數學教案－相交線、對頂角

教學建議

1．知識結構

 

2．重點和難點分析

（1）本節課的重點是對頂角的概念和性質，這些是重要的基礎知識，在以后的學習中常常要用到，要求學生掌握．對頂角的概念是結合圖形描述的，這樣描述，便于學生在圖形中辨認.教學中不必讓學生背這些詞句，而是讓學生抓住概念的本質，教給學生在圖形中如何辨認它們.辨認對頂角的要領是：首先要有兩條直線相交構成四個角的前提條件，再找其中有公共頂點沒有公共邊（或不相鄰）的兩個角，就是對頂角.

（2）本節課的難點是對頂角性質的證明和書寫格式.要證明兩角相等，這對于剛學習推理證明的學生來說并非易事．教學時要引導學生回憶至今為止已經學過的關于兩個角相等的定理，使學生自己聯想到“同角的補角相等”這個定理，從而受到啟發獲得證明的思路．可先結合圖形用文字語言敘述推理過程，然后再“翻譯”成符號語言的幾何推理格式．要特別注意使學生明確每一步推理的根據．

3．教法建議

（1）因為本節是由相交線的模型——用釘子固定的兩根木條來引入的.所以教師要事先準備好教具，先讓學生觀察模型，對相交線建立感性認識，然后在從模型抽象出兩條相交直線.或用我們提供的課件來引入本節課，激發學生的學習興趣.

（2）教師講完了對頂角的定義后，可以用以下方法讓學生感受對頂角的特征，探索其性質.老師拿出提前準備好的剪刀，在講臺上演示.老師不停地變換剪刀的邊所成的角，讓學生思考，在剪刀的邊所在的角中，哪些角是對頂角，哪些角是鄰補角？讓學生在變化中理解對頂角和鄰補角的意義.

（3）本節課的內容適合啟發式教學，教師可以先拿出相交線的模型，轉動木條，觀察角的變化，然后抽象出兩條相交直線，再讓學生觀察四個角的特征，這四個角根據位置關系可以分幾類，這兩類角各有有什么特征？這些問題都要由老師設問、啟發，學生經過觀察、分析、歸納總結出來，讓學生自己親歷一次發現的過程，有利于學生對對頂角、鄰補角的概念和性質的理解.

 

教學設計示例

一、素質教育目標

（一）知識教學點

1．理解對頂角和鄰補角的概念，能在圖形中辨認．

2．掌握對頂角相等的性質和它的推證過程．

3．會用對頂角的性質進行有關的推理和計算．

（二）能力訓練點

1．通過在圖形中辨認對頂角和鄰補角，培養學生的識圖能力．

2．通過對頂角件質的推理過程，培養學生的推理和邏輯思維能力．

（三）德育滲透點

從復雜圖形分解為若干個基本圖形的過程中，滲透化難為易的化歸思想方法和方程思想．

（四）美育滲透點

通過實例，培養和提高學生的審美能力和審美標準；通過相交線，使學生進一步體會幾何圖形的簡單美、對稱美．

二、學法引導

1．教師教法：教具直觀演示法啟發引導、嘗試研討．

2．學生學法：動手動腦、積極參與、認真研討、學會概括．

三、重點、難點及解決辦法

（一）重點

（二）難點

在較復雜的圖形中準確辨認對頂角和鄰補角．

（三）疑點

對頂角、鄰補角的圖形識別．

（四）解決辦法

強調圖形的基本特征，指導學生逐步學會分解復雜圖形、找出基本圖形的方法．

四、課時安排

1課時

五、教具學具準備

投影儀或電腦、三角尺、自制復合膠片、木條制成的相交直線的模型．

六、師生互動活動設計

1．通過實例創設情境，引導學生進入課題．

2．通過演示實驗和學生討論、總結對頂角、鄰補角兩個概念．

3．通過學生研討、練習鞏固完成性質的講解．

4．通過學生總結完成課堂小結．

5．通過隨堂練習，檢測學生學習情況．

七、教學步驟 

（一）明確目標

能在圖形中正確辨認對頂角和鄰補角，理解其概念，掌握其性質，并運用其進行推理計算．

（二）整體感知

通過對較復雜圖形的認識和學習，逐步加深幾何知識，培養學生邏輯思維能力和邏輯推理、表達能力．

（三）教學過程 

創設情境，引入課題

投影打出本章的章前圖（投影片1），然后引導學生觀察，并回答問題．

學生活動：口答哪些道路是交錯的，哪些道路是平行的．

教師導入  ：圖中的道路是有寬度的，是有限長的，而且也不是完全直的，當我們把它們看成直線時，這些直線有些是相交線，有些是平行線．相交線、平行線都有許多重要性質，并且在生產和生活中有廣泛應用．它們就是我們本章要研究的課題：

