二次根式教學設計（精選15篇）

　　作為一位不辭辛勞的人民教師，常常要根據教學需要編寫教學設計，教學設計把教學各要素看成一個系統，分析教學問題和需求，確立解決的程序綱要，使教學效果最優化。那么什么樣的教學設計才是好的呢？下面是小編整理的二次根式教學設計（精選15篇），僅供參考，大家一起來看看吧。

　　二次根式教學設計 1

　　一、教學目標

　　1.理解分母有理化與除法的關系。

　　2.掌握二次根式的分母有理化。

　　3.通過二次根式的分母有理化，培養學生的運算能力。

　　4.通過學習分母有理化與除法的關系，向學生滲透轉化的數學思想

　　二、教學設計

　　小結、歸納、提高

　　三、重點、難點解決辦法

　　1.教學重點：分母有理化。

　　2.教學難點：分母有理化的技巧。

　　四、課時安排

　　1課時

　　五、教具學具準備

　　投影儀、膠片、多媒體

　　六、師生互動活動設計

　　復習小結，歸納整理，應用提高，以學生活動為主

　　七、教學過程

　　【復習提問】

　　二次根式混合運算的步驟、運算順序、互為有理化因式。

　　例1 說出下列算式的運算步驟和順序：

　　（1）（先乘除，后加減）。

　　（2）（有括號，先去括號；不宜先進行括號內的運算）。

　　（3）辨別有理化因式：

　　有理化因式： 與 ， 與 ， 與 …

　　不是有理化因式： 與 ， 與 …

　　化簡一個式子，如果分母是二次根式，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法（依據分式的基本性質）。

　　例如：等式子的化簡，如果分母是兩個二次根式的和，應該怎樣化簡？

　　引入新課題。

　　【引入新課】

　　化簡式子 ，乘以什么樣的式子，分母中的`根式符號可去掉，結論是分子與分母要同乘以 的有理化因式，而這個式子就是 ，從而可將式子化簡。

　　例2 把下列各式的分母有理化：

　　（1） ； （2） ； （3）

　　解：略。

　　注：通過例題的講解，使學生理解和掌握化簡的步驟、關鍵問題、化簡的依據。式子的化簡，若分子與分母可分解因式，則可先分解因式，再約分，使化簡變得簡單。

　　二次根式教學設計 2

　　一、教學目標

　　1、使學生能夠利用積的算術平方根的性質進行二次根式的化簡與運算。

　　2、會進行簡單的二次根式的乘法運算。

　　3、使學生能聯系幾何課中學習的勾股定理解決實際問題。

　　二、教學重點和難點

　　1、重點：會利用積的算術平方根的性質化簡二次根式。

　　2、難點：二次根式的乘法與積的算術平方根的關系及應用。

　　重點難點分析：

　　本節的教學重點是利用積的算術平方根的性質進行二次根式的計算和化簡。積的算術平方根的性質是本節的中心內容，化簡和運算都是圍繞其進行的，而運用此性質計算化簡又是二次根式的化簡和混合運算的基礎。二次根式的計算和化簡通常與如勾股定理等幾何方面的知識綜合在一起。

　　本節難點是二次根式的乘法與積的算術平方根的'關系及應用。積的算術平方根在應用時既要強調這部分題目中的字母為正數，但又要注意防止學生產生字母只表示正數的片面認識。要讓學生認識到積的算術平方根性質與根式的乘法公式是互為逆運算的關系。綜合應用性質或乘法公式時要注意題目中的條件一定要滿足。

　　三、教學方法

　　從特殊到一般總結歸納的方法，類比的方法，講授與練習結合法。

　　1、由于性質、法則和關系式較集中，在二次根式的計算、化簡和應用中又相互交錯，綜合運用，因此要使學生在認識過程中脈絡清楚，條理分明，在教學時就一定要逐步有序的展開。在講解二次根式的乘法時可以結合積的算術平方根的性質，讓學生把握兩者的關系。

　　2、積的算術平方根的性質和xx及比較大小等內容都可以通過從特殊到一般的歸納方法，讓學生通過計算一組具體的式子，引導他們做出一般的結論。由于歸納是通過對一些個別的、特殊的例子的研究，從表象到本質，進而猜想出一般的結論，這種思維過程對于初中學生認識、研究和發現事物的規律有著重要的作用，所以在教學中對于培養的思維品質有著重要的作用。

　　四、教學手段

　　利用投影儀。

　　五、教學過程

　　（一）引入新課觀察例子得到結果

　　類似地可以得到：

　　由上一節知道一般地，有=（a，b）

　　通過上面的例子，大家會發現=（a，b）也成立

　　（二）新課

　　積的算術平方根。

　　由前面所舉特殊的例子，引導學生總結出：一般地，有（a≥0，b≥0）。

　　積的算術平方根，等于積中各因式的算術平方根的積。

　　要注意a≥0、b≥0的條件，因為只有a、b都是非負數公式才能成立，這里要啟發學生為什么必須a≥0、b≥0。在本章中，如果沒有特別說明，所有字母都表示正數，下面啟發學生從運算順序看，等號左邊是將非負數a、b先做乘法求積，再開方求積的算術平方根，等號右邊是先分別求a、b的兩因數的算術平方根，然后再求兩個算術平方根的積。根據這個性質可以對二次根式進行恒等變形。

　　化簡，使被開方數不含完全平方的因數（或因式）：

　　說明：

　　1、當所得二次根式的被開方數的因數（式）中，有一些冪的指數不小于

　　2、即含有完全平方的因式（數），我們就可利用積的算術平方根的性質，并用=a（a）來化簡二次根式。

　　3、（a≥0，b≥0）可以推廣為（a≥0，b≥0，c≥0）

　　化簡二次根式的步驟

　　1、將被開方數盡可能分解出平方數；

　　2、應用=（a，b）

　　3、將平方項利用=化簡

　　小結：

　　1、積的算術平方根與二次根式的乘法的互逆性；

　　2、靈活應用他們進行二次根式的乘法運算及化簡二次根式

　　作業；由于本節課后習題較少，可適當補充緊貼教材的課外習題

　　二次根式教學設計 3

　　一、教學內容與學情分析

　　1.本課在教材、新課標中的地位與作用

　　本課內容是二次根式章節的復習課，是學生在學完新人教版八年級教材下冊第十六章后的一個總結復習。二次根式是初中數學知識體系與結構中一個不可或缺的部分，是中考直接考查的一個重點內容。本課復習內容的教學將讓學習更為系統地認識二次根式，并在學習新知的基礎上得到一個升華。同時也是為了學生能夠在下一張勾股定理以及九年級的解直角三角形學習中打下一些有效的基礎。

　　關于二次根式在《數學課程標準》中提出要求：

　　1.了解二次根式的概念及其加、減、乘、除運算法則;

　　2.會用它們進行有關實數的簡單四則運算(不要求分母有理化);

