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微分中值定理與導數的應用習題
第四章 微分中值定理與導數的應用習題
§4.1 微分中值定理
1． 填空題
（１）函數f(x)?arctanx在[0, 1]上使拉格朗日中值定理結論成立的ξ是
4??
?
．
（２）設f(x)?(x?1)(x?2)(x?3)(x?5)，則f?(x)?0有 3 個實根，分別位于區間(1,2),(2,3),(3,5)中．
2． 選擇題 （１）羅爾定理中的三個條件:f(x)在[a,b]上連續，在(a,b)內可導，且f(a)?f(b)，是f(x)在(a,b)內至少存在一點?，使f?(?)?0成立的（ B ）．
A． 必要條件 B．充分條件 C． 充要條件 D． 既非充分也非必要條件
（２）下列函數在[?1, 1]上滿足羅爾定理條件的是（ C ）．
1?
?xsin, x?0
A. f(x)?e B. f(x)?|x| C. f(x)?1?x D. f(x)?? x
? x?0?0,
（３）若f(x)在(a,b)內可導，且x1、x2是(a,b)內任意兩點，則至少存在一點?，使下式成
x
2
立（ B ）．
A． f(x2)?f(x1)?(x1?x2)f?(?)
??(a,b)
B． f(x1)?f(x2)?(x1?x2)f?(?)?在x1,x2之間 C． f(x1)?f(x2)?(x2?x1)f?(?)x1???x2 D． f(x2)?f(x1)?(x2?x1)f?(?)x1???x2
3．證明恒等式：arctanx?arccotx?
?
2
(???x??)．
11
??0，所以f(x)為一常數．
1?x21?x2
證明： 令f(x)?arctanx?arccotx，則f?(x)?設f(x)?c，又因為f(1)?
?
2
，
n?arccotx?故 arctax
?
2
(???x??)．
4．若函數f(x)在(a,b)內具有二階導數，且f(x1)?f(x2)?f(x3)，其中a?x1?x2
?x3?b，證明:在(x1,x3)內至少有一點?，使得f??(?)?0．
證明：由于f(x)在[x1,x2]上連續,在(x1,x2)可導,且f(x1)?f(x2)，根據羅爾定理知，存在?1?(x1,x2)， 使f?(?1)?0． 同理存在?2?(x2,x3)，使f?(?2)?0． 又f?(x)在[?1,?2]上 符合羅爾定理的條件，故有??(x1,x3)，使得f??(?)?0．
x2x3
??0有且僅有一個實根． 5． 證明方程1?x?26
1x2x3
?證明：設f(x)?1?x?， 則f(0)?1?0,f(?2)???0，根據零點存在定理至
326
少存在一個??(?2,0)， 使得f(?)?0．另一方面，假設有x1,x2?(??,??)，且x1?x2，使
1
f(x1)?f(x2)?0，根據羅爾定理，存在??(x1,x2)使f?(?)?0，即1????2?0，這與
2
12x2x3
1?????0矛盾．故方程1?x???0只有一個實根．
226
6． 設函數f(x)的導函數f?(x)在[a,b]上連續，且f(a)?0,f(c)?0,f(b)?0，其中c是介
于a,b之間的一個實數． 證明： 存在??(a,b), 使f?(?)?0成立.
證明： 由于f(x)在[a,b]內可導，從而f(x)在閉區間[a,b]內連續，在開區間(a,b)內可導．又因為f(a)?0,f(c)?0，根據零點存在定理，必存在點?1?(a,c)，使得f(?1)?0． 同理，存在點?2?(c,b)，使得f(?2)?0．因此f(x)在??1,?2?上滿足羅爾定理的條件，故存在??(a,b)， 使
f?(?)?0成立．
7. 設函數f(x)在[0,1]上連續, 在(0,1)內可導. 試證:至少存在一點??(0,1), 使
f?(?)?2?[f(1)?f(0)].
證明： 只需令g(x)?x，利用柯西中值定理即可證明.
