的條件相互溝通.
第二階段:旨在“發展思維”的“互動生成”——研討基礎上的綜合概括
第3步:引導探究——合作研討
正因為這樣的圖形改變(旋轉)有豐富的現實情景和廣泛的應用價值,就決定了從數學角度研究這樣的圖形改變的必要性.這節課的研究對象就是這樣的圖形改變(旋轉).(揭示課題)
接著,教師依次提出以下3個挑戰性的問題,要求學生合作研討并發表自己的觀點.
問題1 如圖3、圖5,這樣的圖形改變(旋轉)的本質特征是什么?你是怎樣發現的?如果回答這個問題有困難,請先思考:①圖形是由點組成的,圖形運動能否看成是圖形上點的運動?②考察圖形上點運動特征的策略是什么?
學生獨立學習(允許合作研討),教師巡視指導,約2分鐘后進行交流、評析.
問題2 怎樣確定圖形改變后的新圖形?如圖7,O是△ABC外的一點.怎樣作△ABC繞定點O按逆時針方向旋轉60°后的圖形?
學生獨立學習(允許合作研討),教師巡視指導,約2分鐘后進行交流、示范.
問題3 ①分別指出圖3、圖5和圖8改變前后兩個圖形的對應點、對應邊、對應角?②問:改變前后兩個圖形有哪些不變關系(位置關系或數量關系)?(提示:可從整體(著眼于圖形)和局部(著眼于邊、角、點)多個視角進行觀察)
學生獨立學習(允許合作研討),教師巡視指導,約3分鐘后進行交流、評析.
第4步:建構理論——綜合概括
在此基礎上,教師引導學生概括得出旋轉變換的概念、確定旋轉變換后像的方法、旋轉變換的性質、旋轉變換蘊涵的思維方法和思想方法及“三種幾何變換”的異同.
(1)旋轉變換的概念:由一個圖形改變為另一個圖形,在改變的過程中,原圖形上的所有點都繞一個固定的點,按同一個方向(按順時針,或逆時針),轉動(作圓周運動)同一個角度,這樣的圖形改變叫做圖形的旋轉變換,簡稱旋轉.這個固定點叫做旋轉中心,旋轉的角度叫做旋轉角,經變換所得的新圖形叫做原圖形的像.
(2)確定旋轉變換后像的方法:①操作法——圖形整體旋轉(依據是旋轉的含義).這種方法的優點是直觀,缺點是操作不方便;②作圖法——圖形旋轉化歸為點旋轉(依據是旋轉的特征),這種方法的優點是操作方便(更有“數學味”),缺點是抽象.兩種思想方法都有應用價值,不可偏廢.
(3)旋轉變換的性質:旋轉變換不改變圖形的形狀和大小——旋轉前后的兩個圖形的對應邊相等、對應角相等;對應點到旋轉中心的距離相等;對應點與旋轉中心連線所成的角度等于旋轉的角度.旋轉變換前后的兩個圖形的不變關系是進一步認識幾何的理論基礎.
(4)旋轉變換蘊涵的思維方法:一般到特殊(圖形運動→點運動→特殊點運動)和特殊到一般(特殊點運動→點運動→圖形運動);旋轉變換蘊涵的思想方法:通過圖形旋轉運動將局部的圖形變成整體的圖形,將分散的圖形集中起來,將分散的條件相互溝通.這些思維方法和思想方法具有廣泛的應用價值.
(5)“三種幾何變換”的異同:軸對稱變換、平移變換、旋轉變換的相同點:①它們都是過程性概念,描述的是圖形運動;②它們變換前后的兩個圖形的形狀、大小都不變;③它們蘊涵的思維方法和思想方法都相同.軸對稱變換、平移變換、旋轉變換的不同點:①它們圖形運動的特點不同——軸對稱變換的運動
特點是翻折,平移變換的運動特點是定向移動,旋轉變換的運動特點是繞定點旋轉;②它們運動前后兩個圖形的方向不同——軸對稱變換改變圖形方向,平移變換不改變圖形方向,旋轉變換改變圖形方向;③它們改變前后兩個圖形的部分不變關系不同、應用范圍不同等.
第三階段:旨在“發展技能”的“嘗試運用”——解答基礎上的反思拓展
第5步:嘗試運用——解答問題
教師在綜合概括的基礎上,依次提出下列4個有代表性問題,要求學生在獨立學習的基礎上交流合作.
問題4 (辨別)如圖9,正確表示將正方形X繞點O按順時針方向旋轉60°的是哪一個?為什么?
學生選擇與分析,必要時,教師進行追問、評析.
問題5 (概念識別)①如下頁圖10,經過怎樣的旋轉變換,可由射線OP得到射線OQ?②下頁圖11是一雙手的圖片,能否經過一定的旋轉變換,使左手的圖形與右手的圖形重合?經過軸對稱變換呢?從中可以得到什么結論?
學生口述,必要時,教師進行追問、評析.
問題6 (方法演示)如圖12,以點O為旋轉中心,將線段AB按順時針方向旋轉60°,作出經過旋轉變換后所得的像.請你提供盡可能多的方法,并求出像與線段AB所成的銳角度數.
學生作圖操作,教師巡視指導,約2分鐘后進行交流、評析.
問題7 (問題解決)圖13是一個直角三角形的苗圃,由正方形花壇和兩塊直角三角形的草皮組成,如果兩個直角三角形的兩條斜邊長分別為3米和6米,你能求出草皮的面積是多少嗎?
學生獨立學習(允許合作研討),教師巡視指導,約2分鐘后進行交流、評析.
第6步:做后思考——反思拓展
教師在學生用數學方法和理論解答有代表性問題的基礎上,依次提出以下2個反思性問題,要求學生合作研討并發表自己的觀點.
問題8 問題6,作圖的策略(思想)是什么?用的是什么方法?具體使用了哪些技巧?一般地,旋轉變換前后兩個圖形對應邊所在直線的夾角與旋轉角有何關系?
問題9 問題7,解題的策略(思想)是什么?用的是什么方法?具體使用了哪些技巧?一般地,用旋轉變換的思想方法解題的條件是什么?
教師在學生充分發表意見的基礎上給出問題的答案:
(1)問題6作圖的策略是用圖形旋轉的特征,用的是用作圖工具作圖的方法,使用的技巧是:①先將點A,B繞定點O按順時針方向旋轉60°得A′,B′,再連結A′,B′;②先過點O作線段AB所在直線的垂線,設垂足為N,然后將點N繞定點O按順時針方向旋轉60°得N′,再過點N′作ON′的垂線,并在垂線上取N′A′NA,N′B′NB.一般地,旋轉變換前后兩個圖形對應邊所在直線的夾角等于旋轉角或等于周角減去旋轉角.
(2)問題7解題的策略是用圖形旋轉的思想,用的方法是將△BEC繞點B按逆時針方向旋轉90°,使用的技巧是:先將△BEC繞點B按逆時針方向旋轉90°,使分散的兩個三角形變成一個大的直角三角形,再用三角形面積公式求此三角形的面積.一般地,問題涉及等腰三角形、等邊三角形、等腰直角三角形、正方形時,可考慮用旋轉變換的思想方法.; 第四階段:旨在“拓展生成”的“開放延伸”——學生回顧基礎上的教師總結
第7步:回顧思考——交流合作
教師在解題后反思的基礎上,列下“問題清單”,鼓勵學生圍繞問題進行交互反饋.
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