正多邊形和圓

教學設計示例1

教學目標 ：

（1）使學生理解正多邊形概念，初步掌握正多邊形與圓的關系的第一個定理；

（2）通過正多邊形定義教學，培養學生歸納能力；通過正多邊形與圓關系定理的教學培養學生觀察、猜想、推理、遷移能力；

（3）進一步向學生滲透“特殊——一般”再“一般——特殊”的唯物辯證法思想．

教學重點：

正多邊形的概念與正多邊形和圓的關系的第一個定理．

教學難點 ：

對定理的理解以及定理的證明方法．

教學活動設計：

（一）觀察、分析、歸納：

觀察、分析：1．等邊三角形的邊、角各有什么性質？

2．正方形的邊、角各有什么性質？

歸納：等邊三角形與正方形的邊、角性質的共同點．

教師組織學生進行，并可以提問學生問題．

（二）正多邊形的概念：

（1）概念：各邊相等、各角也相等的多邊形叫做正多邊形．如果一個正多邊形有n(n≥3)條邊，就叫正n邊形．等邊三角形有三條邊叫正三角形，正方形有四條邊叫正四邊形．

（2）概念理解：

①請同學們舉例，自己在日常生活中見過的正多邊形．（正三角形、正方形、正六邊形，…….）

②矩形是正多邊形嗎？為什么？菱形是正多邊形嗎？為什么？

矩形不是正多邊形，因為邊不一定相等．菱形不是正多邊形，因為角不一定相等．

（三）分析、發現：

問題：正多邊形與圓有什么關系呢？

發現：正三角形與正方形都有內切圓和外接圓，并且為同心圓．

分析：正三角形三個頂點把圓三等分；正方形的四個頂點把圓四等分．要將圓五等分，把等分點順次連結，可得正五邊形．要將圓六等分呢？

（四）多邊形和圓的關系的定理

定理：把圓分成n(n≥3)等份：

(1)依次連結各分點所得的多邊形是這個圓的內接正n邊形；

(2)經過各分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的外切正n邊形．

我們以n=5的情況進行證明．

已知：⊙O中， = = = = ，TP、PQ、QR、RS、ST分別是經過點A、B、C、D、E的⊙O的切線．

求證：（1）五邊形ABCDE是⊙O的內接正五邊形；

（2）五邊形PQRST是⊙O的外切正五邊形．

證明：（略）

引導學生分析、歸納證明思路：

弧相等

說明：(1)要判定一個多邊形是不是正多邊形，除根據定義來判定外，還可以根據這個定理來判定，即：①依次連結圓的n(n≥3)等分點，所得的多邊形是正多迫形；②經過圓的n(n≥3)等分點作圓的切線，相鄰切線相交成的多邊形是正多邊形．

(2)要注意定理中的“依次”、“相鄰”等條件．

(3)此定理被稱為正多邊形的判定定理，我們可以根據它判斷一多邊形為正多邊形或根據它作正多邊形．

（五）初步應用

P157練習

1、(口答)矩形是正多邊形嗎?菱形是正多邊形嗎?為什么?

2．求證：正五邊形的對角線相等．

3．如圖，已知點A、B、C、D、E是⊙O的5等分點，畫出⊙O的內接和外切正五邊形．

（六）小結：

知識：（1）正多邊形的概念．（2）n等分圓周(n≥3)可得圓的內接正n邊形和圓的外切正n邊形．

能力和方法：正多邊形的證明方法和思路，正多邊形判斷能力

（七）作業  教材P172習題A組2、3．

教學設計示例2

教學目標 ：

（1）理解正多邊形與圓的關系定理；

（2）理解正多邊形的對稱性和邊數相同的正多邊形相似的性質；

（3）理解正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角等概念；

（4）通過正多邊形性質的教學培養學生的探索、推理、歸納、遷移等能力；

教學重點：

理解正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角的概念和性質定理．

教學難點 ：

對“正多邊形都有一個外接圓和一個內切圓，并且這兩個圓是同心圓”的理解．

教學活動設計：

（一）提出問題：

問題：上節課我們學習了正多邊形的定義，并且知道只要n等分(n≥3)圓周就可以得到的圓的內接正n邊形和圓的外切正n邊形．反過來，是否每一個正多邊形都有一個外接圓和內切圓呢？

（二）實踐與探究：

組織學生自己完成以下活動．

實踐：1、作已知三角形的外接圓，圓心是已知三角形的什么線的交點？半徑是什么？

2、作已知三角形的內切圓，圓心是已知三角形的什么線的交點？半徑是什么？

探究1：當三角形為正三角形時，它的外接圓和內切圓有什么關系？

探究2：（1）正方形有外接圓嗎？若有外接圓的圓心在哪？(正方形對角線的交點．)