　　在本章內容新授過程中，教師更多的關注了學生對概念及運算法則的講解，對方法、技巧、能力等各方面并沒有對學生作出更高的要求，同時學生本身在學習新課知識時，也是一種模糊的感覺。對課程標準提出的第2點：會用它們進行有關實數的簡單四則運算并不能很有效的完成。而本節復習課的教學將給學生一個鞏固提高的機會，讓大多數學生能加深對二次根式的運算的理解，同時更是為學生掌握更多的學習方法、學習技巧，提高學生的能力提供機會。徹底地貫徹課程標準所提出的要求，完成九年級學生應完成的任務。

　　3.本課知識點與前后知識點的聯系

　　本課內容是綜合性復習，所講知識點學生基本都熟悉，只不過是沒有真正的理解透徹，甚至有些學生可能都已經有部分漸漸淡忘。本節內容的教學其實從本質上講就是為學生理清知識點，建立一個完整的知識體系與結構。把已學知識系統、全面地呈現在學生的面前，同時也是為了讓學生能夠對二次根式的理解與運算真正落實到位作出努力。

　　其實，本課內容的教學不單單是為了復習鞏固，更重要的是讓學生對本章的知識在初中數學教材中明確地位與作用，讓學生感受本章知識的重要性，為即將學習后面的知識做好鋪墊工作。

　　4.學生已有的知識基礎

　　由于新課內容結束離綜合性復習時間較長，可以說大多數學生對本章的知識并不是非常熟悉，但學生已具備的知識基礎從理論上講應該是完全具備的，只不過需要一個回顧的過程。同時，隨著知識面的拓廣以及一些章節中對二次根式的應用，逐步讓學生對二次根式這一章的內容也有了更多的認識。在復習時，學生應該說還是很易于接受的。

　　5.學生學習新知的障礙

　　在學生已有的知識基礎上，本節課的教學其實更主要的是經歷回顧、理解、鞏固的過程。本節教學內容的新知并不是真正的“新的知識點、新的知識技能、新的知識能力”，而是一種對已學知識的一種重新加工處理的能力，從已學的 知識上提煉出更精粹的東西來。這也正是學生在這方面的缺憾，需要教師的有效引導與分析。這更是學生的主要障礙。

　　二、目標的設定及重難點

　　1.目標的準確與完整

　　知識目標：

　　(1)能夠有效回顧本章的重要基礎知識;

　　(2)二次根式的計算與化簡;

　　情感目標：

　　(1)對章節內容的總體把握，全面分析;

　　(2)體會對問題的解決辦法的優化處理;

　　能力目標：

　　(1)提高學生善于處理問題的能力;

　　(2)培養學生構建知識體系，形成知識系統的能力;

　　2.重點、難點確立及依據

　　二次根式的計算與化簡是新授時的重點，更也是復習課上的重點。前面的公式、運算法則等都是為了這些計算與化簡服務的，學生真正體現所學的基礎知識應就是在解決這些問題上。故此，本課教學內容的重點設定為：

　　二次根式的計算與化簡;

　　伴隨著重點內容的出現，學生的問題也得以體現。要熟練地解決二次根式的計算與化簡問題，需要學生真正理解所要求的基礎知識，并靈活的運用基礎知識解決問題。繼而重新回歸到重點內容上。然而這些都是學生的困難之處。也就是說本課的重點內容就是難點內容。

　　3.重、難點突破方法

　　本課內容的重點也就是難點，突破的方法都在于如何有效地理解二次根式的模型，以及如何運用基礎的知識去解決較為復雜的問題。而這些都在基礎的回顧上讓學生得以重新的認識，所以，突破的方法之一就來源于學生對已學知識的掌握程度，另外，通過對比以前所學的知識可以讓學生進行方法的探索以及能力的`培養，這正是重難點突破的方法之二。

　　三、教法設計

　　自主復習基礎知識(整理知識點)、復習測評→→合作探究→→達標訓練→堂清檢測

　　四.學法設計

　　1.學生學習本課知識應采取的方法

　　由于本課是復習課，更多的情況之下學生參與課堂的比例很大。所以，在課堂上，學生學生應積極參與課堂，通過對比新授與復習之間的不同，在課堂上形成新的認識，教師更是注重對學生系統分析問題的能力的培養。

　　2.培養學生能力采用的方法

　　復習課是對學生所學知識的一個升華的階段，在本節課上應著重關注前后學習方法，問題的思考方式的對比，讓學生主動的講，主動的暴露更多的問題才能讓學生獲得真正的技能，真正的提高學生的能力。

　　3.學生主題作用體現的方法與手段

　　合作交流(師生交流、生生交流)是解決本課內容所采取的一個必要環節，敢于質疑更是解決本課內容的關鍵所在。在整個教學中學生的主體地位得到進一步的確立，教師只是通過問題的形式以及組織課堂活動的形式將學生的思維聯系在一起，而學生在課堂上無疑是一個真正的主宰者。

　　五、教學過程

　　①基礎回顧與測評：將本章的基礎知識都以一些常見的基礎問題的形式展現，便于學生理解更便于學生對二次根式的模型的真正理解;

　　②整理知識點：一個問題整理一個知識點，讓學生能對號入座，便于掌握與分析;

　　③合作探究：對本章中典型的計算與化簡進行專門的探究講解，突出重點，突破難點;

　　④達標訓練：對所復習的知識點進行鞏固訓練，已達到進一步掌握;

　　⑤堂清檢測：針對不同的學生，不同的問題進行不同的檢測，以確定其對本章所學知識的掌握情況，達到實現面向全體教學的目標;

　　六、作業設計

　　1.作業設計目標

　　根據不同學生掌握新知的程度不同，對作業的完成也有不同的要求。為此，對于A類學生應能運用新知解決相關程度的問題(鞏固提高第1、2、3、4、5題);而B類學生要求解決相關的基礎性問題(鞏固提高第1、2題)，對與新知相關程度的問題應積極嘗試;

　　2.難易梯度和針對性

　　學生學習新知掌握的程度不同，對新知進行訓練的要求就不同。但是，作業的目的都應針對本課內容的教學，故本課作業應完成課后第1~5題。第1、2題是一個基礎性的問題，學生大體上應能解決。而第3~5題是與本課教學相對應的相關程度的問題，A類的學生應能較好的解決，B類學生則要求積極的嘗試。

　　二次根式教學設計 4

　　一、案例背景：

　　本節是九年級上學期數學的起始課。二次根式的學習，是對代數式的進一步學習。本節主要經歷二次根式的發生過程及對二次根式的理解。掌握求二次根式的值和二次根式根號內字母的取值范圍。為以后的運用二次根式的運算解決實際問題打好基礎。

　　二、案例描述：

　　1、學習任務分析：

　　通過對數和平方根、算術平方根的復習，鼓勵學生經歷觀察、歸納、類比等方法理解二次根式的概念。在解決實際問題的時候，注意轉化思想的`滲透。體會分析問題、解決問題的方法，積累數學活動經驗。比如求二次根式根號內的字母的取值范圍，就是將問題轉化為不等式來解決。注意學生數學書寫格式的規范，為以后的學習打好基礎。為了使學生更好地掌握這一部分內容，遵循啟發式教學原則，用復習以前學過的知識導入新課。設計合作學習活動，引導學生操作、觀察、探索、交流、發現、思維，解決實際問題的過程，真正把學生放到主體位置。

