平均數

第一課時

素質教育目標

（一）知識教學點

1．使學生初步了解統計知識是應用廣泛的數學內容 .

2．了解平均數的意義，會計算一組數據的平均數 .

3．當一組數據的數值較大時，會用簡算公式計算一組數據的平均數 .

（二）能力訓練點

培養學生的觀察能力、計算能力 .

（三）德育滲透點

1．培養學生認真、耐心、細致的學習態度和學習習慣 .

2．滲透數學來源于實踐，反地來又作用于實踐的觀點 .

（四）美育滲透點

通過本課的學習，滲透數學公式的簡單美和結構的嚴謹美，展示了寓深奧于淺顯，寓紛繁于嚴謹的辯證統一的數學美 .

重點·難點·疑點及解決辦法

1．教學重點：平均數的概念及其計算 .

2．教學難點 ：平均數的簡化計算 .

3．教學疑點：平均數簡化公式的應用，a如何選擇 .

4．解決辦法：分清兩個公式，公式②的運用要選擇一個適當的a .

教學步驟 

（一）明確目標

在日常生活中，我們常與數據打交道，例如，電視臺每天晚上都要預報第二天當地的最低氣溫與最高氣溫，商店每天都要結算一下當天的營業額，每個班次的飛機都要統計一下乘客的人數等．這些都涉及數據的計算問題．請同學們思考下面問題．（教師出示幻燈片）

為了從甲乙兩名學生中選拔一人參加射擊比賽，對他們的射擊水平進行了測驗．兩人在相同條件下各射靶10次，命中的環數如下：

甲 7 8 6 8 6 5 9 10 7 4

乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7

1．怎樣比較兩個人的成績？2．應選哪一個人參加射擊比賽？

教師要引導學生觀察，給學生充分的時間去思考，并可以分成小組討論解決辦法．

對于這個問題，部分學生可能感到無從下手，部分學生可能想到去比較兩組數據的平均，讓學生動手具體算一下兩組數據的平均數結果它們相等在學生無法解決此問題的情況下，教師說明，這正是本章要解決的問題之一（寫出課題）．這樣做的目的是教師有意創設問題情境、制造懸念，這不僅能激發學生學習的積極性和自覺性，引起學生對所學課程的注意，還能誘發學生探求新知識的濃厚興趣．

（二）整體感知

解決類似上述的問題要用到統計學的知識，統計學是一門研究如何收集、整理、分析數據并據之做出推斷的科學，它以概率論為基礎，著重研究如何根據樣本的性質去推測總體的性質．在當今的信息時代，統計學的應用非常廣泛，以至于它已滲透到整個社會生活的各個方面．本章我們將學習統計學的一些初步知識．

（三）教學過程 

這節課我們首先來學習平均數．

1．（出示幻燈片）請同學看下面問題：

某班第一小組一次數學測驗的成績如下：

  86 91 100 72 93 89 90 85 75 95

這個小組的平均成績是多少？

教師引導學生動筆計算，并找一名學生到黑板板演，講完引例后，引導學生歸納出求平均數方法，這樣做使學生對平均數的計算公式能有深刻的認識 .

2．平均數的概念及計算公式

一般地，如果有n個數 .

那么 ①

叫做這n個數的平均數， 讀作“x撥” .

這是在初中數學課本中第一次出現帶有省略號的用字母表示的n個數相加的一般寫法 .學生對此可能會感到比較抽象，不太習慣，要向學生強調，采用這種寫法是簡化表示，是為了使問題的討論具有一般性 .教師應通過對公式的剖析，使學生正確理解公式，并掌握公式中各元素的意義 .

3．平均數計算公式①的應用

例1  一個地區某年1月上旬各天的最低氣溫依次是（單位：℃）：

－6，－5，－7，－6，－4，－5，－7，－8，－7

求它們的平均氣溫 .

讓學生動手計算，以鞏固平均數計算公式（一名學生板演）

教師應強調：①解題格式 .②在統計學里處理的數據包括負數 .③在本章中，如無特殊說明，平均數計算結果保留的位數與原數據相同 .

