工程測試技術(shù)基礎(chǔ)部分課后習題答案

信號及其描述習題

1.1求周期方波（圖1-4）的傅立葉級數(shù)（復(fù)指數(shù)函數(shù)形式）。畫出頻譜圖|Cn|—ω ；φn—ω 圖并與表1-1對比。

??

解：傅立葉級數(shù)的復(fù)指數(shù)形式表達式：x(t)?

Ce

jn?n

0t

;n?0,?1,?2,?3,???

n????

式中： C1T?0?jn?t1??0T?jn??

? n?2TT0x(t)e0dt?0t2?jn?0tT?T0(?A)edt?Aedt?0?20??20?

T ??0

1?A0

?jn2

T?e?0t???1?Ae?jn?0t?0??jn?0??T0T?0??jn??0

2

?0

??jAjA1??jn?jn?

?

A

n??n??2e?e??jn?

?1?cosn?? ???j2A;n??1,?3,?5 ??,???

?n??0;

n??2,?4,?6,???所以： ?

??

x(t)??

??j2A?jn?0t;n??1,?3,?5,?7

n????n???e

,???幅值頻譜：

C?22

2AnnR?CnI?;n??1,?3

n?

,?5,???相位頻譜： ?2A???

C?????;n?1,3,5,???nI ?n?arctgC?arctg?

?????2nR0? ??????2;n??1,?3,?5,???

傅立葉級數(shù)的復(fù)指數(shù)形式的幅值頻譜圖和相位頻譜都是雙邊頻譜圖。 1.2求正弦信號 x(t)=x0sinωt的絕對均值μ|x |和均方根值x rms

解：

?T1?

T02x2?

?x?limT??0x(t)dt?Tx0sin?tdt?0?;式中：T0?

00?

xrms?1?T0Tx2(t)dt?1?

T0?x0sin?dt?2

dt?x0

00T002

1.3求指數(shù)函數(shù) x ( t) ? Ae ? ? t ; (? ? 0 ; t ? 0 ) 的頻譜。 解：

X(f)????x(t)e?j2?ftdt??

??Ae??t?e?j2?ftdt?A

??0??j2?f1.4求符號函數(shù)（題圖1-1a）和單位階躍函數(shù)（題圖1-1b）的頻譜.

解:1) 符號函數(shù)的頻譜:

??t令: x1(t)?limex(t);??0

X1(f)?x1(t)e?j2?ftdt

0??t????t

?j2?ft??lime(?1)edt?ee?j2?ftdt??? 0??0????

1?

j?f

2)單位階躍函數(shù)的頻譜: ??t

x(t)?limex(t);2 ??0

????t 1?j2?ft

X2(f)?x2(t)e?j2?ftdt?lim?dt??0ee?? ??0??j2?f

1.5求被截斷的余弦函數(shù)cosω0t（題圖1-2）的傅立葉變換。

?cos?0t;t?T x(t)??

t?T ?0;

解： ???T

?j2?ft

X(f)?x(t)edt?cos2?f0te?j2?ftdt ???T

?T1?j2?f0tj2?f0t?j2?ft

?e?eedt ?T2

?sin?(f?f0)2Tsin?(f?f0)2T?

?T???

?(f?f)2T?(f?f)2T00??

?T?sinc??1?sinc??2?

t

1.6求指數(shù)衰減振蕩信號（見圖1-11b）： x ( ? e ? ? sin ? 0 t ; ( ? ? 0 , t ? t)0 ) 的頻譜 解： ?j2?ft????

?j2?ft

htTp://salifelink.com

??t

X(f)?x(t)edt?esin2?f0tedt

??0

??j

?e??t?e?j2?f0t?ej2?f0te?j2?ftdt 02

?j?11 ??????2??j2?(f?f)??j2?(f?f)00??

1.7設(shè)有一時間函數(shù)f(t)及其頻譜(題圖1-3所示)，現(xiàn)乘以余弦型振蕩cosω0t ，(ω0>ωm)。

在這個關(guān)系中，函數(shù)f(t)叫做調(diào)制信號，余弦型振蕩cosω0t叫做載波。試求調(diào)幅信號f(t)cosω0t的傅立葉變換。示意畫出調(diào)幅信號及其頻譜。又問：若ω0

?j2?ft

X(f)?x(t)edt??f(t)cos2?f0t??e?j2?ftdt ????

??

1

?

??

??

??

??

?

?

??

?

?

??

??

??

??f(t)?e?j2?f0t?ej2?f0t??e?j2?ftdt??

?2?11

??

當ω0

1.8求正弦信號x(t)=x0sin（ω0t+φ）的均值μx 和均方值φx2和概率密度函數(shù)p(x) 解：將x(t)=x0sin（ω0t+φ）寫成（ω0t+φ）=arcsin(x(t)/ x0)

等式兩邊對x求導(dǎo)數(shù)： 1 dtx011

?? dx?22

?0x0?x2(t)0??x(t) ???x??

?0? 1?Tx?12?tp(x)?limlim?lim? ?x?0?x?T??T??x?0?xT??