（2）根據正方形的哪個性質證明對角線的交點是它的外接圓圓心？

（3）正方形有內切圓嗎？圓心在哪？半徑是誰？

（三）拓展、推理、歸納：

（1）拓展、推理：

過正五邊形ABCDE的頂點A、B、C、作⊙O連結OA、OB、OC、OD．

  同理，點E在⊙O上．

所以正五邊形ABCDE有一個外接圓⊙O．

因為正五邊形ABCDE的各邊是⊙O中相等的弦，所以弦心距相等．因此，以點O為圓心，以弦心距(OH)為半徑的圓與正五邊形的各邊都相切．可見正五邊形ABCDE還有一個以O為圓心的內切圓．

（2）歸納：

正五邊形的任意三個頂點都不在同一條直線上

它的任意三個頂點確定一個圓，即確定了圓心和半徑．

其他兩個頂點到圓心的距離都等于半徑．

正五邊形的各頂點共圓．

正五邊形有外接圓．

圓心到各邊的距離相等．

正五邊形有內切圓，它的圓心是外接圓的圓心，半徑是圓心到任意一邊的距離．

照此法證明，正六邊形、正七邊形、…正n邊形都有一個外接圓和內切圓．

定理： 任何正多邊形都有一個外接圓和一個內切圓，這兩個圓是同心圓．

正多邊形的外接圓(或內切圓)的圓心叫做正多邊形的中心，外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑，內切圓的半徑叫做正多邊形的邊心距．正多邊形各邊所對的外接圓的圓心角都相等．正多邊形每一邊所對的外接圓的圓心角叫做正多邊形的中心角．正n邊形的每個中心角都等于 ．

（3）鞏固練習：

1、正方形ABCD的外接圓圓心O叫做正方形ABCD的______．

2、正方形ABCD的內切圓⊙O的半徑OE叫做正方形ABCD的______．

3、若正六邊形的邊長為1，那么正六邊形的中心角是______度，半徑是______，邊心距是______，它的每一個內角是______．

4、正n邊形的一個外角度數與它的______角的度數相等．

（四）正多邊形的性質：

1、各邊都相等．

2、各角都相等．

觀察正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形是不是軸對稱圖形？如果是，它們又各應有幾條對稱軸？

3、正多邊形都是軸對稱圖形，一個正n邊形共有n條對稱軸，每條對稱軸都通過正n邊形的中心．邊數是偶數的正多邊形還是中心對稱圖形，它的中心就是對稱中心．

4、邊數相同的正多邊形相似．它們周長的比，邊心距的比，半徑的比都等于相似比，面積的比等于相似比的平方．

5、任何正多邊形都有一個外接圓和一個內切圓，這兩個圓是同心圓．

以上性質，教師引導學生自主探究和歸納，可以以小組的形式研究，這樣既培養學生的探究問題的能力、培養學生的研究意識，也培養學生的協作學習精神．

（五）總結

知識：（1）正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角等概念；

（2）正多邊形與圓的關系定理、正多邊形的性質．

能力：探索、推理、歸納等能力．

方法：證明點共圓的方法．

（六）作業   P159中練習1、2、3．

教學設計示例3

教學目標 ：

（1）鞏固正多邊形的有關概念、性質和定理；

（2）通過證明和畫圖提高學生綜合運用分析問題和解決問題的能力；

（3）通過例題的研究，培養學生的探索精神和不斷更新的創新意識及選優意識．

教學重點：

綜合運用正多邊形的有關概念和正多邊形與圓關系的有關定理來解決問題，要理解通過對具體圖形的證明所給出的一般的證明方法，還要注意與前面所學知識的聯想和化歸．

教學難點 ：綜合運用知識證題．

教學活動設計：

（一）知識回顧

1．什么叫做正多邊形？

2．什么是正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角？

3．正多邊形有哪些性質？(邊、角、對稱性、相似性、有兩圓且同心)

4．正n邊形的每個中心角都等于 ．

5．正多邊形的有關的定理．

（二）例題研究：

例1、求證：各角相等的圓外切五邊形是正五邊形．

已知：如圖，在五邊形ABCDE中，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E，邊AB、BC、CD、DE、EA與⊙O分別相切于A’、B’、C’、D’、E’．