　　2、學生的認知起點分析：

　　學生已掌握數的平方根和算術平方根。這為經歷二次根式概念的發生過程做好準備。另外，學生對數的算術平方根的理解作為基礎，經歷跟此根式概念的發生過程，引導學生對二次根式概念的理解。

　　案例反思：

　　1.下列代數式若能作為二次根式的被開方數，則求出字母的取值范圍？若不能，則說明理由。1-2a-2a2-1(2+a)2-(a-5)2

　　以往對這類問題的回答都是全班回答，有些學生反面信息不能體現出來。采取的措施是全班舉手勢回答，可以做二次根式的被開方數舉“布”，若不能舉“拳頭”。使班級能夠全面參與，避免集體回答所體現不出的問題。

　　2.合作活動：

　　第一位同學——出題者：請你按表中的要求寫完后，按順時針方向交給下一位同學；

　　第二位同學——解題者：請你按表中的要求解完后，按順時針方向交給下一位同學；

　　第三位同學——批改者：請你用藍筆批改，若有錯誤，請與解題者商議并請其訂正，完成交給你信任的同學用紅筆復；

　　第四位同學——復查者：請你一定要把好關哦！

　　出題者姓名：

　　解題者姓名：

　　第一個二次根式：

　　1.要使式子的值為實數，求x的取值范圍。

　　2.寫出x的一個值，使式子的值為有理數，并求出這個有理數。

　　3.寫出x的一個值，使式子的值為無理數，并求出這個無理數。

　　第二個二次根式：

　　1.要使式子的值為實數，求x的取值范圍。

　　2.寫出x的一個值，使式子的值為有理數，并求出這個有理數。

　　3.寫出x的一個值，使式子的值為無理數，并求出這個無理數。

　　二次根式教學設計 5

　　一、說教材

　　首先談一談我對教材的理解。本節課選自人教版八年級下冊，主要探究二次根式加減法的計算方法。此前學生在學習二次根式的性質和乘除法時都有過化簡二次根式的經歷，為本節課的學習做了良好的鋪墊;本節課的學習為后續學習二次根式的混合運算打下基礎。

　　二、說學情

　　再來談談學生的情況。這一階段的學生已經具備了一定的發現問題、解決問題的能力，邏輯思維和計算能力也有了很大的提升。因此教師在教學過程中，要針對學生的特點進行有針對的教學，以便于課程內容的有效展開。

　　三、說教學目標

　　基于以上分析，我制定了如下三維教學目標：

　　(一)知識與技能

　　掌握二次根式加減法的計算方法，并能用以解決簡單問題。

　　(二)過程與方法

　　通過探究二次根式加減法的計算方法的過程，進一步感受由特殊到一般的思想，提升運算能力。

　　(三)情感、態度與價值觀

　　感受數學和生活息息相關，提升學習數學的興趣。

　　四、說教學重難點

　　在教學目標的實現過程中，教學重點是二次根式加減法的計算方法，教學難點是二次根式加減法的計算方法的探究。

　　五、說教法學法

　　現代教學理論認為，在教學過程中，學生是學習的'主體，教師是學習的組織者、引導者、合作者。根據這一教學理念，本節課我將采用講授法、練習法、小組合作探究等教學方法。

　　六、說教學過程

　　下面重點談談我對教學過程的設計。

　　(一)導入新課

　　此時我會請學生嘗試總結二次根式加減法的計算方法。以學生的現有能力，能夠說出其中的關鍵內容。我會在此基礎上予以規范：一般地，二次根式加減時，可以先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數相同的二次根式進行合并。

　　以上活動使得學生親身經歷了知識的形成過程，更容易理解和接受，同時能夠提升分析問題、解決問題與類比遷移等諸多方面的能力。

　　(三)課堂練習

　　對于本節課而言，探究計算方法是其中一項目標，鞏固練習也同樣重要。我會選用教材上的例1和例2作為課堂練習題。

　　例1的第(1)小題是兩個具體的二次根式相減，相對簡單，直接考查二次根式加減法的計算方法;第(2)小題二次根式的被開方數中含有字母，更加具有一般性，在一定程度上考驗抽象思維。

　　例2第(1)小題難度有所提升，不僅二次根式相對復雜，而且是加減混合運算;第(2)小題更是在加減混合運算的基礎上出現了小括號，并且各括號內部無法合并，因此多了一個去括號的步驟。

　　這樣的練習題不僅進一步完善了二次根式加減法的計算方法，而且能讓學生體會到二次根式的加減與整式的加減在流程上的一致性，從而建立新舊知識間的聯系，完善知識體系。

　　(四)小結作業

　　最后，我會請學生自主總結本節課的收獲，在鍛煉學生的總結與表達能力的同時獲得教學反饋。

　　課后作業一方面是完成課后練習，再次鞏固二次根式的加減法;另一方面是總結二次根式的概念、性質及運算法則，以便形成系統的認知。

　　二次根式教學設計 6

　　一、說教材

　　本節課選自人教版九年級數學上冊第二十一章二次根式第一節的內容。“二次根式”是《課程標準》“數與代數”的重要內容。本章是在第13章實數(13.1平方根;13.2立方根;13.3實數)的基礎上，進一步研究二次根式的概念、性質、和運算。本章內容與已學內容“實數”“整式”“勾股定理”聯系緊密，同時也為以后將要學習的“銳角三角函數”、“一元二次方程”和“二次函數”等內容打下重要基礎。

　　二、說學情

　　學生已經學習了平方根(算術平方根)等有關知識，有了一定的知識基礎和認識能力。本課時及后面的知識的學習，對學生思維的嚴謹性、分類討論及類比的數學思想等都有了更高的要求，如果學生在此不能很好地理解和正確地認知，將對后續的學習產生很大的影響，所以要求學生積極探究與思考，及時加以訓練鞏固，克服學習困難，真正“學會”。

　　三、說教學目標

　　根據大綱的要求和教材結構內容分析，結合九年級學生的實際水平，考慮到學生已有的'認知結構心理特征，本節課可確定如下教學目標：

　　1.知識與技能：掌握二次根式的概念，二次根式的取值范圍和被開方數的取值范圍

　　2.過程與方法：根據條件處理問題的能力及分類討論問題的能力

　　3.情感態度價值觀：嚴謹的科學精神

　　四、說教學重點和難點

　　教學重點：二次根式中被開方數的取值范圍

　　教學難點：二次根式的取值范圍

　　五、說教法

　　教學活動的本質是一種合作，一種交流。學生是數學學習的主人，教師是數學學習的組織者、引導者與合作者。依據學生的年齡特點和已有的知識基礎，本節課注重加強知識間的縱向聯系，拓展學生探索的空間，體現由具體到抽象的認識過程。為了為后續學習打下堅實的基礎，例如在“銳角三角函數”一章中，會遇到很多實際問題，在解決實際問題的過程中，要遇到對二次根式進行條件約束等問題，本課適當加強練習，讓學生養成聯系和發展的觀點學習數學的習慣。

