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邏輯謎題的邏輯
摘要：美國邏輯學家斯穆里安的邏輯謎題系列著作是普及現(xiàn)代數(shù)理邏輯知識的著名作品，本文首先介紹了斯穆里安本人提出的一套“亞瑟與伯納德謎題”的解答方法，然后從模態(tài)命題邏輯角度提出了一種一般解答方案并舉例說明了該方案。 關(guān)鍵詞：斯穆里安;邏輯謎題;命題邏輯;模態(tài)邏輯 中圖分類號：B81???????文獻標識碼：A???????????文章編號： 著名的邏輯學家雷蒙德?斯穆里安（Raymond?Smullyan）出版了一系列關(guān)于邏輯謎題的書。《女人和老虎》是繼《這本書叫什么？》之后斯穆里安第二本被翻譯到中國的邏輯謎題著作，2010年出版后，于2012年又改名為《趣味小邏輯》重新出版。《這本書叫什么？》則由著名邏輯學專家康宏逵先生（1935-2014年）在1987年翻譯出版，2011年重版。雷蒙德?斯穆里安生于1919年，至今年屆九旬，是世界著名的數(shù)學家、邏輯學家和哲學家，還是一個鋼琴演奏師和舞臺魔術(shù)師。1957-1959年，他在普林斯頓大學師從國際符號邏輯學會（1936年建立）第一任主席阿倫佐?丘齊（Alonzo?Church，1903-1995），獲得博士學位。他先后在芝加哥大學的羅斯福學院教授鋼琴，在達特茅斯大學教授數(shù)學，在普林斯頓大學、印第安納大學、紐約城市大學的雷曼學院和研究生中心教授哲學和邏輯，后來又回到印第安納大學，應聘為奧斯卡?尤因哲學教授，最后在那里榮譽退休。他撰寫了23本書，其中6本是學術(shù)專著，17本是通俗著作。 一、問題緣起 《這本書叫什么？》書名全稱為《這本書叫什么？――奇譎的邏輯謎題》，《女人和老虎》的全名則為《女人和老虎：以及其他邏輯謎題》。它們（和斯穆里安其他所有邏輯謎題著作一樣）都包含了一系列賞心悅目的問題，有悖論，有元謎題，有數(shù)字練習，有組合型的腦筋急轉(zhuǎn)彎，以及許多其他東西，它們都和當代邏輯和數(shù)學理論的重要概念相關(guān)。這些謎題的范圍廣闊，既有最簡單的“老掉牙的故事”，又有最為挑逗智慧的復雜故事。無論是對于聰明靈巧的中學生來說，還是經(jīng)驗老到的數(shù)學家、邏輯學家或者理論科學家來說，還是任何其他類型的謎題愛好者，這些書都會為讀者帶來理智的愉悅。 斯穆里安教授和他的兩本漢譯著作書影 在引進這些“帶來理智的愉悅”的著作時，我并不知道有沒有人曾經(jīng)深究過它們那些“賞心悅目的問題”的解答方法。康宏逵先生在譯本《這本書叫什么？》的“譯者的話”中說過，“謎題總共二百來道。難易相間，但全部是不需要任何邏輯預備知識就能求解的;甚至不需要什么大不了的能力，會用命題邏輯里最初等的推理方法，足矣。不外乎直接證法、間接證法或歸謬法、分情況證法或窮舉法，學過初中幾何的都會。偶爾用上量詞邏輯，也是淺顯的常識，諸如‘至多有一個’的反面是‘至少有兩個’之類。”[2]1但是，為這些謎題提出一些具有普遍性的解答方法應該是一件有意思的事情，我們要做的就是這個工作，以引起讀者對這些謎題、甚至對于邏輯這門學科有進一步的興趣。 所有這些謎題大致可以劃分為兩大類：第一類與真、信念、撒謊等概念有關(guān)，第二類處理的是自指、循環(huán)和哥德爾不完全性定理。