求證：五邊形ABCDE是正五邊形．

分析：要證五邊形ABCDE是正五邊形，已知已具備了五個角相等，顯然證五條邊相等即可．

教師引導學生分析，學生動手證明．

證法1：連結OA、OB、OC，

∵五邊形ABCDE外切于⊙O．

∴∠BAO=∠OAE，∠OCB=∠OCD，∠OBA=∠OBC，

又∵∠BAE=∠ABC=∠BCD．

∴∠BAO=∠OCB．

又∵OB=OB

∴△ABO≌△CBO，∴AB=BC，同理  BC=CD=DE=EA．

∴五邊形ABCDE是正五邊形．

證法2：作⊙O的半徑OA’、OB’、OC’，則

OA’⊥AB，OB’⊥BC、OC’⊥CD．

∠B=∠C ∠1=∠2 = ．

同理  = = = ，

即切點A’、B’、C’、D’、E’是⊙O的5等分點．所以五邊形ABCDE是正五邊形．

反思：判定正多邊形除了用定義外，還常常用正多邊形與圓的關系定理1來判定，證明關鍵是證出各切點為圓的等分點．由同樣的方法還可以證明“各角相等的圓外切n邊形是正邊形”．

此外，用正多邊形與圓的關系定理1中“把圓n等分，依次連結各分點，所得的多邊形是圓內接正多邊形”還可以證明“各邊相等的圓內接n邊形是正n邊形”，證明關鍵是證出各接點是圓的等分點。

拓展1：已知：如圖，五邊形ABCDE內接于⊙O，AB=BC=CD=DE=EA．

求證：五邊形ABCDE是正五邊形．（證明略）

分小組進行證明競賽，并歸納學生的證明方法．

拓展2：已知：如圖，同心圓⊙O分別為五邊形ABCDE內切圓和外接圓，切點分別為F、G、H、M、N．

求證：五邊形ABCDE是正五邊形．（證明略）

學生獨立完成證明過程，對B、C層學生教師給予及時指導，最后可以應用實物投影展示學生的證明成果，特別是對證明方法好，步驟推理嚴密的學生給予表揚．

例2、已知：正六邊形ABCDEF．

求作：正六邊形ABCDEF的外接圓和內切圓．

作法：1過A、B、C三點作⊙O．⊙O就是所求作的正六邊形的外接圓．

2、以O為圓心，以O到AB的距離(OH)為半徑作圓，所作的圓就是正六邊形的內切圓．

用同樣的方法，我們可以作正n邊形的外接圓與內切圓．

練習：P161

1、求證：各邊相等的圓內接多邊形是正多邊形．

2、(口答)下列命題是真命題嗎?如果不是，舉出一個反例．

(1)各邊相等的圓外切多邊形是正多邊形；

(2)各角相等的圓內接多邊形是正多邊形．

3、已知：正方形ABCD．求作：正方形ABCD的外接圓與內切圓．

（三）小結

知識：復習了正多邊形的定義、概念、性質和判定方法．

能力與方法：重點復習了正多邊形的判定．正多邊形的外接圓與內切圓的畫法．

（四）作業 

教材P172習題4、5；另A層學生：P174B組3、4．

探究活動

折疊問題：（1）想一想：怎樣把一個正三角形紙片折疊一個最大的正六邊形．

（提示：①對折；②再折使A、B、C分別與O點重合即可）

（2）想一想：能否把一個邊長為8正方形紙片折疊一個邊長為4的正六邊形．

（提示：可以．主要應用把一個直角三等分的原理．參考圖形如下：

①對折成小正方形ABCD；

②對折小正方形ABCD的中線；

③對折使點B在小正方形ABCD的中線上（即B’）；

④則B、B’為正六邊形的兩個頂點，這樣可得滿足條件的正六邊形．）

探究問題：

（安徽省2002）某學習小組在探索“各內角都相等的圓內接多邊形是否為正多邊形”時，進行如下討論：

甲同學：這種多邊形不一定是正多邊形，如圓內接矩形；

乙同學：我發現邊數是6時，它也不一定是正多邊形．如圖一，△ABC是正三角形,    形， = = ，可以證明六邊形ADBECF的各內角相等，但它未必是正六邊形；

丙同學：我能證明，邊數是5時，它是正多邊形．我想，邊數是7時，它可能也 是正多邊形．

(1)請你說明乙同學構造的六邊形各內角相等．

(2)請你證明，各內角都相等的圓內接七邊形ABCDEFG(如圖二)是正七邊形(不必寫已知、求證)．

(3)根據以上探索過程，提出你的猜想(不必證明)．

（1）[說明]

（2）[證明]

（3）[猜想]

解：（1）由圖知∠AFC對 ．因為 = ，而∠DAF對的 = + = + = ．所以∠AFC=∠DAF．

同理可證，其余各角都等于∠AFC．所以，圖1中六邊形各內角相．

（2）因為∠A對 ，∠B對 ，又因為∠A=∠B，所以 = ．所以  = ．

同理 = = = = = = ．所以 七邊形ABCDEFG是正七邊形．

猜想：當邊數是奇數時(或當邊數是3，5，7，9，……時)，各內角相等的圓內接多邊形是正多邊形．

正多邊形和圓

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