平行線及平行公理

教學建議

1、教材分析

(1)知識結構

本節從實例中概括出平行線的概念，給出了平行線的記法和它的畫法，并引出了平行公理及其推論．

(2)重點、難點分析

本節的重點是：平行公理及其推論．承認“經過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行”的幾何是歐氏幾何，否則是非歐幾何．由此可見，平行公理在幾何中的地位十分重要．在教學時，學生可以從用直尺和三角板畫平行線的畫圖過程中，理解平行公理．特別是真正地體會到公理中的“有且只有”的意義．

本節難點是：理解平行線的概念以及由平行公理導出其推論的過程定義中的“在同一平面內”的這個前提，是為了區別立體幾何中異面直線的情況．教學時只要學生能意識到，空間的直線還存在另一種不相交的情形的，即異面直線．

另外，從平行公理推導出其推論的過程，滲透了反證法的思想．初中學生難于理解，教材對反證法既不作要求，也不必提出反證法這個詞，只要把道理說明白即可．

2、教法建議

（1）概念的引入：學生從教師創設的情景中，可以直觀地認識平行線．從實例中，體會平行線在現實中是存在的，并且有它固有的屬性，因此很有必要認真地研究它．當然，我們首先要能深刻地理解它的定義．

（2）分析概念：教師可以舉一組圖形，幫助學生理解定義中強調的“在同一平面內”這個前提條件．初步形成

（3）掌握平行線的畫法：學生剛開始接觸幾何，為降低難度，適應學生的發展，提高學生的學習興趣，作圖時不要求學生寫出已知，求做，證明等步驟，只要保留作圖痕跡．通過作圖的教學使學生能準確而迅速地畫出幾何圖形，為今后的幾何學習打下良好的基礎．

（4）平行公理及其推論

在學生畫圖的過程中，教師可以提出問題，過直線外一點有幾條直線可以與已知直線平行呢？學生在動手操作后，可以體驗到公理的客觀存在性．并且可以讓有數學素養的同學，嘗試說明平行公理推論的正確性，通過說理，體會數學的嚴謹性與邏輯性．

 

教學設計示例

一、教學目標 

1．了解平行線的概念，理解學過的描述圖形形狀和位置關系的語句．

2．掌握平行公理及推論，會用三角尺和直尺過已知直線外一點畫這條直線的平行線；會用學過的幾何語句描述簡單的圖形和根據語句畫圖．

3．通過畫平行線和按幾何語句畫圖的題目練習，培養學生畫圖能力．

4．通過平行公理推論的推理，培養學生的邏輯思維能力和進行推理的能力．

二、學法引導

1．教師教法：嘗試法、引導法、發現法．

2．學生學法：在教師的引導下，嘗試發現新知，造就成就感．

三、重點、難點及解決辦法

（－）重點

平行公理及推論．

（二）難點

平行線概念的理解．

（三）解決辦法

通過引導學生嘗試發現新知、練習鞏固的方法來解決．

四、教具學具準備

投影儀、三角板、自制膠片．

五、師生互動活動設計

1．通過投影片和適當問題創設情境，引入新課．

2．通過教師引導，學生積極思維，進行反饋練習，完成新授．

3．學生自己完成本課小結．

六、教學步驟 

（－）明確目標

掌握平行公理及其推論的應用，能畫出平行線，會用幾何語句描述圖形的畫法，培養學生的邏輯推理能力．

（二）整體感知

以情境引出課題，以生活知識和已有的知識為基礎，引導學生學習平行公理及其推論，并以變式訓練強化和鞏固新知．

（三）教學過程 

創設情境，引出課題

師：前面我們學習了兩條直線相交的情形，下面清同學們看投影片．觀察投影片中的鐵路橋梁以及立在路邊的三根電線桿，再請同學們觀察黑板相對的兩條邊和橫格本中兩條橫線，若把它們向兩方延長，看成直線，它們還是相交直線嗎？

