等比數列求和公式推導過程

時間：2024-07-08 18:12:31 學人智庫我要投稿

等比數列求和公式推導過程

　　等比數列是指從第二項起，每一項與它的前一項的比值等于同一個常數的一種數列，常用G、P表示。下面為大家帶來了等比數列求和公式推導過程，歡迎大家參考！

　　等比數列求和公式推導過程

　　求和公式推導

　　(1)Sn=a1+a2+a3+...+an(公比為q)

　　(2)q*Sn=a1*q+a2*q+a3*q+...+an*q=a2+a3+a4+...+an+a(n+1)

　　(3)Sn-q*Sn=(1-q)Sn=a1-a(n+1)

　　(4)a(n+1)=a1*q^n

　　(5)Sn=a1(1-q^n)/(1-q)(q≠1)

　　性質

　　①若m、n、p、q∈N，且m+n=p+q，則am×an=ap×aq;

　　②在等比數列中，依次每k項之和仍成等比數列;

　　③若m、n、q∈N，且m+n=2q，則am×an=(aq)^2;

　　④若G是a、b的等比中項，則G^2=ab(G≠0);

　　⑤在等比數列中，首項a1與公比q都不為零。

　　⑥在數列{an}中每隔k(k∈N*)取出一項，按原來順序排列，所得新數列仍為等比數列且公比為q^k+1。

　　⑦數列{An}是等比數列，An=pn+q，則An+K=pn+K也是等比數列，在等比數列中，首項A1與公比q都不為零。注意：上述公式中A^n表示A的n次方。

　　⑧當數列{an}使各項都為正數的等比數列，數列{lgan}是lgq的等差數列。

　　拓展：高中等比數列公式

　　如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數，這個數列就叫做等比數列。這個常數叫做等比數列的公比，公比通常用字母q表示。

　　(1)等比數列的通項公式是：An=A1×q^(n-1)

　　若通項公式變形為an=a1/q*q^n(n∈N*),當q>0時，則可把an看作自變量n的函數，點(n,an)是曲線y=a1/q*q^x上的一群孤立的點。

　　(2) 任意兩項am，an的關系為an=am·q^(n-m)

　　(3)從等比數列的定義、通項公式、前n項和公式可以推出： a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…,n}

　　(4)等比中項：aq·ap=ar^2，ar則為ap，aq等比中項。

　　(5) 等比求和：Sn=a1+a2+a3+.......+an

　　①當q≠1時，Sn=a1(1-q^n)/(1-q)或Sn=(a1-an×q)÷(1-q)

　　②當q=1時， Sn=n×a1(q=1)

　　記πn=a1·a2…an，則有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1

　　另外，一個各項均為正數的等比數列各項取同底數數后構成一個等差數列;反之，以任一個正數C為底，用一個等差數列的各項做指數構造冪Can，則是等比數列。在這個意義下，我們說：一個正項等比數列與等差數列是“同構”的。

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