分式和分式方程
1.4 分式與分式方程
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【考點透視】
1.了解分式的概念，能求出分式值為零時字母的值，知道分式無意義的條件
2.會利用分式的基本性質(zhì)進行約分和通分，會進行分式的加、減、乘、除及混合運算與分式的化簡求值。 3.能正確求出可化為一元一次方程的分式方程的根，能結(jié)合實例解釋解分式時產(chǎn)生增根的原因，能結(jié)合現(xiàn)實情境列分式方程解決簡單的實際問題。
【知識梳理】
1.分式的概念：分式： 2.弄清分式有意義,無意義和值為零的條件
分式有意義的條件是分母不為零;無意義的條件是分母為零;值為零的條件是分子為零且分母不為零,弄懂這幾個條件是做分式題很重要的一點.
3.分式基本性質(zhì)的靈活應(yīng)用
分式的基本性質(zhì)：
分式的約分： 分式的通分： 最簡公分母: （注意： 利用分式的基本性質(zhì)熟練進行約分和通分,這是分式運算的基礎(chǔ),利用分式的基本性質(zhì)時,要注意分子、分母同乘以和除以不為零的整式.） 4.分式的運算
（1）分式的加減法法則
（2）分式的乘除法法則 （3）分式的乘方
（4）分式的混合運算
分式的四則運算主要出現(xiàn)在化簡中,與通分、約分、分式的基本性質(zhì)聯(lián)合,要保證最后結(jié)果為最簡分式.
5. 分式方程
（1）解分式方程：步驟 （2）列分式方程解應(yīng)用題
6. 條件分式求值的常用技巧 （1）參數(shù)法：當已知條件形如化簡的分式時，通常設(shè)代入所求代數(shù)式。 （2）整體代換法 像已知把1x?
1x?1y?3,求
2x?3xy?2yx?2xy?y
xa?yb?xazc?yb?zc
，所要求值的代數(shù)式是一個含x、y、z、a、b、c而又不易
?k（k就是我們常說的參數(shù)），然后將其變形為x?ka,y?kb,z?kc
的值這樣的問題， 合化
簡
所求
代
數(shù)式
?
已1y
知條件變換成適的形式
?
，如35
把
?3化為x?y??3xy,代入
2x?3xy?2yx?2xy?y
中，得
（2x?y)?3xy(x?y)?2xy
?6xy?3xy?3xy?2xy
,這樣就
達到整體代入、化簡求值的目的。 7.裂項法
裂項法即把一項化為兩項，使計算得以順利進行。 常用裂項有：
1n?(n?1)
?1n?
1
;
1
?1(
1
?
12n?1
).
n?1(2n?1)(2n?1)22n?1
【考題例析】
1.識別分式的概念
例1. （ 2011重慶江津）下列式子是分式的是( ) A.
x2
B.
xx?1
C.
x2
?y D.
x3
例2、如果分式
|x|-1x?3x?2
2
的值為零,那么x等于( )
A.-1 B.1 C.-1或1 D.1或2 例3. （2011浙江杭州）已知分式
x?3x?5x?a
2
，當x＝2時，分式無意義，則a＝ ，當a
時，使分式無意義的x的值共有 個． 2.分式的基本性質(zhì)的識別 例2、下列各式與
x?yx?y
相等的是( )
A.
(x?y)?5(x?y)?5
; B.
2x?y2x?y
; C.
(x?y)x?y
2
2
2
(x?y) D.
x?yx?y
2
222
點評:分式的基本性質(zhì)是一切分式運算的基礎(chǔ),分子與分母只能同乘以(或除以)同一個不等于零的整式,而不能同時加上(或減去)同一個整式.
3.化簡求值題 例3、(1)已知a+
1a
=5, (2)已知
x?4x?3x?1
x
2
2
=0,
則
a?a?1
a
2
42
=________. 先化簡后求
m?nmn
2
2
x?3
?
