秦漢時期的土地面積單位換算問題

時間：2023-05-06 12:44:35 數學論文我要投稿

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秦漢時期的土地面積單位換算問題

秦漢時期的數學史料極其稀缺，每一次考古發現涉及數學的部分，都值得深入研究，以下是小編搜集的一篇相關論文范文，歡迎閱讀參考。

1中國早期數學文獻簡介

2007年12月湖南大學岳麓書院從香港搶救性收購了一批秦代竹簡，這批竹簡是繼1975年云夢睡虎地秦簡和2002年湘西里耶秦簡之后的又一次重要發現。其中涉及數學內容的竹簡二百四十余枚，總字數6300字左右，完整算題80余例，另有解決某一類問題的單獨術文。按照原簡背面的標題，這部分被稱為《數》，經研究確定其成書時間早于1983年出土于湖北張家山漢墓的《算數書》，成為迄今為止所發現的最早的系統性中國數學文獻。

秦漢時期的數學史料極其稀缺，每一次考古發現涉及數學的部分，都值得深入研究。但其他一些涉及數學內容的竹簡，僅記載零星的數學資料，如清華大學所藏戰國竹簡中有記載乘法運算的《算表》，2002年發現的里耶秦簡中也有九九乘法口訣，其能提供的數學史信息均不夠豐富。少有像《算數書》和《數》這樣較為完整具、編排較成體系的著作。《算數書》自2001年簡文公布以來，在數學史界產生了重大影響，關于其作者以及與《九章算術》的關系等問題，學界均作了深入研究和討論，中國數學史的開篇將因此改寫，《算數書》成為不可不書的重要一章。2012年12月《數》的原簡照片出版公布，經考古學界和數學史界的初步研究發現，與《算數書》一樣，《數》的題目類型、內容、表述方式和解題思路跟漢代成書的經典傳世文獻《九章算術》有密切聯系，與《算數書》也有部分呼應，另外還出現了其他早期數學文獻中罕見的駐扎營軍問題。

而一直作為數學史界研究重點的《九章算術》，在有了《算數書》和《數》這兩部出土文獻作為文本上的他者(theother)的對照，也隱隱凸顯出以往被忽略的一些特性，如更宏大的問題背景、更嚴謹的數據處理和更復雜的制度設計思想等。這或許意味著，在中國傳統數學實用取向的基礎上，還分化出不同的層次。有必要將傳世文獻《九章算術》與出土文獻《算數書》《數》就其中的典型問題進行深入比較，進一步解釋這三者之間的聯系與區別，這將有助于我們加深對中國早期數學的理解和認識。

2秦漢時期的土地面積單位轉換問題

上述三種文獻中，關于面積單位換算有平方步與畝的換算和平方里與畝的換算兩種。前一種在三文本中均比較常用，而換算的方式往往沒有明確給出，有時暗含在術文之中，基本上可以認為這種換算是極為普通的背景知識，且畝在實際運用中是記錄面積的最普遍單位標準。我們看到三種文本中凡是結果超過二百四十平方步的答案，全部轉換為一畝(又)多少步的形式。

而對于第二種轉換，三文本中都專門提及，稱為里田術，但顯然應用率不高，《數》中只有里田術文，無算例;《算數書》中有兩種術文，一道算例;《九章算術》中有術文，配合兩道極為簡單的算例。除此之外，未有以里作為單位記錄的長度，以及把平方里轉換為畝的情況。這與單位里的長度過大有關，依秦制，一里等于300步，在日常的土地測量中用到這么大的計量單位較少。《算數書》中里田術僅有的一道例題后，直(置)提封以此為之一句也為我們提示了這一點。提封，亦稱提封田。《漢書﹒地理志下》提封田一萬萬四千四百一十三萬六千四百五傾，師古曰：提封者，大舉其封疆也。

看來平方里的面積單位，在涉及邊疆土地的丈量和劃界中會使用到。但是，即便在經常處理宏大問題的《九章算術》中，這種計量和換算也很少見。

2.1平方步與畝之間的轉換

《九章算術》中首次提到平方步與畝之間的換算是在方田術文里，以畝法二百四十步除之，即畝數。百畝為一傾。《算數書》中第64題啟廣題題中使用了一畝等于240平方步的關系。啟廣回從(縱)卅步，為啟廣幾何而為田一畝?曰：啟【廣】八步。術曰：以卅步為法，以二百卌步為實。啟從(縱)亦如此。

求為田一畝時的廣長，直接以240(平方)步作為被除數，顯然是默認了這一轉換關系。而在《數》中的第1714號簡記錄的除田之術為《算數書》和《九章算術》所沒有，肖燦博士認為此處模糊的首字可訓解為開、啟，給出或張開、伸展之意，并轉引鄒大海先生的觀點，認為這與《算數書》中的啟廣、啟從問題同意，但從內容來看，這卻為啟廣、啟從的逆運算。

