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用猜想驗證的方法化循環小數為分數 論文
把循環小數化成分數的方法,可以用移動循環節的過程來推導,也可以用無限遞縮等比數列的求和公式計 算得到。下面我們運用猜想驗證的方法來推導。
(一)化純循環小數為分數
大家都知道:一個有限小數可以化成分母是10、100、1000 ……的分數。那么,一個純循環小數可以化成 分母是怎樣的分數呢?我們先從簡單的循環節是一位數字的純循環小數開始。如:@①、@②……化成分數時 ,它們的分母可以寫成幾呢?
想一想:可能是10嗎?不可能。因為1/10=0.1〈@①,3/10=0.3〉@②;可能是8嗎?不可能。 因為1/ 8=0.125〉@①,3/8=0.375〉@②;那么,可能是幾呢?因為1/10〈@①〈1/8,3/10〈@②〈3/8,所以分 母可能是9。 下面我們來驗證一下自己的猜想:1/9=1÷9=0.111……=@①;3/9=1/3=1÷3=0.333……= @②。
計算結果說明我們的猜想是對的。那么,所有循環節是一位數字的純循環小數都可以寫成分母是9的分數嗎 ?讓我們根據自己的猜想, 把@③、@④化成分數后再驗證一下。
@③=4/9 驗證:4/9=4÷9=0.444……
@④=6/9=2/3 驗證:2/3=2÷3=0.666……
經過上面的猜想和驗證,我們可以得出這樣的結論:循環節是一位數字的純循環小數化成分數時,用一個 循環節組成的數作分子,用9 作分母;然后,能約分的再約分。
循環節是兩位數字的純循環小數怎樣化成分數呢?如:@⑤、@⑥……化成分數時,它們的分母又可以寫 成多少呢?
想一想:可能是100嗎?不可能。因為12/100=0.12〈@⑤,13/100=0.13〈@⑥。可能是98嗎?不可能。 因為12/98≈0.1224〉@⑤,13/98≈0.1327〉@⑥;可能是多少呢?因為12/100〈@⑤〈12/98,13/100〈@⑥ 〈13/98,所以分母可能是99。是否正確,還需驗證一下。
12/99=12÷99=0.121212……=@⑤;
13/99=13÷99=0.131313……=@⑥。
驗證結果說明我們的猜想是正確的。那么,所有循環節是兩位數字的純循環小數都可以寫成分母是99的分 數嗎?讓我們再運用猜想的方法,把@⑦、@⑧化成分數后,驗算一下。
@⑦=15/99=5/33,驗算:5/33=5÷33=0.151515……
@⑧=18/99=2/11,驗算:2/11=2÷11=0.181818……
經過這次猜想和驗證,我們可以得出這樣的結論:循環節是兩位數字的純循環小數化成分數時,用一個循 環節組成的數作分子,用99作分母;然后,能約分的再約分。
現在,你能推斷出循環節是三位數字的純循環小數化成分數的方法嗎?
因為循環節是一位數字的純循環小數化成分數時,用9作分母, 循環節是兩位數字的純循環小數化成分數 時,用99作分母,所以循環節是三位數字的純循環小數化成分數時,我們猜想是用999作分母, 分子也是一個 循環節組成的數。讓我們再來驗證一下,如果這個猜想也是正確的,那么,我們就可以依次推下去了。
附圖{圖}
實驗證明:我們的猜想是完全正確的。照此推下去,循環節是四位數字的純循環小數化成分數時,就要用 9999作分母了。實踐證明也是正確的。所以,純循環小數化成分數的方法是:
用9、99、999……這樣的數作分母,9 的個數與循環節的位數相同;用
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