93?x
的值.
例４. （2011 江蘇南通，）設(shè)m＞n＞0，m＋n＝4mn，則A.
1m
22
的值等于
D. 3
2
例５. （2011 四川樂山）若m為正實數(shù)，且m?４.分式方程的解法及應(yīng)用 解下列分式方程： 例１.（1）
xx?2
?
6x?2
?3，則m?
1m
2
?1 （2）
2x?1
?
3x?1
?
6x?1
2
例２.用換元法解方程x2?
1x
2
?x?
1x
?4，可設(shè)y?x?
1x
，則原方程可化為關(guān)于y的方程
是 . 【鞏固練習(xí)】 一．選擇題 1、函數(shù)y=
1x?1
2
中自變量x的取值范圍是( ).A.x≠-1 B.x>-1 C.x≠1 D.x≠0
2、若分式
x?9x?4x?3a
b
2
2
的值為零,則x的值為( ).A.3 B.3或-3 C.-3 D.0
3、化簡
a?b
?
a(a?b)
的結(jié)果是( ).A.
a?ba
B.
a?ba
C.
b?aa
D.a+b
4、當分式
|x|?3x?3
2
的`值為零時,x的值為( ).A.0 B.3 C.-3 D.±3
mm?3
mm?3
mm?3
m3?m
5、化簡
m?3m9?m
2
的結(jié)果是( )A. B.- C. D.
6、 將分式
xyx?y
中的x,y都擴大2倍,分式的值 ( )
A.擴大4倍 B.擴大2倍 C.不變 D.縮小2 7、化簡 A.
12m?9
2
2
+
2m?3
的結(jié)果是( )
2m?3
m?6m?9
B. C.
2m?3
D.
2m?9m?9
2
二．解答題 1.計算:
3.化簡:(
４.（2011重慶江津）先化簡,再求值:
【中考鏈接】
11?x
?
x1?x
. .先化簡,再求值:
x?1x?1
2
+x(1+
1x
),其中
-1.
aa?1
?
2a?1
1
)÷(1-
1a?1
). 4.化簡:m+n-
(m?n)m?n
2
.
x?1x?2
2
?(
1x?2
?1),其中x?
13
·
1.（2010.濰坊中考）分式方程
xx?5
?
x?4x?6
的解是_________.
2．（2011江蘇泰州）（a﹣b﹢
b
2
a?ba?ba
)?
a?ba
2ab?b
a
2
3. （（2011山東濟寧）計算：
?(a?)
ab
ba
4.(2011·山西)已知a-6a+9與│b-1│互為相反數(shù),則式子(
1x
1y
66x?3
2
?)÷(a+b)的值為____.
5.(2011·天津)已知
?,則分式
60x
2x?3xy?2yx?2xy?y
的值為________.
6. （2012.濰坊）方程?
a
2
?0的根是 ．
7、(2012吳中區(qū)一模)化簡 (A)
1a?1
a?1
?a?1的結(jié)果是( )
(B)－
1a?1
(C)
3a?1
2a?1a?1
(D)
2
a?a?1a?1
2
8. (2012.遼寧營口市)先化簡： 作為a的值代入求值.
9.(2011.呼和浩特)若
Ax?5
?
Bx?2
(?a?1)?
a?4a?4
a?1
，并從0，?1，2中選一個合適的數(shù)
?
5x?4x?3x?10
2
,試求A、B的值.
10.(2011·廣東)如圖1-16-1小明家、王老師家、學(xué)校在同一條路上,小明家到王老師家的路程為3km,王老師家到學(xué)校的路程為0.5km,由于小明的父母戰(zhàn)斗在抗“非典”第一線,為了使他能按照到校,王老師每天騎自行車接小明上學(xué).?已知王老師騎自行車的速度是步行速度的3倍,每天比平時步行上班多用了20min,問王老師的步行速度及騎自行車速度各是多少?
學(xué)校
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