舉例說明算理和算法

舉例說明算理和算法

小數乘小數運算的算理究竟是什么？算理與算法的關系是什么？

（1）小數乘小數運算的算理究竟是什么？算理與算法的關系是什么？算理是計算的理論依據，是由數學概念、性質、定律等內容構成的數學基礎理論知識。

算理是計算的理論依據，是由數學概念、性質、定律等內容構成的數學基礎理論知識。而算法是實施四則計算的基本程序和方法，通常是算理指導下的人為規定。新課程標準把義務教育階段數學課程目標明確劃分成了知識技能目標和過程性目標兩大類，其實知識技能與過程性目標作為數學課程目標的兩個組成部分并無主次之分，它們是一個互相影響、相輔相成的有機體，因此，在計算教學中理解算理固然重要，掌握算法同樣不容忽視。

（2）教師在使學生理解算理上有哪些好的經驗和做法，舉例說明。

教學片段： 已知36×28=1008 36×280= 36×2.8= 36×0.28= 3.6×2.8= 師：先觀察，再說說自己體會。 生1：一個因數不變另，另一個擴大10 倍，積也擴大了10 倍。 生2：36×2.8 28 縮小10 倍，是2.8，積是1 位小數.。師：那么積的小數點應該點在哪里呢？ 生3：點在0 和8 之間。 師：怎么想的？ 生4：一個因數縮小10 倍，另一個因數不變，積也縮小10 倍，所以點在0 和8 之間。 生5；因數中是一位小數，所以積也是一位小數。師：那么3.6×2.8 呢？積大概是幾位小數？ 生6:一個因數是一位小數，另一位因數也是一位小數，所以，積是兩位小數。 師:猜一猜，積是多少,小數點又應該點在哪里呢？ 生7：10.08。師：用計數器驗證一下. 學生用計數器驗證。 師：能用豎式計算么？（由學生自己完成） 讓學生以小組合作學習的方式，自主找出解決問題的辦法，讓學生嘗試自主學習的快樂。分析與反思： 這節課的內容對五年級的學生來說有點難度，它主要是考察學生的運算能力和細心程度。在上完這節課后，我進行了認真的反思，給我的啟發： 1、突出了積變化的規律 我認為書上的例3、例4、例5 這3 道例題可以統一到一個知識點來教學。在教學時，教師要先讓學生回顧整數乘整數的方法，然后在此基礎上，擴展到小數乘小數，把小數也看成是整數，這樣每位學生都會做整數乘法，最后，在指導學生在積上應怎樣點小數點，這是關鍵，也是教學難點，要強調整個一道乘法算式中共有幾位小數，在積中就點幾位小數。其中的道理也要讓學生明確，把小數看成整數，是先擴大幾倍，最后也要縮小相同的倍數，所以要在積中點幾位小數。但在學生實際練習中，我也發現了有一小部分學生小數點仍點錯，究其原因，不難發現學生不會數小數點，他們把小數的乘法與加法混淆在一起，因此，教師要對這些學生再復習一下小數加法的方法。 2、突出口算。 教材中沒有安排小數乘整數的口算，而實際在口算中由于數目比較小，計算結果可以比較快速的反饋，易于檢驗學生計算的正確與否，同時可以幫助學生理清計算小數乘整數的計算思路，所以在計算中應該增加小數乘整數的口算練習，讓學生說出自己的想法，同時用小數乘整數的意義檢驗方法的正確性，讓所有的學生都知道計算小數乘整數可以看成整數的計算。 3、突出豎式的書寫格式。 有了前面對算理的理解，當遇到用豎式計算3.85×59 時，學生不再感到困難，但要他們說出為什么這么寫，部分孩子還是不能理解，所以我抓住小數點為什么不對齊了引導學生思考，我們已經將3.85 擴大100 倍，計算的是385 乘59 了，所以根據整數乘法的計算方法計算，而不是小數乘法了，最后還得將積縮小100 倍。 在整節課的學習中，我非常重視在計算教學中算理和算法這個十分重要的課題。通過實踐和探索，在計算教學中，我們不防嘗試一下這樣的教學模式：創設情境 呈現算法 練習鞏固 自主解答 明確算理 掌握算法 我們在強調算理的同時，不能忽視計算方法的指導，只有這樣，，學生的計算能力才能得到提高。

（3）有的老師認為：“畫圖的方法很形象，總不能一直畫下去吧？”，你如何看待這個問題？學生的想法體現出這個片段活動有哪些價值？

  

“畫圖”是幫助解題的好方法

解題時，根據題的內容畫圖，把題的條件、問題在圖上標明，這樣有助于我們正確審題，理解題意，從而正確解題，提高我們分析和解決問題的能力。

結合不同的內容畫不同的圖。通常通過平面圖、立體圖、分析圖、線段圖、表格圖和思路圖等，對題目的條件、問題進行展示。下面分別舉例說明。

一、平面圖

對于題目中條件比較抽象、不易直接根據所學知識寫出答案的問題，可以借助畫平面圖幫助思考解題。

如，有兩個自然數A和B，如果把A增加12，B不變，積就增加72；如果A不變，B增加12，積就增加12O，求原來兩數的積。

根據題目的條件比較抽象的特點，不妨借用長方形圖，把條件轉化為因數與積的關系。先畫一個長方形，長表示A，寬表示B，這個長方形的面積就是原來兩數的積。如圖（l）所示。