例2  從一批機器零件毛坯中取出20件，稱得它們的質量如下（單位：千克）：

210 208 200 205 202 218 206 214 215 207 195 207 218 192 202 216 185 227 187 215

計算它們的平均質量 .（用投影儀打出）

引導學生兩人一組完成計算，然后一起對答案 .由于數據較大，計算較繁，可能會出現不同的答案 .正好為下面提出簡化計算公式作好鋪墊 .

教師提出問題：像例2這樣，數據較大，計算較繁，因而容易出錯，有沒有較為簡便的算法呢？引導學生觀察數據有什么特點？都接近于哪一個數？啟發學生討論，尋找簡便算法 .

學生回答：數據都在200左右波動，可將各數據同時減去200，轉而計算一組數值較小的新數據的平均數，至此讓學生再一次兩人一組用簡便方法計算例2，并與前面計算的結果相比較是否一樣 .

講完例2后，教師指出幾點：常數a的取法不是惟一的； 讀作“x——撇——撥”；；簡化計算的結果與前面毛算的結果相同 .

通過學生的動手計算，若產生困難或錯誤，教師及時點撥，引導學生尋找解決問題的方法，這不僅可以激發學生學習的興趣，更培養了學生的發散思維能力，同時也使學生對公式②的推導更容易接受 .

3．推導公式②

一般地，當一組數據 的各個數值較大時，可將各數據同時減去一個適當的常數a，得到

，

那么  ，

因此，

即 ②

為了加深學生對公式②的認識，再讓學生指出例2的 、 、 各是什么？（學生回答）

課堂練習：

教材P148中～P149中1，2，3

（四）總結、擴展

知識小結：1．統計學是一門與數據打交道的學問，應用十分廣泛 .本章將要學習的是統計學的初步知識 .

2．求n個數據的平均數的公式① .

3．平均數的簡化計算公式② .這個公式很重要，要學會運用 .

方法小結：通過本節課我們學到了示一組數據平均數的方法 .當數據比較小時，可用公式①直接計算 .當數據比較大，而且都在某一個數左右波動時，可選用公式②進行計算 .

八、布置作業 

教材P153中1、2、3、4 .

九、板書設計 

教學設計示例2

教學目標 

(一)使學生了解平均數的意義，會計算一組數據的平均數.了解加權平均數的意義，并會求加權平均數；

(二)會運用平均數的簡化運算方法.

教學重點和難點

重點：會計算平均數及運用平均數的簡化方法，會運用加權平均數公式.

教學過程 設計

(一)引入新課

在初中一年級代數課本P106的“讀一讀”那一節，講的是求平均數.有這樣一例題：

女子排球隊共有10名隊員，身高(單位：米)分別為：

1.73，1.74，1.70，1.76，1.80，1.75，1.77，1.79，1.74，1.72.

求這個隊的隊員平均身高是多少？

解：求這個平均數的計算方法有兩個.

方法1：直接計算

方法2：簡化計算

觀察一下這些數都在1.75的上、下，這時，可以這樣考慮：先計算各數與1.75的差，也就是先都減去1.75(為了不出現小數，不妨把單位換成厘米)得到-2厘米，-1厘米，-5厘米，1厘米，5厘米，0厘米，2厘米，4厘米，-1厘米，-3厘米.

計算這組數的平均數，得：

因為前面計算時，每個數都減去了175厘米，所以把這里的得數0加上175，就得出這個排球隊全體隊員的平均身高是175厘米

在求一組數的平均數時，只要這組數都接近某一個數，就可以采用這種簡化的計算方法.

以上例子告訴我們什么是平均數，怎樣求平均數.如果這組數存在著大致在某一個數的上、下波動的情況，可以用簡便方法計算.

(二)新課

1.平均數

在統計里，平均數是重要概念之一，它是顯示出一組數據的集中趨勢的特征數字，也就是說這組數據都“接近”哪個數.

上面的公式①，就是我們在求女排隊員身高平均數的“直接算法”.

當一組數據x1，x2，…，xn的各個數值較大時，可將各數據同時減去一個適當

公式②就是我們在求女排隊員身高平均數的“簡便方法”

例1 某食品廠為了加強質量管理，對某天生產的罐頭抽查了10個，樣本凈重如下(單位：克)

342，348，346，340，344，341，343，350，340，342．

求樣本的平均數.

