立方根

一、教學目標 

1.了解立方根和開立方的概念；

2.會用根號表示一個數的立方根，掌握開立方運算；

3.培養學生用類比的思想求立方根的運算能力；

4.由立方與立方根的教學，滲透數學的轉化思想；

5.通過立方根符號的引入體驗數學的簡潔美.

二、教學重點和難點

教學重點：立方根的概念與性質．

教學難點 ：會求某些數的立方根．

三、教學方法

啟發式，講練結合

四、教學手段

幻燈片．

五、教學過程 

(一)復習提問

請同學們回憶一下，平方根我們是如何定義的？平方根有哪些性質？

在同學們回答后，啟發學生是否可試著給數的立方根下個定義．

1．立方根的概念：

如果一個數的立方等于a，這個數就叫做a的立方根．(也稱數a的三次方根)

用數學式表示為：

若x3=a，則x叫做a的立方根，或稱x叫做a的三次方根．

2．立方根的表示方法：

類似于平方根德表示方法，數a的立方根我們用符號 來表示.讀作“三次根號下a”，其中a叫做被開方數，3叫做根指數，注意，在前面我們學習平方根的表示方法說過當根指數為2時可以省略不寫，現在是立方根了，這個根指數3是絕對不可省的，否則就會與平方根混淆了，例如 表示125的立方根，而 則表示125的算術平方根.

練習：用根號表示下列各數的立方根：

3．開立方概念：

求一個數的立方根的運算，叫做開立方．

4．開立方運算與立方運算互為逆運算．

因此，我們可以根據立方運算來求一些數的立方根．

例1． 求下列各數的立方根：

解：(1)∵(-2)3=-8，

(2)∵23=8，

(4)∵  (0.6)3=0.216，

(5)∵03=0，

下面我們思考這樣一個問題：一個正數有幾個平方根？負數有沒有平方根？一個正數有幾個立方根？負數有沒有立方根？請學生來回答這個問題．由前面剛剛做過的題我們不難看出像8、0.126、103、 這樣的正數，有一個正的立方根；像-8、 、 這樣的負數有一個負的立方根；0的立方根是0．由此我們得了立方根的性質．

5．立方根的性質：

(1)正數有一個正的立方根．

(2)負數有一個負的立方根．

(3)0的立方根是0．

這里我們不妨與平方根的性質做個比較，平方根中，正數有兩個平方根，它們互為相反數，正數只有一個正的立方根；在平方根中負數是沒有平方根的，而負數有一個負的立方根；平方根與立方根唯一相同之處是0的平方根，立方根都是它本身．

例2．求下列各式的值：

解：(1)∵33=27，

(2)∵ (-3)3=-27，

(5)∵  (102)3=106，

(6)∵  (103)3=109，

例3． 解方程：

(1)x3=0.125；(2)3(x-4)3-1536=0．

解：(1)x3=0.125

x=0.5．

(2)3(x-4)3-1536=0(此題可由學生先做，教師糾正錯誤)

3(x-4)3=1536

(x-4)3=512

x-4=8

x=12．

盡管我們學習了立方根，而我們也只能由立方根的定義求解x3=a(a為常數)這一類型的

簡單的三次方程，所以像第(2)小題，我們要把(x-4)看成一個整體，依然轉化成為x3=a的形式，再由立方根定義去解．

填空練習：

(1)1的平方根是____；立方根為____；算術平方根為____．

(2)平方根是它本身的數是____．

(3)立方根是其本身的數是____．

(4)算術平方根是其本身的數是________．

(5) 的立方根為________.

(6) 的平方根為________.

(7) 的立方根為________ .

(8)一個自然數的算術平方根是a，那么與這個自然數相鄰的下一個自然數的平方根是____________；立方根是____________．

解：(1)±1；1；1．

(2)0．(此題學生容易把1也算進去，注意糾正他們的錯誤．)

(3)±1和0．(由此題，再復習一道立方根的性質．)

(4)0，1．(此題有學生可能會忘掉0．)

(5)-2（此題學生易得出-4的答案，應引導學生將 翻譯為-8，在求立方根，也有學生將 看成 得到 ，講解時注意）

(6) （此題首先讓學生把 計算出來，再求平方根，而且平方根有兩個）

(7)-2．

(8) ， （此題引導學生先根據算術平方根來表示被開方數為a2，再表示相鄰的下一個自然數為a2+1，注意表示其平方根時有兩個值．）

六、總結

今天我們主要學習了立方根的概念和性質，一定要與平方根的概念和性質相對比去理解．平方根與立方根是今后我們學習中經常會用到的兩個非常重要的概念，希望同學們能夠熟練地掌握它，尤其是它們之間的聯系與區別．

七、作業 

教材P．141練習1、2、4．

八、板書設計 

探究活動

立方根近似值的求法

當立方根是一位整數時，很容易求出這個立方根；但當立方根是兩位或兩位以上的整數時，也能容易地求出嗎？例如求140608的立方根，怎樣求容易？

下面就介紹它的巧妙求法．

先用前三位數140來確定立方根的十位數．因為53＜140＜63，所以十位數是5，而不是6．再用最后一位數8來確定立方根的個位數．因為23＝8，所以個位數是2．就是說，140608的立方根是52．確定立方根的個位數時要注意下面規律：我們知道：13＝1，43＝64，53＝125，63＝216，93＝729，就是說當被開方數的末位數是1、4、5、6、9時，立方根的個位數就等于它本身(1、4、5、6、9)；

因為23＝8，83＝512，就是說當被開方數的末位數是8和2時，立方根的個位數就分別是2和8，叫做2與8互換原則；同樣還有3與7互換原則(被開方數的末位數分別是3和7，立方根的個位數就分別是7和3)．

一般地，如果103＜a＜1003，且a是能開盡立方的數，那么就能用這種方法求a的立方根．請用這種方法求下列各數的立方根：

21952，50653，79507，287496，970299．

立方根

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