8．證明下列不等式
2
sinx
?cosx． x
證明： 設f(t)?sint?tcost，函數f(t)在區間[0,x]上滿足拉格朗日中值定理的條件，且
（１）當0?x??時，
f?(t)?tsint, 故f(x)?f(0)?f'(?)(x?0), 0???x, 即
sinx?xcosx?x?sin??0 (0?x??)
sinx
?cosx． 因此， 當0?x??時，x
a?baa?b
?ln?（２）當 a?b?0時，． abb
證明：設f(x)?lnx，則函數在區間[b,a]上滿足拉格朗日中值定理得條件，有
f(a)?f(b)?f'(?)(a?b),b???a
1a1111'
因為f(x)?，所以ln?(a?b)，又因為b???a，所以??，從而
xb?a?b
a?baa?b
?ln? ． abb
§4.2 洛畢達法則
1． 填空題 （１） lim
cos5x
5x?
?
2
cos3x
??3
ln(1?1
（２）)
xlim
???arctanx
? （３）lim11x?0(x2?
xtanx)=1
3 （４）lim(sinx)x
x?0
?
?２．選擇題
（１）下列各式運用洛必達法則正確的是（ B ） A． limnnlim
lnnn??nlim
1n??
?e
?e
n??n?1
B． lim
x?sinxx?0x?sinx? lim1?cosx
x?01?cosx
??
x2sin111C． lim
x2xsin?cos
x?0sinx?limxx不存在 x?0cosx
D． lx1
x?i0ex=limx?0e
x?1
（２） 在以下各式中，極限存在，但不能用洛必達法則計算的是（ C ）
A． limx2x?0sinx B． xlim?0?(1x)tanx C． limx?sinxx??x
D． xlimxn
???ex
3． 求下列極限
limxm?am
（１）x?axn?an
．
解： limxm?ammxm?1mx?axn?an=lim
x?anxn?1?n
am?n
． 2x?2?x（２）lim?2x?0x
2． 解： lim2x?2?x?22xln2?2?xln22x(ln2)2?2?x(ln2)22
x?0x
2=limx?02x=limx?02=(ln2)．
（３）lim
sinx?tanx
．
x?0x3
1
x?(?x2)
解：limsinx?tanxx?0x3＝limtanx(cosx?1)x?0x3?limx?0x3＝?12． （４） limex?sinx?1
．
x?0(arcsinx)2
解：limex?sinx?1
ex?sinx?1ex?cosxex2＝x?0(arcsinx)limx?0x
2＝limx?02x?lim?sinxx?02?12．
（５）limx?xx
．
x?11?x?lnx
解： (xx)??xx(1?lnx)， xx
?xx(1?lnx)2?xx
1lim
x?x
xx?11?x?lnx＝lim1?x(1?lnx)x?1＝lim
?1?
1
x?1x
?1x2
?limx?1
[xx?2(1?lnx)2?xx?1]?2．
（６） lim(1x?0x?1ex?1
)． 12解：lim11x?0(x?ex?1)?limex
?x?12x1x?0x(ex?1)?limx?0x
2?2
（７） 1
tanx
xlim?0
?
(x
) ．
11
?limtanxlnx
?lim
lnx
limlim
sin2x
解：tanx
x?0?
x?0?cotx
xlim?0
?
(x
)?e?e
?e
?xx?0
??csc2x?e
x?0?x?1．
（８）limln(1x
3
x???
?2)ln(1?
x
)． 2xln2
解： x33xln(1?2x)xxlim???ln(1?2)ln(1?x)=xlim???xln(1?2)?3xlim???x?3xlim
???1
=3ln2xlim2
x???1?2x
=3ln2．
（９） lin??
n．
解： 因為limx?e
xlim1??x
lnx
xlim
1
??x
x??
?e
?1，所以nlim??
n=1．
§4.3函數的單調性與曲線的凹凸性
1． 填空題
（１） 函數y?4x2?ln(x2)的單調增加區間是(?