學生齊聲答：不是．

師：因此，平面內的兩條直線除了相交以外，還有不相交的情形，這就是我們本節所要研究的內容．（板書課題）

［板書］24．平行線及平行公理

【教法說明】通過具體的實物和實物的圖形，使學生建立起不相交的感性認識，同時在頭腦中初步形成平行線的圖形．

探究新知，講授新課

師：在我們生活的周圍，平面內不相交的情形還有許多，你能舉例說明嗎？

學生：窗戶相對的棱，桌面的對邊，書的對邊……

師：我們把它們向兩方無限延伸，得到的直線總也不會相交．我們把這樣的直線叫做平行線．

［板書］在同一平面內，不相交的兩條直線叫做平行線．

【教法說明】初中幾何必須重視幾何概念的直觀性，所以讓學生多觀察實物形狀，在形成了感性認識的基礎上，認識數學名稱，讓學生從中感受到數學的實在性，減少抽象性．

教師出示投影片（課本第74頁圖2–17）．

師：請同學們觀察，長方體的棱 與 無論怎樣延長，它們會不會相交？

學生：不會相交．

師：那么它們是平行線嗎？

學生：不是．

師：也就是說平行線的定義必須有怎樣的前提條件？

學生：在同一平面內．

師：誰能說為什么要有這個前提條件？

學生：因為空間里，不相交的直線不一定平行．

【教法說明】通過教師的引導，學生觀察分析，自己得出結論，從而使學生切實體會到平行線的“在同一平面內”這個前提條件的重要性．

教師在黑板上給出課本第73頁圖2–16．

講解：平行用符號“ ”表示，如圖直線 與 是平行線記作“ ”（或 ）讀作“ 平行于 ”（或 平行于 ）也就是說平行是相互的．

【教法說明】這里教師不必贅述，讓學生清楚平行線符號表示、讀法和記法就可以了，對于平行線的圖形經常會使用變式圖形，不要總是橫平豎直的，以防形成思維定式．

師：請同學們思考，在同一平面內任意畫兩條不同的直線，它們的位置關系只能有幾種情況，試畫一畫，同桌的可以討論．

學生：兩種．相交和平行．

由此師生共同小結：在同一平面內，兩條直線的位置關系只有相交、平行兩種．

嘗試反饋，鞏固練習（出示投影）

1．判斷正誤

（1）兩條不相交的直線叫做平行線．（ ）

（2）有且只有一個公共點的兩直線是相交直線．（ ）

（3）在同一平面內，不相交的兩條直線一定平行．（ ）

（4）一個平面內的兩條直線，必把這個平面分為四部分．（ ）

2．下列說法中正確的是（ ）

A．在同一平面內，兩條直線的位置關系有相交、垂直、平行三種．

B．在同一平面內，不垂直的兩直線必平行．

C．在同一平面內，不平行的兩直線必垂直．

D．在同一平面內，不相交的兩直線一定不垂直．

學生活動：學生回答，并簡要說明理由．

【教法說明】這組練習旨在鞏固學生掌握平行線定義及平面內兩直線的位置關系，通過判斷（1）、（3）題讓學生進一步體會平行線的“在同一平面內”的前提條件，通過判斷（2）、（4）題和選擇題使學生對兩直線位置關系，尤其是對垂直是相交的一種特殊情況有更深層的理解．

師：我們很容易畫出兩條相交直線，而對于平行線的畫法，我們在小學就學過用直尺和三角板畫，下面清同學在練習本上完成下面題目（投影顯示）．

已知直線 和 外一點 ，過點 畫直線 ，使 ．

師：請根據語句，自己畫出已知圖形．

學生活動：學生在練習本上畫出圖形．

師：下面請你們按要求畫出直線 ．

學生活動：學生能夠很快完成，然后請一個學生在黑板上板演，其他學生觀察他的畫圖過程是否正確，然后師生一起訂正．

注意：（1）在推動三角尺時，直尺不要動；

（2）畫平行線必須用直尺三角板，不能徒手畫．

【教法說明】畫平行線是幾何畫圖的基本技能之一，在以后的畫圖中常常會遇到，要求學生使用工具，不僅能養成良好的學習習慣，也能培養學生嚴謹的學習態度．

嘗試反饋，鞏固練習（出示投影）．

1．畫線段 ，畫任意射線 ，在 上取 、 、 三點，使 ，連結 ，用三角板畫 ， ，分別交 于 、 ，量出 、 、 的長（精確到 ）．

2．讀下列語句，并畫圖形

（1）點 是直線 外的一點，直線 經過點 ，且與直線 平行．

（2）直線 、 是相交直線，點 是直線 、 外的一點，直線 經過點 與直線 平行與直線 相交于 ．

（3）過點 畫 ，交 的延長線于 ．

學生活動：學生在練習本上按要求畫圖，并由兩個學生在黑板上畫第2題的（2）、（3）題，學生畫完后教師給出第1題的圖形（提前做好的投影片），請學生回答測量的結果，然后共同訂正第2題的（2）、（3）題．

