數學教案－解直角三形應用舉例
1．知識結構：
2．重點和難點分析
重點和難點：要求學生善于將某些實際問題中的數量關系，歸結為直角三角形中元素之間的關系，從而解決問題.
3．教法建議
本節知識與實際聯系密切，這些知識可以直接用來解決一些實際問題，這在幾何的許多章節中是做不到的，所以要充分發揮這一特點，通過教學，培養學生應用數學的意識，解決實際問題的能力．要解決實際問題，首先要能夠把實際問題抽象為數學問題，然后運用數學知識解決這些問題，為了使學生能夠處理一些簡單問題，教材中配備一些比較典型的例題，這些例題的教學，要注意以下幾個問題：
1．幫助學生弄清實際問題的意義．由于學生接觸實際較少，實踐經驗不足，許多實際問題的意義不清楚，許多術語不熟悉，這些在教學中要向學生說明．例如測量中的仰角、俯角、視線、鉛垂線等等，零件圖，特別是剖面圖的意義，航行中的方位角等．學生懂得了這些常識，才能理解實際問題．
2．幫助學生畫出草圖．把實際問題抽象為幾何問題，關鍵是畫出草圖，通過圖形反映問題中的已知與未知，以及已知和未知量之間的關系．這里要解決好兩個問題：
(1)實際問題基本上是空間三維的問題，要會把它轉化為平面問題，畫出平面圖形．例如飛機在空中俯看地面目標，選取經過飛機、地面目標的垂直于地平面的平面(圖1)；機器零件大都畫出橫斷面、縱斷面(圖2)；在地面上測兩點距離，兩個方向夾角，可以畫平行地面的平面等．
(2)船在海上航行，在平面上標出船的位置、燈塔或岸上某目標的位置，這類問題難點在于確定基準點．例如，說燈塔在船的什么方向上，這時船是基準點，如果說船在岸邊某一點的什么方向上，這時岸邊的這一點是基準點．有時因為船在航行中觀測燈塔，基準點在轉移，這些都會給畫圖增加困難．
在第一冊里，介紹過空間里的平行、垂直關系，也介紹過方向角的概念，這些都可以作為學習的基礎，教學時可適當復習，幫助學生回憶．
3．幫助學生根據需要作出輔助線．畫出的草圖，不一定有直角三角形，為了用解直角三角形的方法解決這些問題，常常需要添加輔助線．在這些問題中，輔助線常常是垂線或者平行線，例如圖3中的幾個問題中，虛線就是所要添加的輔助線．
4．有了直角三角形，還要進一步分析，由題目的條件可以知道直角三角形的哪些邊或角，題目要求的是哪些邊或角，這樣才可以用解直角三角形的方法解決這些實際問題．
一、教學目標
1．使學生了解仰角、俯角的概念，能根據直角三角形的知識解決實際問題，會把實際問題轉化為數學問題來解決；
2．通過本節的教學，進一步把形和數結合起來，提高學生分析問題、解決實際問題的能力；
3．通過本節的教學，向學生滲透數學來源于實踐又反過來作用于實踐的觀點，培養他們用數學的意識.
二、重點·難點·疑點及解決辦法
1． 重點：要求學生善于將某些實際問題中的數量關系，歸結為直角三角形中元素之間的關系，從而解決問題.
2．難點：要求學生善于將某些實際問題中的數量關系，歸結為直角三角形中元素之間的關系，從而解決問題.
3．疑點：練習中水位為＋2.63這一條件學生可能不理解，教師最好用實際教具加以說明.
4．解決辦法：引導學生體會實際問題中的概念，建立數學模型，從而重難點，以教具演示解決疑點.
三、教學過程
1．仰角、俯角
當我們進行測量時，在視線與水平線所成的角中，視線在
水平線上方的角叫做仰角，在水平線下方的角叫做俯角．
教學時，可以讓學生仰視燈或俯視桌面以體會仰角與俯角的意義．
2．例1
如圖，某飛機于空中A處探測到目標C，此時飛行高度米，從飛機上看地平面控制點B的俯角，求飛機A到控制點B距離（精確到1米）．
解決此問題的關鍵是在于把它轉化為數學問題，利用解直角三角報知識來解決，在此之
前，學生曾經接觸到通過把實際問題轉化為數學問題后，用數學方法來解決問題的方法，但
不太熟練．因此，解決此題的關鍵是轉化實際問題為數學問題，轉化過程中著重語學生畫幾
何圖形，并說出題目中每句話對應圖中哪個角或邊（包括已知什么和求什么），會利用平行線的內錯角相等的性質由已知的俯角得出中的，進而利用解直角三角形的知識就可以解此題了．
解：在中,
∴ （米）．
答：飛機A到控制點B的距離約為4221米．
［例1］小結：本章引言中的例子和例1正好屬于應用同一關系式
來解決的兩個實際問題即已知和斜邊，求的對邊；以及已知和對邊，求斜邊．
3．鞏固練習 P．25．
如圖，某海島上的觀察所A發現海上某船只B并測得其俯角．已知觀察所A的標高（當水位為0m時的高度）為43．74m，當時水位為＋2．63m，求觀察所A到船只B的水平距離BC（精確到1m）
為了鞏固例1，加深學生對仰角、俯角的了解，配備了練習．
由于學生只接觸了一道實際應用題，對其還不熟悉，不會將其轉化
為數學問題，因此教師在學生充分地思考后，應引導學生分析：
1．誰能將實物圖形抽象為幾何圖形？請一名同學上黑板畫出來．
2．請學生結合圖說出已知條件和所求各是什么？
答：已知，求AB．
這樣，學生運用已有的解直角三角形的知識完全可以解答．
對于程度較高的學生，教師還可以將此題變式，當船繼續行駛到D時，測得俯角，當時水位為－1.15m，求觀察所A到船只B的水平距離（精確到1m），請學生獨立完成.
【例2】 如圖所示，已知A、B兩點間的距離是160米，從A點看B點的仰角是11°，AC長為1.5米，求BD的高及水平距離CD.
此題在例1的基礎上，又加深了一步，須由A作一條平等于CD的直線交BD于E，構造出，然后進一步求出AE、BE，進而求出BD與CD.
設置此題，既使成績較好的學生有足夠的訓練，同時對較差學生又是鞏固，達到分層次教學的目的.
解：過A作，于是，
在中，
∴ （米）.
.
∴ （米）.
∴ （米）.
（米）.
答：BD的高及水平距離CD分別是32.03米，157.1米.
練習：為測量松樹AB的高度，一個人站在距松樹15米的E處，測得仰角，已知人的高度為1.72米，求樹高（精確到0.01米）.
要求學生根據題意能畫圖，把實際問題轉化為數學問題，利用解直角三角形的知識來解決它.
探究活動
一、望海島
如圖, 要測量海島高度,立兩根高度都是3丈的桿,兩桿相距1000步,使前桿、后桿、海島排成一直線。從前桿往回走123步，腳、前桿頂、島頂共線。從后桿往回走127步，腳、后桿、島頂共線。問島高和島離前桿分別為多少？(在古代，1里=300步，1步=6尺=0.6丈)
答案: 4里55步;102里150步.
二、望松
如下圖，求出三頂松的高度.
答案: 12丈2尺8寸.
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