11
,0)?(,??)，單調減少區間22
11
(??,?)?(0,)．
22
（２）若函數f(x)二階導數存在，且f??(x)?0,f(0)?0，則F(x)?是單調 增加 ．
（３）函數y?ax2?1在(0,??)內單調增加，則a?0．
（４）若點（1，3)為曲線y?ax3?bx2的拐點，則a??凸區間為(1,?)．
2． 單項選擇題
（１）下列函數中，（ A ）在指定區間內是單調減少的函數. A. y?2 (??,??) B. y?e (??,0) C. y?lnx (0,??) D. y?sinx (0,?)
（２）設f?(x)?(x?1)(2x?1)，則在區間(,1)內（ B ）． A. y?f(x)單調增加，曲線y?f(x)為凹的 B. y?f(x) 單調減少，曲線y?f(x)為凹的 C. y?f(x)單調減少，曲線y?f(x)為凸的 Ｄ．y?f(x)單調增加，曲線y?f(x)為凸的
（３）f(x)在(??,??)內可導, 且?x1,x2,當 x1?x2時, f(x1)?f(x2),則( D ) A. 任意x,f?(x)?0 B. 任意x,f?(?x)?0 C. f(?x)單調增 D. ?f(?x)單調增
（４）設函數f(x)在[0,1]上二階導數大于0, 則下列關系式成立的是（ B ） A. f?(1)?f?(0)?f(1)?f(0) B. f?(1)?f(1)?f(0)?f?(0) C. f(1)?f(0)?f?(1)?f?(0) D. f?(1)?f(0)?f(1)?f?(0) 2． 求下列函數的單調區間 （１）y?e?x?1．
解：y??e?1，當x?0時，y??0,所以函數在區間[0,??)為單調增加； 當x?0時，y??0，所以函數在區間(??,0]為單調減少．
（２）y?(2x?
xx?x
x
f(x)
在0?x???上x
39，b?，曲線的凹區間為(??,1)，
22
1
2
10?3
解：y??x(x?1)，
3
當x?1，或x?0時，y??0,所以函數在區間(??,0]?[1,??)為單調增加； 當0?x?1時，y??0，所以函數在區間[0,1]為單調減少．
（３）y?ln(x??x2)
1
1?
解： y??
x?x2
2
x??x
?
1?x
2
?0，故函數在(??,??)單調增加．
3． 證明下列不等式
（１）證明： 對任意實數a和b, 成立不等式證明：令f(x)?
|a?b||a||b|
??．
1?|a?b|1?|a|1?|b|
x1，則f?(x)??0， f(x)在[ 0 , ?? )內單調增加. 2
1?x(1?x)
于是, 由 |a?b| ? |a|?|b|, 就有 f( |a?b| )?f( |a|?|b| ), 即
|a?b||a|?|b||a||b||a||b|
?????
1?|a?b|1?|a|?|b|1?|a|?|b|1?|a|?|b|1?|a|1?|b|
（２）當x?1時, lnx?
2(x?1)
． x?1
'
證明：設f(x)?(x?1)lnx?2(x?1)， f(x)?lnx?
1
?1，由于當x?1時，x
11
?2?0, 因此f?(x)在[1,??)單調遞增, 當 x?1時, f?(x)?f?(1)?0, 故f(x)在xx
[1,??)單調遞增, 當 x?1時, 有f(x)?f(1)?0.故當x?1時,f(x)?(x?1)lnx?2(x?1)?0,
2(x?1)
因此lnx?．
x?1f??(x)?
x3
（３）當 x?0時，sinx?x?．
6x3x2
?0，證明：設f(x)?sinx?x?, f?(x)?cosx?1?當x?0，f??(x)?x?sinx?0， 26
所以f?(x)在[0,??)單調遞增, 當 x?0時, f?(x)?f?(0)?0, 故f(x)在[0,??)單調遞增, 從x3
而當 x?0時, 有f(x)?f(0)?0. 因此當 x?0時，sinx?x?．
6
??