　　六、說學法

　　新課程標準指出：學生是學習的主體。要讓學生成為真正的主人，需要在數學教學的過程中，讓老師引導學生自主思考、合作探究、共同總結，從而體現學生學習的主體地位。本節課主要采用自主學習，合作探究，引領提升的方式，啟發式、講練結合的方法展開教學。先提出問題，讓學生探討、分析問題，師生共同歸納，得出概念;再對概念的內涵進行分析，得出幾個重要結論，并運用這些重要結論進行二次根式的計算和化簡的學習。通過對本節課的學習，使學生們的發散性思維得以啟發,學生們的觀察、分析、發現問題的能力得以鍛煉，學生辯證唯物主義觀點得以培養。

　　二次根式教學設計 7

　　教學目標

　　1、根據了解二次根式的概念：

　　2、知道被開方數必須是非負數的理由；

　　3、能運用二次根式的性質解決實際問題

　　4、新設計：我們知道，用字母表示數，可以將字母和數一起運算。前面已經學習了單項式、多項式和分式等概念和運算，可以發現，式的運算本質上就是對符號運用運算律所進行的形式運算。本節課主要討論如何對數和字母開平方而得到的特殊式子——二次根式的加、減、乘、除運算。前面我們學習的平方根和算術平方根的概念和性質是學習二次根式的基礎，我們先來回憶一下平方根和算術平方根的有關知識。

　　5、新設計：問題1平方根的概念，算術平方根的概念，平方根的性質。

　　6、學情分析：本班40名學生，成績參差不齊，程度差距很大，鑒于此，對于學生要分層教學。

　　7、重點難點：

　　1.重點：形如（a≥0）的式子叫做二次根式的概念；

　　2.難點：運用二次根式的性質解決實際問題。

　　8、教學過程6.1第一學時教學活動

　　活動1【講授】二次根式

　　教學過程設計

　　創設情境，提出問題

　　引言

　　我們知道，用字母表示數，可以將字母和數一起運算。前面已經學習了單項式、多項式和分式等概念和運算，可以發現，式的運算本質上就是對符號運用運算律所進行的形式運算。本節課主要討論如何對數和字母開平方而得到的特殊式子——二次根式的加、減、乘、除運算。前面我們學習的平方根和算術平方根的概念和性質是學習二次根式的基礎，我們先來回憶一下平方根和算術平方根的有關知識。

　　問題1平方根的概念，算術平方根的概念，平方根的性質。

　　師生活動：給學生充分思考和討論時間，讓他們回憶有關平方根和算術平方根的有關知識，才能在此基礎上再進一步研究二次根式概念。

　　設計意圖：回顧已學的數和式的運算，叢數和式運算的完整性角度提出要研究的問題，讓學生了解本章將要學習的主要內容，起到先行組織者的作用。

　　問題2請思考下列問題

　　面積為3的正方形的邊長為，面積為S的正方形邊長為。

　　一個長方形圍欄，長是寬的2倍，面積為130㎡，則它的寬為m。

　　一個物體從高處自由落下，落在地面所用的時間t（單位：s）與開始落下的高度h（單位：m）滿足關系h=5t2。如果用含有h的式子表示t，則t為。

　　師生活動：學生思考并完成上述問題，用算術平方根表示結果，教師進行適當引導和評價。關鍵是幫助學生實現從數的算術平方根到用含有字母的式子表示算術平方根的抽象。

　　設計意圖：為概括二次根式的概念提供具體例子，同時發展符號意識。

　　抽象概括，形成概念

　　問題3上面得到的式子有什么共同特征？

　　師生活動：教師引導學生概括得出共同特征，并給出二次根式的定義。

　　追問1中a的取值有要求嗎？為什么？

　　師生活動：教師引導學生討論，分析共同特點，歸納得到二次根式的概念，并強調“被開方數非負”。

　　追問2二次根式有什么樣的特點？

　　師生活動：給學生充分的思考和討論時間，讓學生總結二次根式的'特點，教師歸納總結。

　　設計意圖：采用從具體到抽象的方式，通過歸納的出二次根式的概念。

　　辨析概念，應用鞏固

　　例1下列各式是二次根式嗎？

　　師生活動：教師引導學生從二次根式的特征出發思考問題。

　　例2求下列二次根式中字母的取值范圍：

　　師生活動：教師可以通過問題“觀察各式被開方數是什么？你能根據二次根式的概念的帶答案嗎？”引導學生從概念出發思考問題。

　　追問：求二次根式中字母的取值范圍的基本依據：

　　師生活動：給學生充分的思考和討論時間，讓學生總結回答，教師歸納總結。

　　問題4 x取何值時，下列二次根式有意義?

　　師生活動：學生搶答加分，調動學大亨的積極性。

　　設計意圖：讓學生獨立思考，再追問。

　　問題5計算

　　師生活動：通過簡單計算讓學生總結規律。

　　例3計算

　　師生活動：學生直接回答。

　　設計意圖：通過加分制調動學生的積極性，提高學生的注意力，通過練習鞏固知識點。

　　問題7計算

　　師生活動：通過簡單計算讓學生總結規律。

　　追問：

　　師生活動：學生討論回答，教師歸納總結。

　　設計意圖：通過簡單計算學生自己歸納總結二次根式的性質，加深學生的印象。

　　綜合應用，深化提高

　　練習1學生完成教科書第3頁的練習。

　　練習2若１＜x＜４，則化簡

　　設計意圖：辨別二次根式的概念，確定二次根式有意的條件。利用二次根式的性質解題。

　　小結

　　教師與學生一起回顧本節課所學主要內容，并請學生回答下列問題：

　　什么叫二次根式？二次根式有意義的條件是什么？二次根式的值的范圍是什么？

　　二次根式與算術平方根有什么聯系與區別？

　　我們以前學過整式、分式都能像數一樣進行運算，你認為對于二次根式應該進一步研究哪些問題？

　　設計意圖：共同回顧本節課學習的概念，再次練習算術平方根理解二次根式的概念，提出二次根式應該研究的問題。

　　布置作業

　　教科書習題16.1第1、2題。

　　教學反思：

　　1.在實際授課中，通過以下步驟讓學生認識、理解、并掌握本節知識：

　　（1）讓學生回顧了算術平方根與平方根的概念，并且通過一個思考欄目的兩道題，得出二次根式的定義后又復習了算術平方根具有雙重非負性；

　　（2）通過練習掌握如何判斷一個式子是否是二次根式的條件，并經過例1掌握二次根式在實數范圍內有意義的條件；

　　（3）通過練習讓學生得出二次根式的兩個性質，體會從特殊到一般的思維過程，進而掌握公式的一般推導方法；……，本節課大部分時間都是引導學生邊學邊做，讓學生經歷了整個學習過程。

　　2.在學習過程中，突出了引導學生自己得出結論，特別是二次根式的兩個性質，在做完思考題之后，學生自己就初步得出了結論，而且通過其他學生的補充越來越完善。

　　3.讓學生自己找出性質1和性質2的區別與聯系，雖然不夠系統和完整，但通過這樣的訓練，培養了學生總結規律的能力。

　　4.在實際教學中，仍然存在著對課堂時間把握不精確的問題，出現了前松后緊的現象，以致有深度的練習沒時間完成，結束的也比較倉促。在今后教學中，應注意時間的掌控。

　　5.在引導學生探索求知和互動學習方面還有欠缺。新的教學理念要求教師在課堂教學中注意引導學生探究學習，在我的課堂教學中，對學生探索求知進行了引導，并且鼓勵大家自己得出結論，但在互動方面做的還不夠，大部分學生都是獨立思考，很少與同學合作交流，今后的教學中應多培養學生合作交流的意識，這樣有助于他們今后的生活和學習。