我們以《女人和老虎》一書為主研究第一類謎題，但是所提出的方法應該可以推廣到其他謎題當中。 二、命題邏輯方案 本節(jié)介紹斯穆里安本人以經(jīng)典命題邏輯為基礎提出的一個解答方案。 在斯穆里安的這些邏輯謎題書中，他喜歡用消遣式的邏輯謎題把重要的數(shù)學思想介紹給讀者。近年來在私人交往中，斯穆里安教授認為他最鐘愛的邏輯謎題類型是那些稱之為“元謎題”的一類。這類謎題中最簡單的一種是，給讀者一個謎題，但不給足解答它的信息。然后，讀者被告知，某個頭腦可靠的人得到一些額外的信息之后就會解答。得知這個頭腦可靠的人能解答，讀者現(xiàn)在也就可以解答出來了。 比方說，在有個島上，居民可以分成兩種類型，T和F。類型T中，每一個人說的話都是真的，而類型F中每個人說的話都是假的。一個頭腦可靠的人拜訪這個島時，遇到兩個叫亞瑟和伯納德的本地人。訪客問亞瑟，他倆是否都屬于類型T，亞瑟也回答了（當然他只回答“是”或者“不”）。這個時候，讀者還無法知道他倆究竟屬于哪種類型，因為讀者并不知道亞瑟回答的是什么。但是，現(xiàn)在書中告訴讀者，那個頭腦可靠的人在聽了亞瑟的回答之后就能確定這兩個居民究竟屬于哪種類型！得知這一點之后，讀者現(xiàn)在就有了足夠的信息來解答這個究竟誰屬哪個類型的謎題，而且無需讀到隨后的答案就知道了亞瑟的回答是什么。 一種稍微難一點的元謎題走得更遠一點。謎題還是那種信息不足以解答的謎題，而且讀者也知道了有個頭腦可靠的人知道了這一信息，但是讀者現(xiàn)在并未告知這個頭腦可靠的人是不是可以解答出這個謎題。不過，所有這些情況都被第二個頭腦可靠的人得知，而且這個人被告知是否第一個頭腦可靠的人可以解答它。根據(jù)這一點，第二個頭腦可靠者可以解答出來。得知所有這些之后，讀者現(xiàn)在也可以解答出來！ 的確，斯穆里安的一些元謎題并沒有走這么遠，它們散布于《幻境中的愛麗絲》或《女人和老虎》這些書中。斯穆里安本人提出了一套“亞瑟與伯納德謎題”的解答方法，征得他的同意，我們簡單述介如下。 需要考慮四種可能的情況： ①亞瑟和伯納德都屬于類型T; ②亞瑟屬于T而伯納德屬于F; ③亞瑟屬于F而伯納德屬于T; ④兩人都屬于F。 在每一種情形之中，亞瑟給出的回答分別是什么呢？ ①在這種情形中，因為兩人都屬于T，作為T中的成員，亞瑟誠實地回答“是”; ②在這種情形中，因為兩人并非都屬于T，亞瑟誠實地回答“不”; ③由于兩人并非都屬于T，作為F中的成員，亞瑟虛偽地回答“是”; ④類似地，亞瑟回答“是”。 這樣一來，亞瑟在第二種情形中回答“不”，而在其他三種情形中都回答“是”。如果亞瑟回答的是“是”，那么訪客無從知道選三種情形中的哪一種，而由于我們被告知訪客真的知道結(jié)果，那么他一定是聽到了回答“不”，由此知道情形2成立。所以，亞瑟屬于類型T而伯納德屬于類型F。 三、模態(tài)邏輯方案 本節(jié)提出一套模態(tài)邏輯的方案以就教于讀者。給定一個謎題，選定某個恰當?shù)倪壿嬚Z言，以基于分離規(guī)則的經(jīng)典命題演算CnCPC的后承算子為基礎，我們設計一個后承算子Cn作為它的保守擴張，然后觀察Cn的定理集合，看看它是否包含某些公式（通常是命題常項）。一般情形下，Cn的擴張都是通過定義的擴張，增加的是我們所考慮的情境的公理，例如某個對話的翻譯。 