【板書】第二章  相交線、平行線

【教法說明】以立交橋為實例引出本章內容，目的是①通過實例，讓學生了解相交線、平行線是我們日常生活中經常見到的；②通過畫面，培養學生的空間想像能力；③通過畫面，啟發學生廣泛地聯想，讓學生知道，相交線、平行線的概念是從實物中抽象出來的；④通過學生熟悉的事物，激發學生的學習興趣．

學生活動：請學生舉出現實空間里相交線、平行線的一些實例．

教師導入  ：相交線、平行線在日常生活中經常見到，有著廣泛應用，所以研究這些問題對今后的工作和學習都是有用的，也將為后面的學習做些準備．我們先研究直線相交的問題，從而引入本節課題．

【板制】2.1 相交線、對頂角

探究新知，講授新課

教師演示：取兩根木條a、b，用釘子將它們釘在一起，并且能隨意張開．固定水條a，繞釘子轉動b，可以看到，b的位置變化了，a、b所成的角a也隨著變化．這說明兩條直線相交的不同位置情況，與它們的交角大小有關．可以用它們所成的角來說明相對位置的各種情況．所以研究兩條直線相交問題首先來研究兩條直線相交得到的有公共頂點的四個角．這四個角都有一個公共頂點，其中有些有公共邊，有些沒有公共邊，故我們把這些角分成兩類：對頂角和鄰補角．

【教法說明】演示相交線的模型，目的是使學生領會研究相交線為什么要研究它們相交所成的角．

1．對頂角和鄰補角的概念

學生活動：觀察右圖，同桌討論if與Z3有什么特點，然后，舉手回答，教師統一學生觀點并板書．

【板書】∠1與∠3是直線AB、CD相交得到的，它們有一個公共頂點O，沒有公共邊，像這樣的兩個角叫做對頂角．

學生活動：讓學生找一找右圖中還有沒有對頂角，如果有，是哪兩個角？

學生口答：∠2和∠4再也是對頂角．

緊扣對頂角定義強調以下兩點：

（1）辨認對頂角的要領：一看是不是兩條直線相交所成的角，對頂角與相交線是唇齒相依，哪里有相交直線，哪里就有對頂角，反過來，哪里有對頂角，哪里就有相交線；二看是不是有公共頂點；三看是不是沒有公共邊．符合這三個條件時，才能確定這兩個角是對頂角，只具備一個或兩個條件都不行．

（2）對頂角是成對存在的，它們互為對頂角，如∠1是∠3的對頂角，同時，∠3是∠1的對頂角，也常說∠1和∠3是對頂角．

反饋練習：投影顯示（投影片2）

下列各圖中，∠l和∠2是對頂角嗎？為什么？（射線OA是活動的）

【教法說明】本組題目是鞏固對頂角概念的，通過練習，使學生掌握在圖形中辨認對頂角的要領，同時又用反例印證概念，使學生加深印象，最后一個圖形為下面講部補角做鋪墊。

學生活動：觀察圖2－l，∠1和∠2與對頂角相比，有什么相同點和不同點，從而得出鄰補角的定義．

【板書】∠l和∠2也是直線AB、CD相交得到的，它們不僅有一個公共頂點O，還有一條公共邊OA，像這樣的兩個角叫做鄰補角．

學生活動：讓學生找一找圖2－1中還有沒有其他鄰補角，如果有，是哪些角．

學生口答：∠1和∠4，∠2和∠3，∠3和∠4都是鄰補角．

【教法說明】把鄰補角的概念與對頂角概念對比著講解，便于掌握概念之間的聯系與  區別，加深對概念的理解．

提出問題：如右圖，∠1和∠2還是鄰補角嗎？為什么？

師：鄰補角也可以看成是一條直線與端點在這條直線上的一條射線組成的兩個角，由此可知，鄰補角是有特殊位置關系的兩個互補的角．右圖這樣的鄰補角在圖形中也是常見的．在這種情況下，只存在一對鄰補角，而不存在對頂角，與兩條直線相交所得的角不同．

教師演示：圖中射線OC固定在一個位置不動，把∠1和∠2拉開，并且保持角的大小不變，如右圖（投影片3）．

提出問題：∠l和∠2的和是多少度？∠l和∠2還是鄰補角嗎？為什么？

學生活動：觀察圖形的變換，回答教師提出的問題，同桌可相互討論．

【教法說明】此問題意在區別互為補角和互為鄰補角的概念，演示活動投影片，有助于學生抓住概念的本質，比教師單純地強調效果更好．

2．對頂角的性質

提出問題：我們在圖形中能準確地辨認對頂角，那么對頂角有什么性質呢？

學生活動：學生以小組為單位展開討論，選代表發言，井口答為什么．

【教法說明】學生說出對頂角∠l＝∠3后，啟發學生再說出∠2＝∠4，然后得出對頂角相等的性質．在學生理解推理思路的基礎上，板書為幾何符號推理的格式．對頂角的性質不難得出，放手讓學生展開討論，充分發揮學生的主動性，在活躍課堂氣氛的同時，培養學生的創造思維能力