解法2：把已知數據都減去342，得0，6，4，－2，2，－1，1，8，－2，0，

例2 從一批貨物中取出20件，稱得它們的重量如下(單位：千克)：

310，308，300，305，302，318，306，314，315，307，

295，307，318，292，302，316，285，327，287，315.

求樣本的平均數(結果保留到個位)

即樣本平均數為306千克.

解法2：

由于題中數據都較大，而且都在常數300上、下波動，把原數據都減去300，得：

10，8，0，5，2，18，6，14，15，7，-5，7，18，-8，2，16，-15，27，-13，15.

2.加權平均數

設有甲、乙、丙三種可混合包裝的食品，它們的單價分別是1.8元，2.5元，3.2元，現取甲種食品50公斤，乙種食品40公斤，丙種食品10公斤，把這三種食品混合后每公斤的單價是多少？

答：混合后的單價為2.50元.這個答案是不對的，因為混合后的售價不僅與每種食品的單價有關，而且還與每種食品的重量(公斤數)有關.這些食品混合后的售價應該等于

這種平均數叫做加權平均數．

一般說來，如果在n個數中，x1出現f1次，x2出現f2次，……，xk出現fk次(這里f1+f2＋……＋fk＝n)，那么根據平均數公式①，這n個數的平均數可以表示為

計算加權平均數的公式③，與計算平均數的公式①，實際上是一回事.當一組數據中有不少數據多次重復出現時，用加權平均數公式計算簡便些.在公式③中，相同數據xi的個數fi叫做權.這個“權”，含有所占分量輕重的意思.fi越大，表示xi的個數越多，于是xi的“權”就越重．

例3 某班有50名學生，數學期中考試成績90分的有9人，84分的有12人，73分的有10人，65分的有13人，56分的有2人，45分的有4人，計算這個班學生的數學期中考試平均成績(結果保留到小數點后第一位)．

在例1～例3的求平均數問題中可以看到，平均數能夠反映出數據的集中趨勢．

(三)課堂練習

若4，x，5的平均數是7，則3，4，5，x，6五個數的平均數是______.

(四)小結

1.用樣本平均數去估計總體平均數，這是學習平均數的目的.

2.平均數計算公式，平均數簡化計算公式，加權平均數計算公式都很重要，應根據具體情況，恰當選取哪個公式

(五)作業 

1.數據15，23，17，18，22的平均數是________.

2.5個數據的和為405，其中一個數據為85，那么另4個數據的平均數是______.

(1)105，103，101，100，114，108，110，106，98，102；(共10個)

(2)4203，4204，4200，4194，4204，4210，4195，4199.(共8個)

4.在一個班的40名學生中，14歲的有5人，15歲的有30人，16歲的有4人，17歲的有1人.求這個班學生的平均年齡.

5.抽查了一個商店某月里5天的日營業額，結果如下(單位：元)：

14845，25306，18954，11672，16330

(1)求樣本平均數；

(2)根據樣本平均數估計，這個商店在該月里平均日營業額約是多少？

6.在一段時間里，一個學生記錄了其中8天他每天完成家庭作業 所需要的時間，結果如下(單位：分)：

80，70，90，70，60，50，80，60.

在這段時間里，該學生平均每天完成家庭作業 所需要的時間約是多少？

作業 答案與提示：

1.19.

5.(1)樣本平均數是17421元；

(2)根據上面計算結果，可估計在該月里平均日營業額約為17421.

根據樣本平均數,可估計該學生平均每天完成家庭作業 所需時間約為70分.

課堂教學設計說明

1.平均數是統計中的重要概念之一，通過樣本平均數來估計總體平均數.樣本容量取得越大，則用樣本平均數估計的總體平均數越精確，也就是所表示的總體平均的變化趨勢越集中于準確值.作業 中的第5，6兩題就是為體現這種思想而設計的.

2.這一節課的目標是要弄清兩個概念(平均數、加權平均數)，三個公式(求平均值公式，求平均值的簡化公式和求加權平均數公式).

教學設計中，先從初中一年級代數課本的內容引出平均數概念、計算公式及簡化公式.所以很自然地轉入新課，在介紹了平均數概念后，緊接著對計算公式作出一般性的證明.

在加權平均數一節，先列舉一個易犯的錯誤，分析其錯誤原因，然后推導出公式.

平均數