4． 討論方程x?sinx?k(其中k為常數)在(0,)內有幾個實根．
22???
解：設?(x)?x?sinx?k, 則?(x)在[0,]連續, 且?(0)??k,?()??k，
222
由??(x)?1?
?
2
cosx?0，得x?arccos
2
?
為(0,
?
2
)內的唯一駐點．第一文庫網
22?
?(x)在[0,arccos]上單調減少，在[arccos,]上單調增加．
??2
?222?4
故?)???k為極小值，因此?(x)在[0,]的最大值是?k,最
2??2
22?4
小值是??k．
?2
?2?2?4
（１） 當k?0,或k??時,方程在(0,)內無實根；
2?2
2?2?4
（２） 當??k?0時,有兩個實根；
?2
22?4
（３） 當k??時，有唯一實根．
?2
(1,?10)5． 試確定曲線y?ax3?bx2?cx?d中的a、b、c、d，使得x??2處曲線有水平切線，
為拐點，且點(?2,44)在曲線上．
解： y??3ax2?2bx?c,y???6ax?2b，所以
?3a(?2)2?2b(?2)?c?0?
6a?2b?0?
?
a?b?c?d??10?
32??a(?2)?b(?2)?c(?2)?d?44
解得： a?1,b??3,c??24,d?16．
6．求下列函數圖形的拐點及凹或凸的區間
x
2
x?1x2?12x3?6x
解： y??1?2, y???2, 23
(x?1)(x?1)
令y???0,得x?0，當x??1時y??不存在．
當?1?x?0或x?1時, y???0,當x??1或0?x?1時, y???0．
x
故曲線y?x?2在(??,?1)?(0,1)上是凸的, 在區間和(?1,0)?(1,??)上是凹的，
x?1
曲線的拐點為(0,0)．
（１）y?x?
（２）y?(2x?5)x2拐點及凹或凸的區間
，y??? 1
當x?0時，y?,y??不存在；當x??時，y???0．
2
解：y??
故曲線在(??,?)上是凸的, 在(?
1211
,??)上是凹的，(?,?32)是曲線的拐點, 22
xx
? 2?
xx1x11x
證明：令f(x)?sin?, 則f?(x)?cos?, f??(x)??sin．
2?22?42
xx
當0?x??時, f??(x)?0, 故函數f(x)?sin?的圖形在(0,?)上是凸的, 從而曲線
2?
y?f(x)在線段AB（其中A(0,f(0)),B(?,f(?)）的上方，又f(0)?f(?)?0, 因此f(x)?0,
xx即sin?．
2?
7．利用凹凸性證明: 當0?x??時, sin
§4.4 函數的極值與最大值最小值
1． 填空題
（１）函數y?x2x取極小值的點是x??
23
2
13
1． ln2
（２） 函數f(x)?x?(x?1)在區間[0,2]上的最大值為f(
12
)?
2
2
，最小值為
f(0)??1 ．
2．選擇題
（１） 設f(x)在(??,??)內有二階導數，f?(x0)?0，問f(x)還要滿足以下哪個條件，則
f(x0)必是f(x)的最大值？（ C ）
A． x?x0是f(x)的唯一駐點 B． x?x0是f(x)的極大值點 C． f??(x)在(??,??)內恒為負 D． f??(x)不為零
（２） 已知f(x)對任意y?f(x)滿足xf??(x)?3x[f?(x)]2?1?e?x，若
f?(x0)?0 (x0?0)，則（ B ）
A. f(x0)為f(x)的極大值 B. f(x0)為f(x)的極小值 C. （x0,f(x0))為拐點 D. f(x0)不是極值點, （x0,f(x0))不是拐點
（３）若f(x)在x0至少二階可導, 且lim
x?x0
f(x)?f(x0)
??1,則函數f(x)在x0處( Ａ ) 2
(x?x0)
A． 取得極大值 B． 取得極小值 C． 無極值 D． 不一定有極值
3． 求下列函數的極值 （１） f?x??x?