　　二次根式教學設計 8

　　1.教學目標

　　（1）經歷二次根式的乘法法則和積的算術平方根的性質的形成過程；會進行簡單的二次根式的乘法運算；

　　（2）會用公式化簡二次根式。

　　2.目標解析

　　（1）學生能通過計算發現規律并對其進行一般化的推廣，得出乘法法則的內容；

　　（2）學生能利用二次根式的乘法法則和積的算術平方根的性質，化簡二次根式。

　　教學問題診斷分析

　　本節課的學習中，學生在得出乘法法則和積的算術平方根的性質后，對于何時該選用何公式簡化運算感到困難。運算習慣的養成與符號意識的養成、運算能力的形成緊密相關，由于該內容與以前學過的實數內容有較多的聯系，例如，整式中的乘法公式在二次根式的運算中也成立，在教學中，要多從聯系性上下力氣。，培養學生良好的運算習慣。

　　在教學時，通過實例運算，對于將一個二次根式化為最簡二次根式，一般有兩種情況：

　　（1）如果被開方數是分數或分式（包括小數），可以采用直接利用分式的性質，結合二次根式的性質進行化簡（例見教科書例6解法1），也可以先寫成算術平方根的商的形式，再利用分式的性質處理分母的根號（例見教科書例6解法2）；

　　（2）如果被開方數不含分母，可以先將它分解因數或分解因式，然后吧開得盡方的因數或因式開出來，從而將式子化簡。

　　本節課的教學難點為：二次根式的性質及乘法法則的正確應用和二次根式的化簡。

　　教學過程設計

　　1、復習引入，探究新知

　　我們前面已經學習了二次根式的概念和性質，本節課開始我們要學習二次根式的乘除。本節課先學習二次根式的乘法。

　　問題1什么叫二次根式？二次根式有哪些性質？

　　師生活動學生回答。

　　【設計意圖】乘法運算和二次根式的化簡需要用到二次根式的性質。

　　問題2教材第6頁“探究”欄目，計算結果如何？有何規律？

　　師生活動學生計算、思考并嘗試歸納，引導學生用自己的語言描述乘法法則的內容。

　　【設計意圖】學生在自主探究的`過程中發現規律，運用類比思想，由特殊到一般地，采用不完全歸納的方法得出二次根式的乘法法則。要求學生用數學語言和文字分別描述法則，以培養學生的符號意識。

　　2、觀察比較，理解法則

　　問題3簡單的根式運算。

　　師生活動學生動手操作，教師檢驗。

　　問題4二次根式的乘除成立的條件是什么？等式反過來有什么價值？

　　師生活動學生回答，給出正確答案后，教師給出積的算術平方根的性質。

　　【設計意圖】讓學生運用法則進行簡單的二次根式的乘法運算，以檢驗法則的掌握情況。乘法法則反過來就是積的.算術平方根的性質，性質是為運算服務的，積的算術平方根的性質將積的算術平方根分解成幾個因數或因式的算術平方根的積，利用整式的運算法則、乘法公式等可以簡化二次根式，培養學生的運算能力。

　　3、例題示范，學會應用

　　例1化簡：(1)二次根式的乘除；

　　(2)二次根式的乘除。

　　師生活動提問：你是怎么理解例(1)的？

　　如果學生回答不完善，再追問：這個問題中，就直接將結果算成二次根式的乘除可以嗎？你認為本題怎樣才達到了化簡的效果？

　　師生合作回答上述問題。對于根式運算的最后結果，一般被開方數中有開得盡方的因數或因式，應依據二次根式的性質二次根式的乘除將其移出根號外。

　　再提問：你能仿照第(1)題的解答，能自己解決(2)嗎？

　　【設計意圖】通過運算，培養學生的運算能力，明確二次根式化簡的方向。積的算術平方根的性質可以進行二次根式的化簡。

　　例2計算：(1)二次根式的乘除；

　　(2)二次根式的乘除；

　　(3)二次根式的乘除

　　師生活動學生計算，教師檢驗。

　　（1）在被開方數相乘的時候，就可以考慮因數或因式分解，由二次根式的乘除直接可得二次根式的乘除而不必先寫成二次根式的乘除再分解；

　　（2）二次根式的乘法運算類似于整式的乘法運算，交換律、結合律都是適用的。對于根號外有系數的根式在相乘時，可以將系數先相乘作為積的系數，再對根式進行運算；

　　（3）例(3)的運算是選學內容。讓學有余力的學生學到“根號下為字母的二次根式”的運算。本題先利用積的算術平方根的性質，得到二次根式的乘除，然后利用二次根式的乘法法則，變成二次根式的乘除，由于二次根式的乘除可以判斷二次根式的乘除，因此直接將x移出根號外。

　　【設計意圖】引導學生及時總結，強調利用運算律進行運算，利用乘法公式簡化運算。讓學生認識到，二次根式是一類特殊的實數，因此滿足實數的運算律，關于整式運算的公式和方法也適用。

　　教材中雖然指明，如未特別說明，本章中所有的字母都表示正數，但仍應強調，看到根號就要注意被開方數的符號。可以根據二次根式的概念對字母的符號進行判斷，在移出根號時正確處理符號問題。

　　4、鞏固概念，學以致用

　　練習：教科書第7頁練習第1題。第10頁習題16.2第1題。

　　【設計意圖】鞏固性練習，同時檢驗乘法法則的掌握情況。

　　5、歸納小結，反思提高

　　師生共同回顧本節課所學內容，并請學生回答以下問題：

　　（1）你能說明二次根式的乘法法則是如何得出的嗎？

　　（2）你能說明乘法法則逆用的意義嗎？

　　（3）化簡二次根式的基本步驟是怎樣？一般對最后結果有何要求？

　　6、布置作業：教科書第7頁第2、3題。習題16.2第1，6題。

　　五、目標檢測設計

　　1、下列各式中，一定能成立的是( )

　　A.二次根式的乘除B.二次根式的乘除

　　C.二次根式的乘除D.二次根式的乘除

　　【設計意圖】考查二次根式的概念和性質，這是進行二次根式的乘法運算的基礎。

　　2、化簡二次根式的乘除______________________________。

　　【設計意圖】二次根式是特殊的實數，實數的相關運算法則也適用于二次根式。

　　3、已知二次根式的乘除，化簡二次根式二次根式的乘除的結果是（）

　　A.二次根式的乘除B.二次根式的乘除C.二次根式的乘除D.二次根式的乘除

　　【設計意圖】鞏固二次根式的性質，利用積的算術平方根的性質正確化簡二次根式。

　　二次根式教學設計 9

　　教材分析:

