第三屆全國高中青年數學教師優秀課觀摩與評比活動教案

第三屆全國高中青年數學教師優秀課觀摩與評比活動教案

課題：橢圓及其標準方程

教材：人教版(必修)數學第二冊(上)第八章第一節

授課教師：(吉林省)東北師范大學附屬實驗學校李季

一、教學目標：

1.知識與技能目標：

(1)掌握橢圓定義和標準方程.

(2)能用橢圓的定義解決一些簡單的問題.

2.過程與方法目標：

(1)通過橢圓定義的歸納和標準方程的推導，培養學生發現規律、認識規律并利用規律解決實際問題的能力.

(2)在橢圓定義的獲得和其標準方程的推導過程中進一步滲透數形結合等數學思想和方法

3.情感態度與價值觀目標：

(1)通過橢圓定義的獲得培養學生探索數學的興趣.

(2)通過標準方程的推導培養學生求簡意識并能懂得欣賞數學的"簡潔美".

(3)通過師生、生生的合作學習，增強學生團隊協作能力的培養，增強主動與他人合作交流的意識.

二、教學重點、難點：

1.重點：橢圓定義及其標準方程

2.難點：橢圓標準方程的推導

三、教學過程

(一)認識橢圓，探求規律：

1.對橢圓的感性認識.通過演示課前老師和學生共同準備的有關橢圓的實

物和圖片，讓學生從感性上認識橢圓.

2.通過動畫設計，展示橢圓的形成過程，使學生認識到橢圓是點按一定"規

律"運動的軌跡.

點是線段AC上一動點，分別以為圓心，與為半徑做圓，觀察兩圓交點的軌跡.

請同學們思考：

(1)在運動中，哪些量是不變的，哪些量是變化的?

(2)能不能把不變的量用數學表達式表達出來?

(3)點(橢圓上的點)是以怎樣的規律進行運動的?

(4)用這個規律能不能畫出一個橢圓?

(二)動手實驗，親身體會

用上面所總結的規律，指導學生互相合作(主要在于動手)，體驗畫橢圓的過程(課前準備直尺、細繩、釘子、筆、紙板)，并以此了解橢圓上的點的特征.

請兩名同學上臺畫在黑板上.

在本環節中并不是急于向學生交待橢圓的定義，而是設計一個實驗，一來是為了給學生一個創造實驗的機會，讓學生體會橢圓上點的運動規律；二是通過實踐，為進一步上升到理論做準備.

(三)歸納定義，完善定義

我們通過動畫演示，實踐操作，對橢圓有了一定的認識，下面由同學們歸納橢圓的定義(學生分組討論).

橢圓定義：平面內與兩個定點的距離的和等于常數(大于=2c)的點的軌跡叫做橢圓

在歸納橢圓定義的過程中，教師根據學生回答的情況，不斷引導他們逐步加深理解并完善橢圓的定義，在引導中突出體現"和"，"常數"及"常數"的范圍等關鍵詞與相應的特征.

如：總結動畫演示中兩圓半徑之和(常數)得到橢圓上點到兩定點距離之和為常數.

通過課件分別演示當兩定點間距離等于線段長度時的軌跡(為一條線段)和當兩定點距離大于線段長度時的軌跡(不存在)，由學生完善橢圓定義中常數的范圍.

教師指出：兩個定點叫橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做橢圓的焦距.

(四)合理建系，推導方程

由學生自主提出建立坐標系的不同方法，教師根據學生提出的"建系"方式，把學生分成若干組，分別按不同的建系的方法推導方程，進行比較，從中選擇比較簡潔優美的形式確定為標準方程.

已知橢圓的焦距，橢圓上的動點到兩定點,的距離之和為，求橢圓的方程.

(1)以兩個定點,所在直線為軸，線段的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系.設，點為橢圓上任意一點，則

(稱此式為幾何條件)，

所以得(實現集合條件代數化)，

化簡，得

注：這是本節的難點所在，通過課堂精心設問來突破難點：①化簡含有根號的式子時，我們通常有什么方法?②對于本式是直接平方好呢還是恰當整理后再平方?學生通過實踐，發現對于這個方程，直接平方不利于化簡，而整理后再平方，最后能得到圓滿的結果.

(2)以線段中點為坐標原點，所在直線為y軸建立平面直角坐標系，所得橢圓方程為：

相比之下，其它的建系方式不夠簡潔.

同學們觀察右圖，當運動到線段AC中點時，兩圓半徑相等，即，因，則，不妨令，那么(1)(2)所得的橢圓方程可化為：

，(1)

，(2)

(在這里教師指出：我們剛才只是從"曲線的方程"的角度推導出了符合定義的點的坐標滿足的方程，我們還需要從"方程的曲線"的角度來說明以方程(1)(2)的解為坐標的點都在曲線(橢圓)上，這個問題留給學生課后完成.)

我們稱(1)(2)為橢圓的標準方程.

對標準方程的理解：

1.所謂橢圓標準方程，一定指的是焦點在坐標軸上，且兩焦點的中點為坐標原點；

2.在與這兩個標準方程中，都有的要求，也就是說，焦點在哪個軸上，哪個對應的分式的分母就較大.

(五)應用舉例，小結升華.

例1.用定義判斷下列動點的軌跡是否為橢圓.

(1)平面內，到的距離之和為6的點的軌跡.(是)

(2)平面內，到的距離之和為4的點的軌跡.(不是)

(3)平面內，到的距離之和為3的點的軌跡.(不是)

例2.方程表示焦點在軸上的橢圓，則的取值范圍為：

例3.已知橢圓方程為，則兩焦點坐標為：

小結：由學生總結本節課所學習到的知識和思想方法.

1.知識總結：

橢圓的定義，標準方程

2.思想方法總結：

教師根據學生的總結做適當補充、歸納、點評。

(六)、板書設計(略)

教案的設計說明：

數學教學是思維過程的教學，如何引導學生參與到教學過程中來，尤其是在思維上深層次的參與，是促進學生良好的認知結構，培養能力，全面提高素質的關鍵.數學教學中的探究式對培養和提高學生的自主性、能動性和創造性有著非常重要的意義.本節借助多媒體輔助手段，創設問題的情境，讓探究式教學走進課堂，喚醒學生的主體意識，發展學生的主體能力，讓學生在參與中學會學習、學會合作、學會創新.

學生雖然對橢圓圖形有所了解，但只限于感性認識，缺少理性的思考、探索和創新，這與缺乏必要的數學思想和方法密切相關.本節課從實例出發，設計了一對動點有規律的運動作一些理性的探索和研究.

在教材處理上，大膽創新，根據橢圓定義的特點，結合學生的認識能力和思維習慣在概念的理解上，先突出"和"，在此基礎上再完善"常數"取值范圍.在標準方程的推導上，并不是直接給出教材中的"建系"方式，而是讓學生自主地"建系"，通過所得方程的比較，得到標準方程，從中去體會探索的樂趣和數學中的對稱美和簡潔美.

在對教材中"令"的處理并不是生硬地過渡，而是通過課件讓學生觀察在當為橢圓短軸端點時(但這一幾何性質并不向學生交待)，特征三角形所體現出來的幾何關系，再做變換.

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