【板書】∵∠1與∠2互補，∠3與∠2互補（鄰補角定義），

∴∠l＝∠3（同角的補角相等）．

注意：∠l與∠2互補不是給出的已知條件，而是分析圖形得到的；所以括號內不填已知，而填鄰補角定義．

或寫成：∵∠1＝ 180°－∠2，∠3＝180°－∠2（鄰補角定義），

  ∴∠1＝∠3（等量代換）．

【教法說明】推得“對頂角相等”這個結論的過程，是課本中初次出現的一步推理，使學生了解推理可以寫成“∵……∴……”的形式，并且每一步都要有根據，也就是括號里填的理由．這種推理的格式以后還要逐步滲透和訓練，現在不要求自己會寫推理過程，只要求學生能看明白就可以了，為以后證明打好基礎。

嘗試反饋，鞏固練習

投影顯示（投影片4）

【教法說明】本級統習是鞏固對頂角和鄰補角概念的，同時培養學生的識圖能力．第1題是課本第59頁練習第2題的變式，第2題是課本第59頁練習第3題和“想一想”的綜合．解決這類題目的關鍵是要善于從復雜圖形中分離出基本圖形．對頂角、鄰補角的基本圖形是兩條直線相交，則三條直線相交的圖形應分解為三個兩條直線交于一點的圖形．如：

為此，對頂角有 2×3＝6個，鄰補角的對數為 4×3＝12個．第3、4題是有關的概念的綜合訓練，其中第4題意在區別互為補角和互為鄰補角的概念．

投影顯示（投影片5）

【教法說明】第1題是直接利用對頂角相等的性質得出，第2、3題是結合圖形利用對頂角相等的性質，第4題是課本59負練習第4題，是兩條直線相交的一種特殊情況，為下節課講兩直線互相垂直埋下伏筆．

變式訓練，培養能力

投影顯示（投影片6）

學生活動：例題比較簡單，教師不做任何提示，讓學生在練習本上獨立完成解題過程，請一個學生板演。

解：∠3＝∠1＝40°（對頂角相等）．

∠2＝180°－40°＝140°（鄰補角定義）．

∠4＝∠2＝140°（對頂角相等）．

【教法說明】例題一方面鞏固了對頂角的性質；另一方面說明幾何里的計算題，需要用到圖形的幾何性質，因此，要有根有據地計算．例題放手讓學生自己解決，比教師單純地講解效果會更好．盡管學生書寫格式不如課本上的規范，但通過集體講評糾正后，學生印象更深刻．

學生活動：讓學生把例題中∠1＝40°這個條件換成其他條件，而結論不變，自編幾道題．

變式1：把∠l＝40°變為∠2－∠1＝40°

變式 2：把∠1＝40°變為∠2是∠l的3倍

變式3：把∠1＝40°變為∠1 ：∠2＝2：9

變式4：把∠1＝40°變為∠1＝平角

【教法說明】學生自編開放性的題目，一是活躍課堂氣氛；二是培養學生的開放思維能力和逆向思維能力．變式1、2、3均可建立方程或方程組求解，幾何中計算角度和線段長度等問題常借助代數方程來解決．

（四）總結、擴展

角的名稱

特征

性質

相同點

不同點

對頂角

①兩條直線相交面成的角

②有一個公共頂點

③沒有公共邊

對頂角相等

都是兩直線相交而成的角，都有一個公共頂點，它們都是成對出現。

對頂角沒有公共邊而鄰補角有一條公共邊；兩條直線相交時，一個有的對頂角有一個，而一個角的鄰補角有兩個。

鄰補角

①兩條直線相交面成的角

②有一個公共頂點

③有一條公共邊

鄰補角互補

學生活動：表格中的結論均由學生自己口答填出．

【教法說明】課堂小結以提問形式，由學生自己討論，系統歸納總結，以便培養學生的概括表達能力．

八、布置作業 

（一）必做題

課本第69頁習題 2.1A組第2題．

（二）思考題

課本第70頁習題2.1A組第4題

【教法說明】作業 緊緊圍繞著對頂角、鄰補角的概念及對頂角性質．思考題是對頂角性質的一個應用實例，結合圖形可以看出，活動指針的讀數，就是兩直線相交成一個角的度數，培養學生應用數學的意識．

（三）作業 答案

  2．解：（1）∠AOD的對頂角是∠BOC，∠EOC的對頂角是∠DOF．

（2）∠AOC的鄰補角是∠AOD和∠BOC，∠EOB的鄰補角是∠AOE和∠BOF.

（3）∠BOD＝∠AOC＝50°（對頂角相等），∠BOC＝180°－50＝130°（鄰補角定義）．

4．應用對頂角相等的性質測量角．

九、板書設計 

數學教案－相交線、對頂角

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