2dt1??? 22Tdx?x0?x(t)

2.2用一個時間常數(shù)為0.35s的一階裝置去測量周期分別為1s，2s，5s的正弦信號，問幅值

誤差將是多少？

解：H????

1j???1

1

?

1Y???? 0.35?j?1X??

1?0.7?????

7??

2

A????

?0.35?2

當T=1s時，A??1??0.41，即AY?0.41Ax，誤差為59% 當T=2s時，A??2??0.67，誤差為33% 當T=5s時，A??3??0.90，誤差為8%

2.3求周期信號x?t??0.5cos10t?0.2cos100t?45，通過傳遞函數(shù)為H?s??

?

??

1

0.05s?1

的裝置后所得到的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。

解： 利用疊加原理及頻率保持性解題

x?t??0.5sin10t?90?0.2sin100t?45

?

?

????

A????

11???2

?

1?0.00?52

，??????arctg?0.005??

?1?10，A??1??1，???1??2.86?

x?t1??0.5?1?sin10t?90?2.86 ，

?

?

??

?2?100 ，A??2??0.89 ，???2???26.57?

y?t2??0.2?0.89?sin100t?26.57??45?

?y?t??0.5sin10t?87.14??(?0.178)sin100t?18.43?

2.7將信號cos?t輸入一個傳遞函數(shù)為H?s??在內(nèi)的輸出y?t?的表達式。

解： x?t??cos??t??sin?t?90? H?s??

??

????

1

的一階裝置后，試求其包括瞬態(tài)過程2s?1

??

11

，A????，???arctg????

2?s?1??? y?t??

1???2

sin?t?90??arctg????

??

=

1???2

cos??t?arctg???

2.8求頻率響應(yīng)函數(shù)

3155072

的系統(tǒng)對正弦輸入

1?0.01j?1577536?176j???2

x?t??10sin?62.8t?的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的均值顯示。

解： 寫成標準形式 H????

j?j???12

a??n2

?2??nj???

2n

2

?1256?1

??2 ?

0.01j??1??2?2?1256?j??12562

∴ A????

1?62.8?0.012

?

1

2

?2

??62.8?2?1761??????

1256????1577536??

?1.69?0.99?1.7 對正弦波，ux?

A2

?

1.7?10

2

?12

241?n1.5

2.9試求傳遞函數(shù)分別為2和2的兩個環(huán)節(jié)串聯(lián)后組2222

S?1.4?nS??nS?1.4?nS??n

成的系統(tǒng)的總靈敏度（不考慮負載效應(yīng)）

解： H????H1????H2??? H1????

1.53

?，S1?3

3.5S?0.57S?1

241?n

H2????2，S2?41 2

S?1.4?nS??n

S?S1?S2?3?41?123

2.10想用一個一階系統(tǒng)作100Hz正弦信號的測量，如要求限制振幅誤差在5%以內(nèi)，則時間 單常數(shù)應(yīng)去多少？若用該系統(tǒng)測試50Hz正弦信號，問此時的振幅誤差和相角差是多少？

解： 由振幅誤差

E?

|A0?AI|A

?1?0?1?A????5%

AIAI

∴ A????95% 即 A????

1???1

2

?95% ，

?2??100t2

?0.95，??5.23?10?4s

?4

?，且??5.23?10s時 當??2?f?2??50?100

A????

1

?5.23?10?100?

?4

2

?98.7%

∴ 此時振幅誤差E1?1?98.7%?1.3% ??????arctg5.23?10?100???9.3

?4

?

??

2.11某力傳感器可以作為二階振蕩系統(tǒng)處理。已知傳感器的固有頻率為800Hz，阻尼比

??0.14，問使用該傳感器作頻率為400Hz的正弦力測試時，其振幅比A???和相角差????

各為多少？若該裝置的阻尼比可改為??0.7，問A???和????又將作何種變化？

解： 作頻率為400Hz的正弦力測試時 A????

1

????1???????n

?

???

2

?????4?2?????n?

2

?

???

2

?

1

2

??400?2?400??2

???4??0.14????1??800800????????

2

?1.31

???2??????

n?? ??????arctg 2???1???????n?

?400?

2?0.14???

?800?

??arctg2

?400?1???

800??

??10.6 當阻尼比改為??0.7時 A????

?

1

2

??400?2?400??2

???4??0.7????1??800800????????

2

?0.97

?400?2?0.7???

800????43?

??????arctg2

?400?1????800?

即阻尼比變化時，二階振蕩系統(tǒng)的輸出副值變小，同時相位角也變化劇烈，相位差變大。

2.12對一個可視為二階系統(tǒng)的裝置輸入一單位階躍函數(shù)后，測得其響應(yīng)中產(chǎn)生了數(shù)值為1.5的第一個超調(diào)量峰值。同時測得其振蕩周期為6.28s。設(shè)已知該裝置的靜態(tài)增益為3，試求該裝置的傳遞函數(shù)和該裝置在無阻尼固有頻率處的頻率響應(yīng)。

解： 最大超調(diào)量

?????1?2???

????

M?e 即 ??

?1.5

?0.13

1??????1?ln1.5?

2

且 Td?

2?