　　本節內容出自九年級數學上冊第二十一章第三節的第一課時，本節在研究最簡二次根式和二次根式的乘除的基礎上，來學習二次根式的加減運算法則和進一步完善二次根式的化簡。本小節重點是二次根式的加減運算，教材從一個實際問題引出二次根式的加減運算，使學生感到研究二次根式的加減運算是解決實際問題的需要。通過探索二次根式加減運算，并用其解決一些實際問題，來提高我們用數學解決實際問題的意識和能力。另外，通過本小節學習為后面學生熟練進行二次根式的加減運算以及加、減、乘、除混合運算打下了鋪墊。

　　學生分析:

　　本節課的內容是知識的延續和創新，學生積極主動的投入討論、交流、建構中，自主探索、動手操作、協作交流，全班學生具有較扎實的知識和創新能力，通過自學、小組討論大部分學生能夠達到教學目標，少部分學生有困難，基礎差、自學能力差，因此要提供賞識性評價教學策略，給予個別關照、心理暗示以及適當的精神激勵，克服自卑心理，讓他們逐步樹立自尊心與自信心，從而完成自己的學習任務。

　　設計理念:

　　新課程有效課堂教學明確倡導，學生是學習的主人，在學生自學文本的.基礎上動手實踐、自主探究、合作交流，來倡導新的學習觀，讓他們完成二次根式加減知識研究。教師從過去知識的傳授者轉變為學生的自主性、探究性、合作性學習活動的設計者和組織者，與學生零距離接觸共同探究。在教學過程中教師設置開放的、面向實際的、富有挑戰性的問題情境，使學生在嘗試、探索、思考、交流與合作中培養分析、歸納、總結的能力，把“要我學”變成“我要學”，通過開放式命題，嘗試從不同角度尋求解決問題的方法，養成良好的學習習慣，掌握學習策略，并根據活動中示范和指導培養學生大膽闡述并討論觀點，說明所獲討論的有效性，并對推論進行評價。從而營造一個接納的、支持的、寬容的良好氛圍進行學習。

　　教學目標知識與技能目標：

　　會化簡二次根式，了解同類二次根式的概念，會進行簡單的二次根式的加減法;通過加減運算解決生活的實際問題。

　　過程與方法目標：

　　通過類比整式加減法運算體驗二次根式加減法運算的過程;學生經歷由實際問題引入數學問題的過程，發展學生的抽象概括能力。

　　情感態度與價值觀：

　　通過對二次根式加減法的探究，激發學生的探索熱情，讓學生充分參與到數學學習的過程中來，使他們體驗到成功的樂趣.

　　重點、難點:重點：

　　合并被開放數相同的同類二次根式，會進行簡單的二次根式的加減法。

　　難點：

　　二次根式加減法的實際應用。

　　關鍵問題:

　　了解同類二次根式的概念，合并同類二次根式，會進行二次根式的加減法。

　　教學方法:.

　　1.引導發現法：在教師的啟發引導下，鼓勵學生積極參與，與實際問題相結合，采用“問題—探索—發現”的研究模式，讓學生自主探索，合作學習，歸納結論，掌握規律。

　　2.類比法：由實際問題導入二次根式加減運算;類比合并同類項合并同類二次根式。

　　3.嘗試訓練法：通過學生嘗試，教師針對個別問題進行點撥指導，實現全優的教育效果。

　　二次根式教學設計 10

　　教學目的

　　1.使學生掌握最簡二次根式的定義，并會應用此定義判斷一個根式是否為最簡二次根式;

　　2.會運用積和商的算術平方根的性質，把一個二次根式化為最簡二次根式。

　　教學重點

　　最簡二次根式的定義。

　　教學難點

　　一個二次根式化成最簡二次根式的方法。

　　教學過程

　　一、復習引入

　　1.把下列各根式化簡，并說出化簡的根據：

　　2.引導學生觀察考慮：

　　化簡前后的根式，被開方數有什么不同?

　　化簡前的被開方數有分數，分式;化簡后的被開方數都是整數或整式，且被開方數中開得盡方的因數或因式，被移到根號外。

　　3.啟發學生回答：

　　二次根式，請同學們考慮一下被開方數符合什么條件的二次根式叫做最簡二次根式?

　　二、講解新課

　　1.總結學生回答的內容后，給出最簡二次根式定義：

　　滿足下列兩個條件的二次根式叫做最簡二次根式：

　　(1)被開方數的因數是整數，因式是整式;

　　(2)被開方數中不含能開得盡的因數或因式。

　　最簡二次根式定義中第(1)條說明被開方數不含有分母;分母是1的'例外。第(2)條說明被開方數中每個因式的指數小于2;特別注意被開方數應化為因式連乘積的形式。

　　2.練習：

　　下列各根式是否為最簡二次根式，不是最簡二次根式的說明原因：

　　3.例題：

　　例1 把下列各式化成最簡二次根式：

　　例2 把下列各式化成最簡二次根式：

　　4.總結

　　把二次根式化成最簡二次根式的根據是什么?應用了什么方法?

　　當被開方數為整數或整式時，把被開方數進行因數或因式分解，根據積的算術平方根的性質，把開得盡方的因數或因式用它的算術平方根代替移到根號外面去。

　　當被開方數是分數或分式時，根據分式的基本性質和商的算術平方根的性質化去分母。

　　此方法是先根據分式的基本性質把被開方數的分母化成能開得盡方的因式，然后分子、分母再分別化簡。

　　三、鞏固練習

　　1.把下列各式化成最簡二次根式：

　　2.判斷下列各根式，哪些是最簡二次根式?哪些不是最簡二次根式?如果不是，把它化成最簡二次根式。

　　四、小結

　　本節課學習了最簡二次根式的定義及化簡二次根式的方法。同學們掌握用最簡二次根式的定義判斷一個根式是否為最簡二次根式，要根據積的算術平方根和商的算術平方根的性質把一個根式化成最簡二次根式，特別注意當被開方數為多項式時要進行因式分解，被開方數為兩個分數的和則要先通分，再化簡。

　　二次根式教學設計 11

　　一、內容和內容解析

　　1.內容

　　二次根式的除法法則及其逆用，最簡二次根式的概念。

　　2.內容解析

　　二次根式除法法則及商的算術平方根的探究，最簡二次根式的提出，為二次根式的運算指明了方向，學習了除法法則后，就有比較豐富的運算法則和公式依據，將一個二次根式化成最簡二次根式，是加減運算的基礎。

　　基于以上分析，確定本節課的教學重點：二次根式的除法法則和商的算術平方根的性質，最簡二次根式。

　　二、目標和目標解析

　　1.教學目標

　　(1)利用歸納類比的方法得出二次根式的除法法則和商的算術平方根的性質;

　　(2)會進行簡單的二次根式的除法運算;

　　(3)理解最簡二次根式的概念。

　　2.目標解析

　　(1)學生能通過運算，類比二次根式的乘法法則，發現并描述二次根式的除法法則;

　　(2)學生能理解除法法則逆用的意義，結合二次根式的概念、性質、乘除法法則，對簡單的二次根式進行運算。

　　(3)通過觀察二次根式的運算結果，理解最簡二次根式的特征，能將二次根式的運算結果化為最簡二次根式。

　　三、教學問題診斷分析

　　本節內容主要是在做二次根式的除法運算時，分母含根號的`處理方式上，學生可能會出現困難或容易失誤，在除法運算中，可以先計算后利用商的算術平方根的性質來進行，也可以先利用分式的性質，去掉分母中的根號，再結合乘法法則和積的算術平方根的性質來進行。二次根式的除法與分式的運算類似，如果分子、分母中含有相同的因式，可以直接約去，以簡化運算。教學中不能只是列舉題型，應以各級各類習題為載體，引導學生把握運算過程，估計運算結果，明確運算方向。

　　本節課的教學難點為：二次根式的除法法則與商的算術平方根的性質之間的關系和應用。

　　四、教學過程設計

　　1.復習提問，探究規律

　　問題1

　　二次根式的乘法法則是什么內容?化簡二次根式的一般步驟怎樣?