32/3
x． 2
解：由f?(x)?1?x
?
13
?0，得x?1．
1?4
f??(x)?x3,f''(1)?0，所以函數在x?1點取得極小值．
3
（２）f(x)?x．
1x
1
(1?lnx)， x2
令y??0得駐點x?e，當x?(0,e)時，y??0，當x?(e,??)時，y??0．
解：定義域為(0,??)，y?e
1lnxx
, y??x
1x
因此y(e)?e為極大值．
32
4． 求y?2x?3x?12x?14的在[?3,4]上的最大值與最小值．
解：y(?3)?23, y(4)?132．
由y??6x2?6x?12?0，得x?1, x??2．
而y(1)?7,y(?2)?34, 所以最大值為132，最小值為7．
5． 在半徑為R的球內作一個內接圓錐體，問此圓錐體的高、底半徑為何值時，其體積V最大． 解：設圓錐體的高為h, 底半徑為r,故圓錐體的體積為V?由于(h?R)2?r2?R2，因此V(h)?
1
e
1
? r2h， 3
1
? h(2Rh?h2) (0?h?2R)， 3
14R222
由V?(h)?? (4Rh?3h)?0，得h?，此時r?R．
333
由于內接錐體體積的最大值一定存在,且在(0,2R)的內部取得. 現在V?(h)?0在(0,2R)內只有一
個根,故當h?
6. 工廠C與鐵路線的垂直距離AC為20km, A點到火車站B的距離為100km. 欲修一條從工廠到鐵路的公路CD, 已知鐵路與公路每公里運費之比為3:5，為了使火車站B與工廠C間的運費最省, 問D點應選在何處？
解: 設AD?x? B與C間的運費為y, 則 y?5k400?x2?3k(100?x) （0?x?100）， 其中k是某一正數． 由 y??k(
4R22, r?R時, 內接錐體體積的最大． 33
5x400?x
2
?3)?0? 得x?15?
1
? 其中以y|x?15?380k為最小? 因25
由于y|x?0?400k? y|x?15?38k0???y|x?100??此當AD?x?15km時? 總運費為最省．
7． 寬為b的運河垂直地流向寬為a的運河. 設河岸是直的,問木料從一條運河流到另一條運河去,其長度最長為多少?
解： 問題轉化為求過點C的線段AB的最大值. 設木料的長度為l, AC?x,CB?y，木料與河岸的夾角為t，則x?y?l，且
x?
acost,y?bsint, l?acost?bsint t?(0,?2)．
則
l??
asintcos2t?bcost
sin2t
， 2
2
3
由l??0得tant?3b
, 此時l?(a3?b3)2a
，
223
故木料最長為l?(a3
?b3
)2．
§4.5 函數圖形的描繪
１．求y?x3
(x?1)2
的漸近線.
x3
解：由 lim??1(x?1)2???，所以x?1為曲線y?f(x)的鉛直漸近線．
x因為 limyx2x3
x??x?limx??(x?1)2?1,limx??(y?x)?limx??(x?1)2
?x??2
所以y?x?2為曲線y?f(x)的斜漸近線．
第四章 綜合練習題
1．填空題
（１） lim1ln(1?1
)
x?0xsinx?xlim???arctanx?．
（２） 函數y?x?ln(x?1)在區間(?1,0)內單調減少，在區間(0,??)內單調增加． （３） 曲線y?1
x?ln(1?ex)的漸近線是x?0和y?0． （４）lim(tanx)cosx?．
x??