?d

?6.28

2

∴ ?d??n???

2?

?1 6.28

11 ?n?

??

2

?

?0.132

?1.01 系統(tǒng)的傳遞函數(shù) H?s??

Y?s?kXs?S

22?S

?2?

n

??1

n

?

3

S

2

?1.01?2?2?0.13?S1.01

?1

該裝置在無阻尼固有頻率處的頻率響應(yīng) 由H?j???

Y???X??K

?2 ??j??2??j??

???n??

??

?1n ?

K

???1???

??2j??

?2?n???n ∴ H?j?K3

n??

?? ??1??2

??????0.26j??????2j??n???

?n ?d為有阻尼固有頻率 M=0.5，?2?

d?

T

?1 ???????? M?e???

2??

???

1?2

?0.215????lnM??

?1 ?2

d??n?? ，∴ ??d

n?

1.02

??

2

? S=3

∴H?s???2n

S2?2??2

?S nS??n

?1.04

S2

?0.44?S?1.04

?3 A??1n??

34?

2

??6.98 （???n時代入得）

A????

1

2?

,??????90? ????

n???arctg???2

y?t??6.98sin??1.02t???

?

2??

4.1解 ：?=2?m時，

單臂，U?R

y?4RU0 0

USg?R??y?

4R

U0

6U?2?120?2?10?y

*3?3?10?64?120

(V)雙臂，U?R

y?

2RU0 0

USg?R??y?

2R

U0

2?120?2?10?6

U6y?2?120

*3?6?10?(V)

：?=2000?m時，

單臂，U?R

y?

4RU0 0

USg?R??y?

4R

U0

2?120?2000?10?6

Uy?*3?3?10?3(V)

4?120

雙臂，Uy?

?R

U0 2R0

Sg?R??2R

U0

Uy?

2?120?2000?10?6

Uy?*3?6?10?3(V)

2?120

雙臂的靈敏度比單臂的提高一倍。

4.4解：Uy?

?R

U0 R0

Sg?R??R

U0

Uy?

Uy?Sg?(Acos10t?Bcos100t)?Esin10000t

?Sg?AEcos10tsin10000t?Sg?BEcos100tsin10000t

11

SgAE(sin10010t?sin9990t)?SgBE(sin10100t?sin9900t)22

1100101001099909990

Uy(f)?jSgAE[?(f?)??(f?)??(f?)??(f?)]

42?2?2?2?1101001010099009900?jSgBE[?(f?)??(f?)??(f?)??(f?)]42?2?2?2??

4.5解：xa?(100?30cos?t?20cos3?t)(cos?ct)

?100cos2000?t?30cos1000?tcos2000?t?20cos3000?tcos2000?t?100cos2000?t?15(cos3000?t?cos1000?t)?10(cos5000?t?cos1000?t)

Xa(f)?50[?(f?10000)??(f?10000)]?7.5[?(f?10500)??(f?10500)]

?7.5[?(f?9500)??(f?9500)]?5[?(f?11500)??(f?11500)]?5[?(f?8500)??(f?8500)]4.10 解：H(s)?

111

???3 ?s?1RCs?110s?1

H(?)?

1

10?3

j??1

A(?)?

11?(??)

2

?

?(10?3

?)

?(?)??arctan(??)??arctan(10?3?)

Uy?10A(1000)sin(1000t??(1000))?10?0.707sin(1000t?450)?7.07sin(1000t?450

)

4.11 解：A(?)?

1?(??)

2

?(?)??arctan(??) 1

??10時，

A(10)?

?(0.05?10)

?0.816

?(10)??arctan(0.05?10)?26.56?

)?

1

??100時，

A(100?(0.05?100)

?0.408

?(100)??arctan(0.05?100)?78.69?

y(t)?0.5?0.816cos(10t?26.56?)?0.2?0.408cos(100t?45??78.69?)?0.408cos(10t?26.56?

)?0.0816cos(100t?33.69?

)

5.1 t)???

e??th(;(t?0,??0) ?0;(t?0)

R??

x(?)??h(t)?h(t??)dt????

e??te??(t??)??

dt

????

?e

????

e

?2?t

dt?

e2?

5.2 x(t)?A1sin(?1t??1?

?

2

)?A2sin(?2t??2?

?

2

)

由同頻相關(guān)，不同頻不相關(guān)得：

2A2Rx(?)?cos?1??cos?2? 22A12

4?5.3：由圖可寫出方波的基波為x1(t)??sin(?t?2)

Rxy(?)?2

?cos(????

2)

5.4: Sxy(f)?H(f)Sx(f)

H(f)?Sxy(f)/Sx(f)

Sxy(f)?F[Rxy(?)]

Sx(f)?F[Rx(?)]?F[Rxy(??T)]?F[Rj?T

xy(?)]e

H(f)?e?j?T

5.5:見圖5-16

5.6:由自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)可知:

?2

x?Rx(0)?Acos0?A

x2

rms?x?A

5.7:由對稱性性質(zhì):

F{sinc2(t)}?1 f??

2?f??

2

?

?2

(t)dt?

??sinc2???df?? ?

2

11

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