2015年考研數學考前必須死磕的知識點

高等數學部分

第一章 函數、極限與連續

1、函數的有界性

2、極限的定義（數列、函數）

3、極限的性質（有界性、保號性）

4、極限的計算（重點）（四則運算、等價無窮小替換、洛必達法則、泰勒公式、重要極限、單側極限、夾逼定理及定積分定義、單調有界必有極限定理）

5、函數的連續性

6、間斷點的類型

7、漸近線的計算

第二章 導數與微分

1、導數與微分的定義（函數可導性、用定義求導數）

2、導數的計算（“三個法則一個表”：四則運算、復合函數、反函數，基本初等函數導數表：“三種類型”：冪指型、隱函數、參數方程；高階導數）

3、導數的應用（切線與法線、單調性（重點）與極值點、利用單調性證明函數不等式、凹凸性與拐點、方程的根與函數的零點、曲率（數一、二））

第三章 中值定理

1、閉區間上連續函數的性質（最值定理、介值定理、零點存在定理）

2、三大微分中值定理（重點）（羅爾、拉格朗日、柯西）

3、積分中值定理

4、泰勒中值定理

5、費馬引理

第四章 一元函數積分學

1、原函數與不定積分的定義

2、不定積分的計算（變量代換、分部積分）

3、定積分的定義（幾何意義、微元法思想（數一、二））

4、定積分性質（奇偶函數與周期函數的積分性質、比較定理）

5、定積分的計算

6、定積分的應用（幾何應用：面積、體積、曲線弧長和旋轉面的面積（數一、二），物理應用：變力做功、形心質心、液體靜壓力）

7、變限積分（求導）

8、廣義積分（收斂性的判斷、計算）

第五章 空間解析幾何（數一）

1、向量的運算（加減、數乘、數量積、向量積）

2、直線與平面的方程及其關系

3、各種曲面方程（旋轉曲面、柱面、投影曲面、二次曲面）的求法

第六章 多元函數微分學

1、二重極限和二元函數連續、偏導數、可微及全微分的定義

2、二元函數偏導數存在、可微、偏導函數連續之間的關系

3、多元函數偏導數的計算（重點）

4、方向導數與梯度

5、多元函數的極值（無條件極值和條件極值）

6、空間曲線的切線與法平面、曲面的切平面與法線

第七章 多元函數積分學（除二重積分外，數一）

1、二重積分的計算（對稱性（奇偶、輪換）、極坐標、積分次序的選擇）

2、三重積分的計算（“先一后二”、“先二后一”、球坐標）

3、第一、二類曲線積分、第一、二類曲面積分的計算及對稱性（主要關注不帶方向的積分）

4、格林公式（重點）（直接用（不滿足條件時的處理：“補線”、“挖洞”），積分與路徑無關，二元函數的全微分）

5、高斯公式（重點）（不滿足條件時的處理（類似格林公式））

6、斯托克斯公式（要求低；何時用：計算第二類曲線積分，曲線不易參數化，常表示為兩曲面的交線）

7、場論初步（散度、旋度）

第八章 微分方程

1、各類微分方程（可分離變量方程、齊次方程、一階線性微分方程、伯努利方程（數一、二）、全微分方程（數一）、可降階的高階微分方程（數一、二）、高階線性微分方程、歐拉方程（數一）、差分方程（數三））的求解

2、線性微分方程解的性質（疊加原理、解的結構）

3、應用（由幾何及物理背景列方程）

第九章 級數（數一、數三）

1、收斂級數的性質（必要條件、線性運算、“加括號”、“有限項”）

2、正項級數的判別法（比較、比值、根值，p級數與推廣的p級數）

3、交錯級數的萊布尼茲判別法

4、絕對收斂與條件收斂

5、冪級數的收斂半徑與收斂域

6、冪級數的求和與展開

7、傅里葉級數（函數展開成傅里葉級數，狄利克雷定理）

線性代數部分

第一章 行列式

1、行列式的定義

2、行列式的性質

3、特殊行列式的值

4、行列式展開定理

5、抽象行列式的計算

第二章 矩陣

1、矩陣的定義及線性運算

2、乘法

3、矩陣方冪

4、轉置

5、逆矩陣的概念和性質

6、伴隨矩陣

7、分塊矩陣及其運算

8、矩陣的初等變換與初等矩陣

9、矩陣的等價

10、矩陣的秩

第三章 向量

1、向量的概念及其運算

2、向量的線性組合與線性表出

3、等價向量組

4、向量組的線性相關與線性無關

5、極大線性無關組與向量組的秩

6、內積與施密特正交化

7、n維向量空間（數學一）

第四章 線性方程組

1、線性方程組的克萊姆法則

2、齊次線性方程組有非零解的判定條件

3、非齊次線性方程組有解的判定條件

4、線性方程組解的結構

第五章 矩陣的特征值和特征向量

1、矩陣的特征值和特征向量的概念和性質

2、相似矩陣的概念及性質

3、矩陣的相似對角化

4、實對稱矩陣的特征值、特征向量及其相似對角矩陣

第六章 二次型

1、二次型及其矩陣表示

2、合同變換與合同矩陣

3、二次型的秩

4、二次型的標準型和規范型

5、慣性定理

6、用正交變換和配方法化二次型為標準型

7、正定二次型及其判定

概率論與數理統計部分

第一章 隨機事件和概率

1、隨機事件的關系與運算

2、隨機事件的運算律

3、特殊隨機事件（必然事件、不可能事件、互不相容事件和對立事件）

4、概率的基本性質

5、隨機事件的條件概率與獨立性

6、五大概率計算公式（加法、減法、乘法、全概率公式和貝葉

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