數學教案－軸對稱和軸對稱圖形

1、知識目標：

（1）使學生理解軸對稱的概念；

（2）了解軸對稱的性質及其應用；

（3）知道軸對稱圖形與軸對稱的區別.

2、能力目標：

（1）通過軸對稱和軸對稱圖形的學習，提高學生的觀察辨析圖形的能力和畫圖能力；

（2）通過實際問題的練習，提高學生解決實際問題的能力.

3、情感目標：

（1）通過自主學習的發展體驗獲取數學知識的感受；

（2）通過軸對稱圖形的學習，體現數學中的美，感受數學中的美．

教學重點：軸對稱和軸對稱圖形的概念，軸對稱的性質及判定

教學難點 ：區分軸對稱和軸對稱圖形的概念

教學用具：直尺，微機

教學方法：觀察實驗

教學過程 ：

1、概念：（閱讀教材，回答問題）

（1）對稱軸

（2）軸對稱

（3）軸對稱圖形

學生動手實驗，說明上述概念．最后總結軸對稱及軸對稱圖形這兩個概念的區別：

軸對稱涉及兩個圖形，是兩個圖形的位置關系．軸對稱圖形只是針對一個圖形而言．

軸對稱和軸對稱圖形都有對稱軸，如果把軸對稱的兩個圖形看成一個整體，那么它就是一個軸對稱圖形；如果把軸對稱圖形沿對稱軸分成兩部分，那么這兩個圖形就關于這條直線對稱．

2、定理的獲得

（投影）：觀察軸對稱的兩個圖形是否為全等形

定理1：關于某條直線對稱的兩個圖形是全等形

由此得出：

定理2：如果兩個圖形關于某直線對稱，那么對稱軸是對應點連線的垂直平分線．

啟發學生，寫出此定理的逆命題，并判斷是否為真命題?由此得到：

逆定理：如果兩個圖形的對應點連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個圖形關于這條直線對稱．

學生繼續觀察得到

定理3：兩個圖形關于某直線對稱，如果它們的對應線段或延長線相交，那么交點在對稱軸上．

說明：上述定理2可以看成是軸對稱圖形的性質定理，逆定理則是判定定理．

上述問題的獲得，都是由定理1引發、變換、延伸得到的．教師應充分抓住這次機會，培養學生變式問題的研究．

2、常見的軸對稱圖形

圖形

對稱軸

點A

過點A的任意直線

直線m

直線m,m的垂線

線段AB

直線AB，線段AB的中垂線

角

角平分線所在的直線

等腰三角形

底邊上的中線

3、應用

例1 如圖，已知：△ABC，直線MN，求作△A1B1C1，使△A1B1C1與△ABC關于MN對稱．

分析：按照軸對稱的概念，只要分別過A、B、C向直線MN作垂線，并將垂線段延長一倍即可得到點A、B、C關于直線MN的對稱點，連結所得到的這三個點．

作法：（1）作AD⊥MN于D，延長AD至A1使A1D＝AD，

得點A的對稱點A1

（2）同法作點B、C關于MN的對稱點B1、、C1

（3）順次連結A1、B1、C1

∴△A1B1C1即為所求

例2 如圖，牧童在A處放牛，其家在B處，A、B到河岸的距離分別為AC、BD，

且AC＝BD，若A到河岸CD的中點的距離為500cm．問：

（1）牧童從A處牧牛牽到河邊飲水后再回家，試問在何處飲水，所走路程最短？

（2）最短路程是多少？

解：問題可轉化為已知直線CD和CD同側兩點A、B，

在CD上作一點M，使AM+BM最小，

先作點A關于CD的對稱點A1，

再連結A1B，交CD于點M，

則點M為所求的點．

證明：（1）在CD上任取一點M1，連結A1 M1、A M1

B M1、AM

∵直線CD是A、A1的對稱軸，M、M1在CD上

∴AM＝A1M，AM1＝A1M1

∴AM+BM＝AM1+BM＝A1B

在△A1 M1B中

∵A1 M1+BM1＞AM+BN即AM+BM最小

（2）由（1）可得AM＝AM1，A1C＝AC＝BD

∴△A1CM≌△BDM

∴A1M＝BM，CM＝DM

即M為CD中點，且A1B＝2AM

∵AM＝500m

∴最簡路程A1B＝AM+BM＝2AM＝1000m

例3 已知：如圖，△ABC是等邊三角形，延長BC至D，延長BA到E，使AE＝BD，連結CE、DE

求證：CE＝DE

證明：延長BD至F，使DF＝BC，連結EF

∵AE＝BD， △ABC為等邊三角形

∴BF＝BE， ∠B＝

∴△BEF為等邊三角形

∴△BEC≌△FED

∴CE＝DE

5、課堂小結：

（1）軸對稱和軸對稱圖形的區別和聯系

區別：軸對稱是說兩個圖形的位置關系，軸對稱圖形是說一個具有特殊形狀的圖形；軸對稱涉及兩個圖形，軸對稱圖形只對一個圖形而言

聯系：這兩個定義中都涉及一條直線，都沿其折疊而能夠重合；二者都具有相對性：即若把軸對稱圖形沿軸一分為二，則這兩個圖形就關于原軸成軸對稱，反之，把兩個成軸對稱的圖形全二為一，則它就是一個軸對稱圖形．

（2）解題方法：一是如何畫關于某條直線的對稱圖形（找對稱點）

二是關于實際應用問題“求最短路程”．

6、布置作業 ：

書面作業 P120＃6、8、9

板書設計 ：

探究活動

兩個全等的三角板，可以拼出各種不同的圖形，如圖已畫出其中一個三角形，請你分別補出另一個與其全等的三角形，使每個圖形分成不同的軸對稱圖形（所畫三角形可與原三角形有重疊部分）

解：

數學教案－軸對稱和軸對稱圖形