　　師生活動

　　學生回答。

　　【設計意圖】讓學生回憶探究乘法法則的過程，類比該過程，學生可以探究除法法則.

　　五、目標檢測設計

　　二次根式教學設計 12

　　【教學目標】

　　1.運用法則

　　進行二次根式的乘除運算;

　　2.會用公式

　　化簡二次根式。

　　【教學重點】

　　運用

　　進行化簡或計算

　　【教學難點】

　　經歷二次根式的乘除法則的`探究過程

　　【教學過程】

　　一、情境創設：

　　1.復習舊知：什么是二次根式?已學過二次根式的哪些性質?

　　2.計算：

　　二、探索活動：

　　1.學生計算;

　　2.觀察上式及其運算結果，看看其中有什么規律?

　　3.概括：

　　得出：二次根式相乘，實際上就是把被開方數相乘，而根號不變。

　　將上面的公式逆向運用可得：

　　積的算術平方根，等于積中各因式的算術平方根的積。

　　三、例題講解：

　　1.計算：

　　2.化簡：

　　小結：如何化簡二次根式?

　　1.(關鍵)將被開方數因式分解或因數分解，使之出現“完全平方數”或“完全平方式”;

　　2.P62結果中，被開方數應不含能開得盡方的因數或因式。

　　四、課堂練習：

　　(一).P62 練習1、2

　　其中2中(5)

　　注意：

　　不是積的形式，要因數分解為36×16=242。

　　(二).P67 3 計算 (2)(4)

　　補充練習：

　　1.(x>0,y>0)

　　2.拓展與提高：

　　化簡：1).(a>0,b>0)

　　2).(y

　　2.若，求m的取值范圍。

　　☆3.已知：,求的值。

　　五、本課小結與作業：

　　小結：二次根式的乘法法則

　　作業：

　　1).課課練P9-10

　　2).補充習題

　　二次根式教學設計 13

　　一、教學目標

　　知識與技能：

　　1、理解二次根式的概念。

　　2、理解二次根式的基本性質。

　　過程與方法：

　　能運用二次根式的概念解決有關問題、

　　情感態度與價值觀：

　　經歷觀察、比較、總結和應用等數學活動，感受數學活動充滿了探索性和創造性，體驗發現的快樂，并提高應用的意識。

　　二、學情分析

　　學生已經學習了“整式”、“平方根”、“算術平方根”等知識，已經具備了學習二次根式的知識基礎和心理基礎，但學生剛認識二次根式，學習將有一定難度。學生知識障礙點是二次根式的概念及運算，如果學生在此不能很好地理解和正確的認知，將對今后學習產生很大影響，所以要求學生積極探究、思考，及時加以鞏固，克服學習困難，真正“學會”。