根據條件把A增加12，則長延長12，B不變即寬不變，如圖（2）；同樣A不變即長不變，B增加12，則寬延長12，如圖（3）。從圖中不難找出：

原長方形的長（A）是120÷12＝10

原長方形的寬（B）是72÷12＝6

則兩數的積為1O×6＝6O

借助長方形圖，弄清了題中的條件，找到了解題的關鍵。

再如，一個梯形下底是上底的1.5倍，上底延長4厘米后，這個梯形就變成一個面積為6O平方厘米的平行四邊形。求原來梯形面積是多少平方厘米？

根據題意畫平面圖：

從圖中可以看出：上、下底的差是4厘米，而這4厘米對應的正好是1.5－l＝O.5倍。所以上底是4÷（1.5－1）＝8（厘米），下底

是8×1.5＝12（厘米），高是6O÷12＝5（厘米），則原梯形的面積是（8＋12）×5÷2＝5O（平方厘米）。

二、立體圖

一些求積題，結合題目的內容畫出立體圖，這樣做，使題目的內容直觀、形象，有利于思考解題。

如，把一個正方體切成兩個長方體，表面積就增加了8平方米。原來正方體的表面積是多少平方米？

如果只憑想象，做起來比較困難。按照題意畫圖，可以幫助我們思考，找出解決問題的方法來。按題意畫立體圖：

從圖中不難看出，表面積增加了8平方米，實際上是增加 2個正方形的面，每個面的面積是8÷2＝4（平方米）。原正方體是6個面，即表面積為4×6＝24（平方米）。

再如，用3個長3厘米、寬2厘米、高1厘米的長方體，拼成一個大長方體。這個大長方體的表面積是多少？

按題意畫立體圖來表示，三個長方體拼成的大長方體有以下三種情況：

（l）拼成長方體的長是2×3＝6（厘米），寬3厘米，高1厘米。表面積為（6×3＋6×l＋3×l）×2＝54（平方厘米）。

（2）拼成長方體的長是3×3＝9（厘米），寬2厘米，高1厘米。表面積為（9×2＋9×1＋2×1）×2＝58（平方厘米）。

（3）拼成長方體的長是3厘米，寬是2厘米，高是1×3＝3（厘米）。表面積為（3×2＋3×3＋2×3）×2＝42（平方厘米）。

這道題有以上三種答案，通過畫圖起到審題和理解題意的作用。

三、分析圖

一些應用題，為了能正確審題和分析題目中的數量關系，可以把題目中的條件、問題的相互關系用分析圖表示出來。

如，新華中學買來 8張桌子和幾把椅子，共花了 817.6元。每張桌子價 78.5元，比每把椅子貴 62.7元，買來椅子多少把？

分析圖：

（l）買椅子共花多少錢？ 817.6－78.5×8＝189.6元）

（2）每把椅子多少錢？ 78.5－62.7＝15.8（元）

（3）買來椅子多少把？189.6÷15.8＝12（把）

綜合算式為：（817.6－78.5×8）÷（78.5－62.7）

          ＝189.6÷15.8

          ＝12（把）

答：買來椅子12把。

四、線段圖

一些題目條件多，條件之間關系復雜，一時難以解答。可畫線段圖表示，尋求解題的突破口。 

如，光明小學六年級畢業生比全校總人數的還多3O人。新學期一年級新生人學36O人，這樣現在比原全校總人數增加了。求原來全校學生有多少人？ 

從圖中可以清楚看出，（360－30）人與全校人數的（＋）相對應，求全校人數用除法計算。列式為：

（360－30）÷（＋）＝330÷＝900（人）。 

再如，甲乙兩人同時從相距88千米的兩地相向而行，8小時后在距中點4千米處相遇。甲比乙速度快，甲、乙每小時各行多少千米？

按照題意畫線段圖：

從圖中可以清楚看出，甲、乙8小時各行的距離，甲行全程的一半又多出 4千米，乙行全程的一半少 4千米，這樣就可以求出甲、乙的速度了。

甲速：（88÷2＋4）÷8＝6（千米）

乙速：（88÷2－4）÷8＝5（千米）

五、表格圖

有些問題，通過列表不僅能分清題目的條件和問題，而且便于區分比較，起到良好的審題作用。

如，小明3次搬運15塊磚，照這樣計算，小明又搬了4次，共搬多少塊磚？

根據條件、問題，列出易懂的表格，能清楚看出已知條件和所求問題。

3次 15塊 

又搬4次 共搬？塊 

從表中不難看出，又搬4次和共搬多少塊，這兩個數量不相對應，要先求一共搬多少次，才能求出共搬多少塊，列式為：

15÷3×（3＋4）＝35（塊）

另一種思路為，先求又搬4次搬的塊數，再加上原有的塊數，就是共搬的塊數。列式為：

15÷3×4＋15＝35（塊）

六、思路圖

有些問題因為分析的角度不同，因此解題的思路也不同。通過畫圖能清楚看出解題思路，便于分析比較。

如，有一個伍分幣、4個貳分幣、8個壹分幣，要拿出8分錢，一共有多少種拿法？

這道題從表面港一點也不難，但是要不重復。不遺漏地把全部拿法一一說出來也不容易，可以用枚舉法把各種情況一一列舉出來，把思路寫出來。

五分幣（1個） 1 1 　 　　 　 　 

貳分幣（4個） 1 　 1 2 3 4 　 

壹分幣（8個） 1 3 6 4 2 　 8 

拿的方法 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ 

從圖表中可以清楚著出不同的拿法。此題一共有不重復的7種拿法。

從以上各例題中可看出：解題時通過畫圖來幫助理解題意，起到了化繁為簡、化難為易的作用。我們不妨在解題中廣泛使用。

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