第三冊三角形的中位線

教學目標 

1．理解三角形中位線的概念，掌握它的性質及初步應用．

2．通過對問題的探索及進一步變式，培養學生逆向思維及分解構造基本圖形解決較復雜問題的能力．

教學重點與難點

重點是三角形中位線的性質定理．

難點是證明三角形中位線性質定理時輔助線的添法和性質的錄活應用．

教學過程 設計

一、聯想，提出問題．

１．（投影）復習平行線等分線段定理及兩個推論（圖４－８９）．

(1)請同學敘述定理及推論的內容．

    (2)用數學表態式敘述圖４－８９（c）中的結論．

已知在ΔＡＢＣ中，Ｄ為ＡＢ中點，ＤＥ∥ＢＣ，則ＡＥ＝ＥＣ．

２．逆向思維，探索新結論．

引導學生思考：在圖４－９０中，反過來，若Ｄ，Ｅ分別為ＡＢ，ＡＣ中點，ＤＥ與ＢＣ有什么位置和數量關系呢？

啟發學生逆向類比猜想：ＤＥ∥ＢＣ（逆向聯想），ＤＥ＝ ＢＣ（因為ＡＤ＝ ＡＢ，ＡＥ＝ ＡＣ，類比聯想ΔＡＤＥ的第三邊ＤＥ與ΔＡＢＣ的第三邊也存在相同的倍數關系）．

由此引出課題．

二、證明猜想，形成定理

1．定義三角形的中位線，強調它與三角形的中線的區別．

2．證明上述猜想成立，教師重點分析輔助線的作法的思考過程．

教師提示學生：所證結論即有平行又有數量關系，聯想已有知識，可添加輔助線構造平行四邊形，利用對平行且相等證明結論成立，或者用書上的同一法．教師引導學生發散思維后，還要注意比較，選擇最簡捷的證明方法．

3．板書一種證明過程．

4．將“猜想改成定理，引導學生用文字敘述出三角形中位線定理的具體內容．

三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半．

5．分析定理成立的條件、結論及作用．

條件：連結兩邊中點得到中位線．

結論有兩個，即位置關系和數量關系，根據題目需要選用．

作用：在已知兩邊中點的條件下，證明線段的平行關系及線段的倍分關系．

三、應用舉例、變式練習

（投影）例1（直線給出圖4-90的問題）根據圖4-91中的條件，回答問題．

（1）       已知：如圖4-91（a），D，E分別為AB和AC的中點DE=5．BC；

（2）       如圖4-91（b），D，E，F分別為AB，AC，BC中點，AC=8，∠C＝70°，求DF和∠EDF；

（3）       如圖4-91（c），①它包含幾個圖4-90這樣的基本圖形？②哪些三角形全等？③有幾個平行四邊形？④若ΔDEF周長為10 cm，求ΔABC的周長．⑤若ΔABC的面積等于20cm2，求ΔDEF的面積．⑥AF與DE有何關系？怎樣用語言敘述這結論？

分析：

（1）       可利用復合投影片實現三個圖的疊加過程，以提高課堂效益并幫助學生建立分解基本圖形的思想．

（2）       通過此題總結：三角形三和中位線圍成的三角形的周長等于原三角形周長的一半，面積等于原三角形面積的14．這個過程可以無限進行下去，如圖4-92．

（3）       從解題過程可以得到：三角形的一條中位線（DE）與第三邊上的中線（AF）互相平分．

（板書）例2   （包含圖4-90的問題）如圖4-93，AD是ΔABC的高，M，N和E分別為AB，AC，BC的中點．求證：（1）四邊形MNDE為等腰梯形；（2）∠MEN＝∠MDN．

分析：

（1）       由條件分析，圖中可分解出“AD是ΔABC的高”，“三角形的中位線是MN，ME，NE”，“直角三角形斜邊上中線MD，ND” ．想一想，這些基本圖形都有什么性質？

（2）       從結論出發，要證四邊形MEDN是等腰梯形，只需證MN∥DE，且MN≠DE及以下三種情況之一成立：①ME=ND；②MD=EN；③∠EMN＝∠DNM．從而證得結論成立．

讓學生口述，教師板書證明過程．

例3          構造圖4-90問題．

（1）       求證：順次連結四邊形四條邊的中點，所得的四邊形是平行四邊形；

（2）若已知四邊形為特殊四邊形呢？

已知：在四邊形ABCD中，E，F，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點，如圖4-94．求證：四邊形EFGH是平行四邊形．

分析：

(1)已知四條線段的中點，可設法應用三角形中位線定理，找到四邊形EFGH的邊之間的關系．而四邊形ABCD的對角線可以把四邊形分成兩個三角形，所以添加輔助線，連結AC或BD，構造“三角形的中位線”的基本圖形．

          （2）讓學生畫圖觀察并思考此題的特殊情況，如圖4－95，順次連結各種特殊四邊形中點得到什么圖形？

投影顯示：

            四、師生共同小結

    1．教師提問引起學生思考：

    （1）這節課學習了哪些具體內容：

    （2）用什么思維方法提出猜想的？

    （3）應注意哪些概念之間的區別？

    2．在學生回答的基礎上，教師投影顯示以下與三角形一邊中點及線段倍分關系有關的基

本圖形（如圖4－96）．

（1）注意三角形中線與中位線的區別，圖4－96（a），（b）．

    （2）三角線的中位線的判定方法有兩種：定義及判定定理，圖4－96（b），（。）．

    （3）證明線段倍分關系的方法常有三種，圖4－96（b），（d），（）．

    3．先猜想后證明的研究問題方法；逆向思維，探究逆命題是否成立，由此經常得到一些好

的結論；添輔助線構造基本圖形來使用性質的解題方法．

    4．三角形的中位線有這樣的性質，那么梯形有中位線嗎？它有類似的性質嗎？（為下節

課作思維上的準備）

    五、作業 

    課本第180頁第4題，第184頁第5，7，8題，第185頁B組第1題．

    補充題：（構造三角形的中位線）

    1．如圖4－97，AD是上ABC的外角平分線，CD上AD于D．E是BC的中點．求證：（1）DE ∥／ AB：（2）DE ＝ （AB＋AC）．

    （提示：延長CD交BA延長線于F．）

    2．如圖 4－98，正方形 ABCD對角線交于點O，E是BO中點，連結”并延長交BC于F．求證：BF= CF．（提示：作OG∥EF交于BC于G．）

    

    3．如圖4－99，在四邊形 ABCD中，AB＝CD， E，F分別是AD，BC的中點，延長 BA和CD分別交FE的延長線于 G，H點．求證：∠BGF＝∠CHF．（提示：連結 AC，取 AC中聲、 M，連結EM，FM．）

    課堂教學設計說明

    本教學過程 設計需1課時完成．

    1．本節課的設計，力求讓學生通過逆向思維及類比聯想自己實踐“分析——猜想——證

明”的過程．變被動接受知識為主動應用已有知識，探索新知識，獲得成功的喜悅．

    2．在應用性質定理時，通過一組層次遞進的變式題的訓練，由直接給出定理的基本圖形

到包含基本圖形，學生分解圖形后使用性質，再到通過添加輔助線構造基本圖形來使用性質，

學生逐步學會運用性質來解決問題，他們的解題能力、思考問題的方法得到逐步提高

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