　　三、重點難點

　　1、教學重點為了解二次根式的概念，知道被開方數必須是非負數的理由，知道二次根式本身是一個非負數，會求二次根式中被開方數字母的'取值范圍。

　　2、教學難點為：理解二次根式的雙重非負性、

　　四、教學過程

　　活動1【導入】活動一

　　問題1你能用帶有根號的的式子填空嗎？

　　（1）面積為3的正方形的邊長為_______，面積為S的正方形的邊長為_______。

　　（2）一個長方形圍欄，長是寬的2倍，面積為130m？，則它的寬為______m。

　　（3）一個物體從高處自由落下，落到地面所用的時間t（單位：s）與開始落下的高度h（單位：m）滿足關系h =5t？，如果用含有h的式子表示t，則t= _____。

　　師生活動：學生獨立完成上述問題，用算術平方根表示結果，教師進行適當引導和評價。

　　問題2上面得到的式子√3，√s，√h5分別表示什么意義？它們有什么共同特征？

　　活動2【活動】講授

　　問題3你能用一個式子表示一個非負數的算術平方根嗎？

　　師生活動：學生小組討論，全班交流。教師由此給出二次根式的定義：一般地，我們把形如√a（a≥0）的式子叫做二次根式，“√ ”稱為二次根號。

　　追問：在二次根式的概念中，為什么要強調“a≥0”？

　　師生活動：教師引導學生討論，知道二次根式被開方數必須是非負數的理由。

　　活動3【講授】辨析概念

　　例1當x是怎樣的實數時，√x2在實數范圍內有意義？

　　師生活動：引導學生從概念出發進行思考，鞏固學生對二次根式的被開方數為非負數的理解。

　　例2當x是怎樣的實數時，√x2在實數范圍內有意義？√x3呢？

　　師生活動：先讓學生獨立思考，再追問。

　　問題4你能比較√a與0的大小嗎？

　　師生活動：通過分a> 0和a= 0這兩種情況的討論，比較√a與0的大小，引導學生得出√a ≥0的結論，強化學生對二次根式本身為非負數的理解，活動4【練習】練習

　　練習當x是什么實數時，下列各式有意義、

　　（1）√x2；（2）√34x（3）√x2√2x；（4）√xx1 、

　　練習1完成教科書第3頁的練習、

　　練習2當x是什么實數時，下列各式有意義、

　　（1）√x2；（2）√34x（3）√x2√2x；（4）√xx1 、

　　練習1完成教科書第3頁的練習、

　　練習2當x是什么實數時，下列各式有意義、

　　（1）√x2；（2）√34x（3）√x2√2x；（4）√xx1 、

　　練習1完成教科書第3頁的練習、

　　練習2當x是什么實數時，下列各式有意義、

　　（1）√x2；（2）√34x（3）√x2√2x；（4）√xx1 、

　　活動5【活動】小結

　　小結：

　　1、二次根式的意義：√a（a≥0）

　　2、二次根式的性質：

　　性質1 √a2 = a（a≥0）

　　活動6【測試】目標檢測

　　1、下列各式中，一定是二次根式的是（）

　　A、√a B√3 、 C√x2+1 、 D、3√5

　　2、當x取什么時，二次根式√3x無意義。

　　3、當x取何值時，二次根式√x+3有最小值，其最小值是。

　　4、對于√3a1a3，小紅根據被開方數是非負數，得出a的取值范圍是a ≥ 13。小慧認為還應考慮分母不為0的情況。你認為小慧的想法正確嗎？試求出a的取值范圍。

　　活動7【作業】布置作業

　　教科書習題16、1第1，3，5，7，10題。

　　二次根式教學設計 14

　　教學目標

　　1、使學生理解最簡二次根式的概念；

　　2、掌握把二次根式化為最簡二次根式的方法。

　　教學重點和難點

　　重點：化二次根式為最簡二次根式的方法。

　　難點：最簡二次根式概念的理解。

　　一、導入新課

　　計算：

　　我們再看下面的問題：

　　簡，得到

　　從上面例子可以看出，如果把二次根式先進行化簡，會對解決問題帶來方便。

　　二、新課

　　答：

　　1、被開方數的因數是整數或整式；

　　2、被開方數中不含能開得盡方的因數或因式。

　　滿足上面兩個條件的二次根式叫做最簡二次根式。

　　例1 試判斷下列各式中哪些是最簡二次根式，哪些不是？為什么？

　　解

　　（1）不是最簡二次根式。因為a3=a2·a，而a2可以開方，即被開方數中有開得盡方的因式。整數。

　　（3）是最簡二次根式。因為被開方數的因式x2＋y2開不盡方，而且是整式。

　　（4）是最簡二次根式。因為被開方數的因式a－b開不盡方，而且是整式。

　　（5）是最簡二次根式。因為被開方數的因式5x開不盡方，而且是整式。

　　（6）不是最簡二次根式。因為被開方數中的因數8=22·2，含有開得盡的因數22。

　　指出：從（1），（2），（6）題可以看到如下兩個結論。

　　1、在二次根式的被開方數中，只要含有分數或小數，就不是最簡二次根式；

　　2、在二次根式的被開方數中的每一個因式（或因數），如果冪的指數等于或大于2，也不是最簡二次根式。

　　例2 把下列各式化為最簡二次根式：

　　分析：把被開方數分解因式或因數，再利用積的算術平方根的性質

　　例3 把下列各式化成最簡二次根式：

　　分析：題（1）的被開方數是帶分數，應把它變成假分數，然后將分母有理化，把原式化成最簡二次根式。

　　題（2）及題（3）的被開方數是分式，先應用商的算術平方根的性質把原式表示為兩個根式的商的形式，再把分母有理化，把原式化成最簡二次根式。

　　通過例2、例3，請同學們總結出把二次根式化成最簡二次根式的方法。

　　答：如果被開方數是分式或分數（包括小數）先利用商的算術平方根的性質，把它寫成分式的形式，然后利用分母有理化化簡。

　　如果被開方數是整式或整數，先把它分解因式或分解因數，然后把開得盡方的'因式或因數開出來，從而將式子化簡。

　　三、課堂練習

　　1、在下列各式中，是最簡二次根式的式子為 [ ]的二次根式的式子有_____個。 [ ]

　　A、2 B、3

　　C、1 D、0

　　3、把下列各式化成最簡二次根式：

　　答案：

　　1、B

　　2、B

　　四、小結

　　1、最簡二次根式必須滿足兩個條件：

　　（1）被開方數的因數是整數，因式是整式；

　　（2）被開方數中不含能開得盡方的因數或因式。

　　2、把一個式子化為最簡二次根式的方法是：

　　（1）如果被開方數是整式或整數，先把它分解成因式（或因數）的積的形式，把開得盡方的因式（或因數）移到根號外；

　　（2）如果被開方數含有分母，應去掉分母的根號。

　　五、作業

　　1、把下列各式化成最簡二次根式：

　　2、把下列各式化成最簡二次根式：

　　二次根式教學設計 15

　　教學目標

　　1.使學生進一步理解二次根式的意義及基本性質，并能熟練 地化簡含二次根式的式子；

　　2.熟練地進行二次根式的加、減、乘、除混合運算。

　　教學重點和難點

　　重點：含二次根式的式子的混合運算。

　　難點：綜合運用二次根式的 性質及運算法則化簡和計算含二次根式的式子。

　　教學過程設計

　　一、復習

　　1.請同學回憶二次根式有哪些基本性質？用式子表示出來，并說明各 式成立的條件。

　　指出：二次根式的這些基本性質都是在一定條件 下才成立的，主要應用于化簡二次根式。

　　2.二次根式 的乘法及除法的法則是什么？用式子表示出來。

　　指出：二次根式的乘、除法則也是在一定條件下成立的。把兩個二次根式相除，計算結果要把分母有理化。

　　3.在二次根式的化簡或計算中，還常用到以下兩個二次根式的關系式：

　　4.在含有二次根式的式子的化簡及求值等問題中，常運用三個可逆的式子：

　　二、例題

　　例1 x取什么值時，下列各式在實數范圍內有意義：

　　分析：

　　(1)題是兩個二次根式的和，x的取值必須使兩個二次根式都有意義；

　　(3)題是兩個二次根式的和， x的取值必須使兩個二次根式都有意義；

　　(4)題的分子是二次根式，分母是含x的單項式，因此x的取值必須使二次根式有意義，同時使分母的值不等于零。

　　x-2且x0。

　　解因為n2-90， 9-n20，且n-30，所以n2=9且n3，所以

　　例3

　　分析：第一個二次根式的被開方數的分子與分母都可以分解因式。把它們分別分解因式后，再利用二次根式的基本性質把式子化簡，化簡中應注意利用題中的隱含條件3 -a0和1-a＞0。

　　解 因為1-a＞0，3-a0，所以

　　a＜1|a-2|＝2-a。

　　(a-1)(a-3)=[-(1-a)][-(3-a)]=(1-a)(3-a)0。

　　這些性質化簡含二次根式的式子時，要注意上述條件，并要闡述清楚是怎樣滿足這些條件的。

　　問：上面的代數式中的兩個二次根式的被開方數的式子如何化為完全平方式？

　　分析：先把第二個式子化簡，再把兩個式子進行通分，然后進行計算。

　　注意：

　　所以在化簡過程中，例6

　　分析：如果把兩個式子通分，或把每一個式子的分母有理化再進行計算，這兩種方法的運算量都較大，根據式子的.結構特點，分別把兩個式子的分母看作一個整體，用換元法把式子變形，就可以使運算變為簡捷。

　　a+b＝2(n+2)，ab=(n+2)2-(n2-4)＝4(n+2)，三、課堂練習

　　1.選擇題：

　　A.a2B.a2

　　C.a2D.a＜2

　　A .x+2 B.-x-2

　　C.-x+2D.x-2

　　A.2x B.2a

　　C.-2x D.-2a

　　2.填空題：

　　4.計算：

　　四、小結

　　1.本節課復習的五個基本問題是“二次根式”這一章的主要基礎知識，同學們要深刻理解并牢固掌握。

　　2.在一次根式的化簡、計算及求值的過程中，應注意利用題中的使二次根式有意義的條件(或題中的隱含條件)，即被開方數為非負數，以確定被開方數中的字母或式子的取值范圍。

　　3.運用二次根式的四個基本性質進行二次根式的運算時，一定要注意論述每一個性質中字母的取值范圍的條件。

　　4.通過例題的討論，要學會綜合、靈活運用二次根式的意義、基本性質和法則以及有關多項式的因式分解，解答有關含二次根式的式子的化簡、計算及求值等問題。

　　五、作業

　　1.x是什么值時，下列各式在實數范圍內有意義？

　　2.把下列各式化成最簡二次根式：

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