2?0
2． 求下列極限
（１） lim?tanx??sinx
x?0xln(1?x)?x2 解：lim?tanx??sinxtanx?sinx1
x?0xln(1?x)?x2＝limx?0x[ln(1?x)?x]??tanx??sinx ＝11
2lim1?cosx
ln(1?x)?x?limtanx
x＝11?cosxsinx
x?0x?02lim＝x?0ln(1?x)?x2limx?01 1?x?1
＝?1sinx
2limx?0x(1?x)??1
2．
(?sin1?1cos11
（２） limxxx)cosx
x??1 (ex?a?ea)2sin1
x
(?sin1?1111111111
解：limcos)cos(?sin?cos)cos?sin?cos
x??=lim=lim11
(ex?a?ea)2sin1x??2ax21x??
xe(e?1)sinxe2a(1
x)21
x
1111
=12cosx?2cosx?1
3sin1x
e2alim??1． x???33e2a
x4
3． 求證當x?0時， x?12
2x?ln(1?x)．
證明： 令f(x)?ln(1?x)?x?1
2x2, 則
f?(x)?1
1?x?1?x?x2
1?x,
11
當x?0時, f?(x)?0，故f(x)在[0,??)單調增． 當x?0時，有f(x)?f(0)?0，即
12x?ln(1?x)． 2
4． 設f(x)在[a,b]上可導且b?a?4，證明：存在點x0?(a,b)使f?(x0)?1?f2(x0).
?f?(x)|F(x)|?證明： 設F(x)?arctanf(x), 則F?(x)?，且． 221?f(x)
F(b)?F(a)?F?(x0), 即 由拉格朗日中值定理知, 存在x0?(a,b)，使b?ax?
?
f?(x0)F(b)?F(a)|F(b)|?|F(a)|??????1． 2b?ab?a441?f(x0)
5． 設函數f(x),g(x)在[a,b]上連續,在(a,b)內具有二階導數且存在相等的最大值, 且??f(a)?g(a), f(b)?g(b), 證明： 存在??(a,b),使得f??(?)?g??(?)．
證明： 設f(x),g(x)分別在x1,x2?(a,b)取得最大值M， 則f(x1)?g(x2)?M, 且f?(x1)?g?(x2)?0． 令F(x)?f(x)?g(x)．
當x1?x2時, F(a)?F(b)?F(x1)?0, 由羅爾定理知, 存在?1?(a,x1),?2?(x1,b), 使 F?(?1)?F?(?2)?0, 進一步由羅爾定理知, 存在??(x1,x2)，使F??(?)?0，即f??(?)?g??(?)
當x1?x2時, F(x1)?M?g(x1)?0,F(x2)?f(x2)?M?0，由零點存在定理可知，存在?1?[x1,x2]，使F(?1)?0． 由于F(a)?F(b)?0，由前面證明知, 存在??(a,b)，使F??(?)?0，即f??(?)?g??(?)．
1?1有且僅有一個正的實根． x2
11證明：設f(x)?kx?2?1． 當k?0，顯然2?1只有一個正的實根．下考慮k?0時的xx6． 設k?0,證明方程kx?
情況．
先證存在性： 因為f(x)在(0,??)內連續，且limf(x)???，limf(x)???，由零點存在定x?0x???
1?1至少有一個正的實根． 2x
再證唯一性：假設有x1,x2?0，且x1?x2，使f(x1)?f(x2)?0，根據羅爾定理，存在
22??(x1,x2)?(0,??)，使f?(?)?0，即k?3?0，從而k?3?0，這與k?0矛盾．故方理知，至少存在一個??(0,??)，使f(?)?0，即kx???
程kx?
1?1只有一個正的實根． x2
327． 對某工廠的上午班工人的工作效率的研究表明，一個中等水平的工人早上8時開始工作，在t小時之后，生產出Q(t)??t?9t?12t個產品．問：在早上幾點鐘這個工人工作效率最高？
2解：因為x(t)?Q?(t)??3t?18t?12,x?(t)?Q??(t)??6t?18, 令x?(t)?0,得t?3． 又
當t?3時，x?(t)?0．函數x(t)在[0,3]上單調增加；當t?3時，x?(t)?0，函數x(t)在[3,??)上單調減少．故當t?3時，x(t)達到最大, 即上午11時這個工人的工作效率最高．
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