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切線的判定定理教案

時間:2021-09-18 09:38:07 其它教案 我要投稿

切線的判定定理教案

  【內容概述】

切線的判定定理教案

  證明圓的切線是近幾年中考常見的數學問題之一。最常用的是利用“經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線”證明。

  本內容通過動手操作得出切線的判定定理,再利用解決兩道例題,總結歸納出兩種具體的證法:

  ①當直線與圓有一個公共點時,把圓心和這個公共點連結起來,證明直線垂直于這條半徑,簡稱為“連半徑,證垂直”;

  ②當直線和圓的公共點沒有明確時,可過圓心作直線的垂線,再證圓心到直線的距離等于半徑,簡稱為“作垂直,證半徑”。

  歸納總結后,馬上給予兩道對應練習題鞏固理解兩種證明方法。

  【教學重難點】

  理解切線的判定方法,能選擇正確的方法證明一條直線是圓的切線。

  【教學目標】

  掌握判斷圓的切線的方法,并靈活解題。進一步培養使用“分類”與“歸納”等思想方法的能力。

  【教學過程】

  一、復習引入

  平面內直線和圓存在著三種位置關系,即直線和圓相離、直線和圓相切、直線和圓相交,這三種位置關系中最重要的是直線和圓相切。那么怎樣證明直線和圓相切呢?怎樣判定一條直線是圓的切線?

  ⑴和圓只有一個公共點的直線是圓的切線;(定義)

  ⑵到圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線;(d=r)

  除了這兩種方法,還有沒有其他方法判定一條直線是圓的切線呢?

  活動一:在練習本上畫一個圓O,做一個半徑OA,做一條直線L,使L經過點A且垂直于OA。這樣的直線能畫幾條?這條直線和圓是什么位置關系?為什么?你得到了什么結論?

  切線判定定理:經過直徑的`一端,且垂直于這條直徑的直線是圓的切線。

  活動二:分析定理。經過直徑的一端,且垂直于這條直徑的直線是圓的切線。

  這個定理有什么用?證明一條直線是圓的切線,那根據這個判定定理,要證明一條直線是圓的切線,需要幾個條件?分別是什么?

  對定理的理解:①經過半徑外端. ②垂直于這條半徑。

  定理中的兩個條件缺一不可。

  二、典型例題

  例1:如圖,直線AB經過⊙O上的點C,并且OA=OB,CA=CB,

  求證:直線AB是⊙O的切線。

  證明:連結0C

  ∵0A=0B,CA=CB,

  ∴AB⊥OC。

  ∵直線AB經過半徑0C的外端C,

  并且垂直于半徑0C,

  ∴AB是⊙O的切線。

  【評析】一定要分清圓的切線的判定定理的條件與結論,特別要注意“經過半徑的外端”和“垂直于這條半徑”這兩個條件缺一不可,否則就不是圓的切線。

  例2:如圖,P是∠BAC上的平分線上一點,PD⊥AC,垂足為D,請問AB與以P

  為圓心、PD為半徑的圓相切嗎?為什么 ?

  證明:過P作PE⊥AB于E

  ∵AP平分∠BAC,PD⊥AC

  ∴PE=PD(角平分線上的點到角兩邊距離相等)

  ∴圓心P到AB的距離PE=PD=半徑

  ∴AB與圓相切

  【設計意圖】通過例一和例二的解答,總結證明切線的兩種添加輔助線的方法。

  ①當直線與圓有一個公共點時,把圓心和這個公共點連結起來,證明直線垂直于這條半徑,簡稱為“連半徑,證垂直”;

  ②當直線和圓的公共點沒有明確時,可過圓心作直線的垂線,再證圓心到直線的距離等于半徑,簡稱為“作垂直,證半徑”。

  三、知識應用(練習)

  1、如圖,已知⊙O是△ABC的外接圓,AB是⊙O的直徑,D是AB的延長線上

  的一點,AE⊥DC交DC的延長線于點E,弦AC平分∠EAB。

  求證:DE是⊙O的切線.

  [分析]:因直線DE與⊙O有公共點C,故應采用“連半徑,證垂直”的方法。

  證明:連接OC,則OA=OC,

  ∴∠CAO=∠ACO(等邊對等角)

  ∵AC平分∠EAB(已知)

  ∴∠EAC=∠CAO(角平分線的定義)

  ∴∠EAC=∠ACO(等量代換)

  ∴AE∥CO,(內錯角相等,兩直線平行)

  又AE⊥DE,

  ∴CO⊥DC,

  ∴DE是⊙O的切線.

  【評析】本題綜合運用了圓的切線的性質與判定定理.一定要注意區分這兩個定理的題設與結論,注意在什么情況下可以用切線的性質定理,在什么情況下可以用切線的判定定理.希望同學們通過本題對這兩個定理有進一步的認識.本題若作OC⊥CD,就判斷出了CD與⊙O相切,這是錯誤的.這樣做相當于還未探究、判斷,就以經得出了結論,顯然是錯誤的。

  2、如圖,已知在△ABC中,CD是AB上的高,且CD=AB,E、F分別是AC、

  BC的中點,求證:以EF為直徑的⊙O 與AB 相切。

  [分析]:因直線AB與⊙O無確定的公共點,故應采用“作垂直,證半徑”方法。

  證明:過O點作OH⊥AB于H

  ∵E、F分別為AC、BC的中點(已知)

  ∴EF∥AB,且EF=AB(三角形中位線平行于第三邊,且等于第三邊的一半)

  ∴G點為CD的中點,OH=GD=CD

  ∵CD=AB ∴EF=CD

  ∴OH=EF

  ∴AB為⊙O的切線

  四、小結升華

  本節課里,你學到了哪些知識,它們是如何應用的?

  證明切線的方法:(1)直線和圓有交點時,“連半徑,證垂直”;

  (2)直線和圓無確定交點時,“作垂直,證半徑”。

  【設計意圖】讓學生自己通過這節課的學習歸納總結出本知識點,即判斷直線與

  圓相切的方法以及二種添加輔助線的方法。

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