【教法說明】這組練習重點鞏固平行線的畫法及理解描述圖形形狀和位置關系的語句，能夠根據語句畫出正確圖形，注意要求學生用準確的幾何語言反映圖形，同時真正理解幾何語言才能畫好圖形．

師：我們練習了過直線外一點畫已知直線的平行線，請同學們回憶，過直線外一點能不能畫直線的垂線，能畫幾條？

學生活動：學生思考并回答，能畫，而且只能畫一條．

師：下面請你試一試，前面我們完成的過直線外一點與已知直線平行的直線可以畫幾條，想一想，你能得到什么結論？

學生活動：學生動手操作，思考后總結出結論：經過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行．

師：我們把這個結論叫平行公理，教師板書．

【板書】平行公理：經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行．

【教法說明】學生對垂線的惟一性比較熟悉，通過對惟一性的回顧，學生能夠用類比的思想，把自己動手得到的實驗結論采用準確的幾何語言描述出來，這樣不僅培養了學生善于類比的思想，同時也訓練了學生語言的規范性．

師：過直線外一點，能畫這條直線的惟一平行線，若沒有條件“過直線外一點”，問你能畫已知直線的平行線嗎？能畫多少條？

學生：思考后，立即回答，能畫無數條．

師：請同學們在練習本上完成．

（出示投影）

已知直線 ，分別畫直線 、 ，使 ， ．

學生活動：學生在練習本上完成．

師：請同學們觀察，直線 、 能不能相交？

學生活動：觀察，回答：不相交，也就是說 ．

師：為什么呢？同桌可以討論．

學生活動：學生積極討論，各抒己見．

【教法說明】幾何的學習不僅要求學生有較強的識圖能力，而且要求學生有過硬的分析能力，也就是說理能力．初一幾何課是幾何課的起始課，從開始就讓學生養成自己動手、動腦、思考、分析問題的習慣，即加強幾何思維不慣的培養，這是個很重要的內容．

學生活動：教師讓學生積極發表意見，然后給出正確的引導．

師：我們觀察圖形，如果直線 與 相交，設交點為 ，那么會產生什么問題呢？請同學們討論．

學生活動：學生在教師的啟發引導下思考、討論，得出結論．

師：同學們想得很好，因為 ， ，于是過點 就有兩條直線 、 都與 平行，根據平行公理，這是不可能的，這就是說， 與 不能相交，只能平行，由此我們得到平行公理的推論．

［板書］如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行．

師：在同一平面內，不相交的兩條直線是平行的，那么不相交的兩條射線（或線段）也是平行的，對嗎？為什么？

學生活動：學生思考，回答：不對，給出反例圖形，

例如：如圖1所示，射線 與 就不相交，也不平行．

師：同學們想一想，當我們說兩條射線或線段平行時，實際上是什么平行才可以呢？

生：它們所在的直線平行．

嘗試反饋，鞏固練習（投影）

填空：∵ ， （已知），

∴________ _______（ ）．

學生活動：口答．

【教法說明】鞏固平行公理推論的掌握，同時讓學生清楚平行公理推論的符號語言，為今后進行推理論證打好基礎．

變式訓練，培養能力（出示投影）

選擇題

下列圖形都不相交，哪一個平行（ ）

【教法說明】進一步加深學生對平行線的理解，尤其是平行的變式圖形．

（四）總結、擴展

師：今天我們學習了平行線，知道了同一平面內兩條直線位置關系只有相交、平行兩種，完成下表：（出示投影）

學生活動：表格中的內容均由學生口答出來．

【教法說明】通過學生完成表格，不僅回顧本節所學知識，同時培養學生的歸納總結能力，使學生所學知識形成體系，從而更好地掌握知識．

八、布置作業 

（一）必做題

課本第96頁習題2.2Ａ組第3題（1）、（2）題．

（二）思考題

1．能直接利用定義判斷兩條直線是否平行嗎？

2．怎樣才能判斷兩條直線是否平行呢？

3．閱讀課本第76頁，“讀一讀”的觀察與實驗，課下同學之間相互演示．

作業 答案

3.

(1) (2)

九、板書設計 

平行線及平行公理

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