除田之述(術)曰：以從(縱)二百卌步者，除廣一步，得田一畝，除廣十步，得田十畝，除廣百步，得田一頃，除廣千步得田【十傾】1714而筆者認為此處的意義更在于告訴了當從為240步、廣為1步時的面積，240(平方)步即為一畝。并且間接提到了單位傾與畝之間的關系，除廣百步，(得百畝)，得田一傾。在簡0829、0954、0976、0761中都運用到了平方步與畝的換算。而可以推測簡1714所在原簡編連中的位置有可能在這些簡之前，否則給出這樣簡單、化整的數據來說明一條術文，意義并不大。然而這個換算關系并非一直是統一的，周代的田畝制度，一畝是一百平方步，到秦孝公時，商鞅廢井田，開阡陌，制定的畝制是二百四十平方步。在漢武帝之前，周制與秦孝公之制并存，在秦地用的一直是二百四十平方步一畝，到了漢武帝時統一規定，均以二百四十平方步為一畝。在三種文獻的少廣問題中，都暗含著一畝等于二百四十平方步的條件，這種換算是直接拿來使用的。

2.2平方里與畝之間的轉換

我們再看介紹平方里與畝換算關系的里田術。《數》中的里田問題比較簡單：

里田述(術)曰：里乘里=，〔里〕也，因而參之，有(又)參五之，為田三頃七十五畝。0947叁之，有(又)叁五之表示用3稱，再用5連續稱三次，這樣一平方里就轉化成了375畝，即三傾七十五畝。算術表示為：1(平方里)=13555=375畝=3傾75畝。這與《算數書》中的一種表述十分類似：

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里田術曰：里乘里，里也，廣、從(縱)各一里，即直(置)一因而三之，有(又)三五之，即為回三頃七十五敵。其廣從(縱)不等者，先以里相乘，已乃因而三之，有(又)三五之，乃成。我們先對這個1平方里=375畝的結果作個解釋。因為1里等于300步，那以平方步來算，其面積為300300平方步，再結合一畝等于240平方步的默認條件，得到(300300)/240=375畝。這個結果與上面3555的結果是完全一致的。但這個連乘式有何數學意義，分別為《算數書》和《數》作注釋的彭浩先生和肖燦博士都沒有給出。彭先生認為此算法把一平方里為田三百七十五畝以3(555)表示，省去把里化作平方步相乘，再以畝法相除的復雜數字計算，并以一位數代替多位數相乘，大大簡化了運算。

其實這里只是找到了一種等價的算式，而非簡化了運算，(300300)/240不能直接化簡為3(555)。其他數學換算思路也都無法得解。這里的算式有拼湊結果之疑，這種做法在《數》中一道盈不足算題里也可以體現。那《九章算術》在里田術方面是怎樣記述的呢?

里田術曰：廣從里數相乘得積里。以三百七十五乘之，即畝數。亦是直接給出了換算結果，沒有數據得來過程。即便連向來全面、嚴謹的劉徽在這里的注釋也只寫了按：此術廣從里數相乘得積里。故方里之中有三頃七十五畝，故以乘之，即得商數也，沒有提到任何3(555)的步驟。另查沈康身、李繼閔兩位先生對《九章算術》的經典注釋，也都是用(300300)/240來解釋此結果。我們可以懷疑是張蒼、耿壽昌在編纂《九章算術》或劉徽在注釋《九章算術》時，將當時流傳的這個不合理的運算給刪去了。若是這樣，對數學結果的接受，但不取其不合理的運算過程，這是數學知識的進步，或是更嚴謹的數學體系(如《九章算術》)對非理性的運算的篩選和過濾。

此外，《算數書》中的里田術還記載了另外一種轉換方式，有(又)曰：里乘里，里也，【因而三之】，以里之下即予廿五因而三之，亦其頃畝數也。忽略其三或五相乘的部分，最終其表示的是將三百七十五畝先化為三傾七十五畝，把三傾七十五畝按單位拆分為三傾+七十五畝。這樣在轉換平方里為傾-畝的單位時，分別拿平方里數乘以三傾和七十五畝，前者得到的結果單位是傾，后者得到的結果單位是畝。彭浩先生認為這使得龐大的數字計算簡化，并為《夏侯陽算經》中身外加(減)法之先聲。固然對于以算籌計算大數據相乘是有很大不便，但是后一種方法也需要在乘以七十五畝之后，將得到的結果再轉化為傾-畝制，并與前一項以傾為單位者相加方可得到結果。

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