等差數列的證明

等差數列的證明

1 三個數abc成等差數列，則c-b=b-a

c^2(a+b)-b^2(c+a)=(c-b)(ac+bc+ab)

b^2(c+a)-a^2(b+c)=(b-a)(ac+bc+ab)

因c-b=b-a，則(c-b)(ac+bc+ab)=(b-a)(ac+bc+ab)

即c^2(a+b)-b^2(c+a)=b^2(c+a)-a^2(b+c)

所以a^2(b+c), b^2(c+a), c^2(a+b) 成等差數列

等差：an-(an-1)=常數 (n≥2)

等比：an/(an-1=常數 (n≥2)

等差：an-(an-1)=d或2an=(an- 1)+(an+1),(n≥2)

等比：an/(an-1)=q或an平方=(an-1)*(an+1)(n≥2).

2

我們推測數列{an}的通項公式為an=5n-4

下面用數學規納法來證明：

1)容易驗證a1=5*1-4=4，a2=5*2-4=6，a3=5*3-4=11，推測均成立

2)假設當n≤k時，推測是成立的，即有aj=5(j-1)-4，(j≤k)

則Sk=a1+a2+…ak=5*(1+2+…+k)-4k=5k(k+1)/2-4k=k(5k-3)/2

于是S(k+1)=a(k+1)+Sk

而由題意知：(5k-8)S(k+1)-(5k+2)Sk=-20k-8

即：(5k-8)*[a(k+1)+Sk]-(5k+2)Sk=-20k-8

所以(5k-8)a(k+1)-10Sk=-20k-8

即：(5k-8)a(k+1)=5k(5k-3)-20k-8=25k^2-35k-8=(5k-8)(5k+1)

所以a(k+1)=5k+1=5(k+1)-4

即知n=k+1時，推測仍成立。

3

在新的數列中

An=S[4n-(4n-4)]

=a(4n-4)+a(4n-3)+a(4n-2)+a(4n-1)+a(4n)

A(n-1)=S[4(n-1)-4(n-2)]

=a(4n-8)+a(4n-7)+a(4n-6)+a(4n-5)+a(4n-4)

An-A(n-1)=a(4n-4)+a(4n-3)+a(4n-2)+a(4n-1)+a(4n)-a(4n-8)+a(4n-7)+a(4n-6)+a(4n-5)+a(4n-4)

=4d+4d+4d+4d+4d

=20d(d為原數列公差)

20d為常數,所以新數列為等差數列上，an=5n-4即為數列的通項公式，故它為一等差數列。

4

A(n+1)-2An=2(An-2An-1)A(n+1)-2An=3*2^(n-1)兩邊同時除2^(n+1)得[A(n+1)/2^(n+1)]-An/2^n=3/4即{An/2^n}的公差為3/4An除以2的n次方為首項為1/2公差為3/4的等差數列

5

證明：

an=Sn-Sn-1=n(a1+an)/2-(n-1)(a1+an-1)/2

2an=na1+nan-na1-nan-1+a1+an-1

(n-2)an=(n-1)*(an-1)-a1 (1)

同理

(n-1)*(an+1)=nan-a1 (2)

(1)-(2)

得到

(2n-2)an=(n-1)*(an-1)+(n-1)(an+1)

2an=an-1+an+1

所以an+1-an=an-an-1

所以數列{an}是等差數列

那么你就設直角三角形地三條邊為a，a+b,a+2b

于是它是直角三角形得到

a+(a+b)=(a+2b)

所以a+a+2ab+b=a+4ab+4b

化簡得a=2ab+3b

兩邊同時除以b

解得a/b=3 即a=3b

所以三邊可以寫為 3b ，3b+b 。 3b+2b

所以三邊之比為3：4：5

6

設等差數列 an=a1+(n-1)d

最大數加最小數除以二即

[a1+a1+(n-1)d]/2=a1+(n-1)d/2

{an}的平均數為

Sn/n=[na1+n(n-1)d/2]/n=a1+(n-1)d/2

得證

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