我們的語言記為L，這個語言由通常的命題演算語言添加兩類符號而得： ①?無窮多個命題常項Tx（解釋為：X是說真話者）、Fx（解釋為：X是說假話者）、Sx（解釋為：X是正常人），等等; ②無窮多個模態(tài)聯(lián)結(jié)詞XX（解釋為：X說……）、X（?）（解釋為：X確信……），等等。這里的X?=?A，B，……，等等。 此外，我們假定L包含模態(tài)聯(lián)結(jié)詞B（…），意思是說“對……的正確回答是Bal”，以及無窮多的模態(tài)聯(lián)結(jié)詞X?XB（…），意思是說“X對問題……的回答說Bal”。B（truth）直接簡寫為B;因此B的意思是說“Bal指的是‘是’”。如果需要，L還可以包含其他符號。Bal指的是“唄”，與“嗒（Da）”相反，都是指“是”或者“http://salifelink.com/news/55852B8E6B31498D.html不”，但究竟哪個指的是哪個則并不知道。[2]語言L中所有公式的集合記為Form（L）。 下面定義語言L中的一些公式集合，這些公式作為公理把CnCPC擴張到所需要的后承算子。令Cnl（X）?=?CnCPC（X???Xl），l?{vampire，normals，KK，zombie}，其中：
Xvampire?=?{Tx????FX}???{XX?a ? （TX???X（a））}???{X（a）???（SX???a）}
Xnormals?=?{?Tx????FX}???{XX?a ? （TX???a）???（FX????a）
XKK?=?{Tx????FX}???{XX?a ? （TX???a）}
Xzombie?=?{Tx????FX}???{X?XB（a）???（TA???X（B（a）））}
??{X（a）???（TA???a）}???{B（a）???（B???a）} 以上出現(xiàn)的X?=?A，B，C，…，a???Form（L）。 現(xiàn)在，解答一個謎題就歸約為考慮什么屬于Cnl（Xpuzzle），其中Xpuzzle???Form（L） 以下內(nèi)容是對第四章第2個例子“盧格西兄弟的案子”的一個分析。我們先了解這個例子的背景。 特蘭西瓦尼亞居住著吸血鬼和人，吸血鬼總是撒謊而人總是講真話。但是包括人和吸血鬼在內(nèi)的一半居民都是神智錯亂的，而且就像塔爾博士和費舍爾教授的瘋?cè)嗽豪锩娴寞偪窬用褚粯樱耆聊缬谒麄兊男拍钪楔D―所有他們信以為假的都是真命題而所有他們信以為真的都是假命題。另一半居民則是完全神智健全的，并且正如第三章的瘋?cè)嗽寒斨猩裰墙∪木用衲菢樱麄兊呐袛嗤耆_――所有他們知其為真的都是真命題而他們所有知其為假的都是假命題。當然，特蘭西瓦尼亞的邏輯遠比那些瘋?cè)嗽旱倪壿嫃碗s得多，因為在那些瘋?cè)嗽豪锩妫用裰辽俣际钦\實的，他們作出虛假陳述僅僅出于錯覺而從來不會出于惡意。但是當一個特蘭西瓦尼亞居民作出一個虛假陳述的時候，要么出于錯覺要么出于惡意。神智健全的人和神智錯亂的吸血鬼所作的陳述都是真實的，而神智錯亂的人和神智健全的吸血鬼所作的陳述都是虛假的。例如，如果你問一個特蘭西瓦尼亞居民地球是不是圓的（而不是扁的），一個神智健全的人知道地球是圓的并且會如實地回答。一個神智錯亂的人相信地球不是圓的，并且會如實地表達他的信念而說它不是圓的。一個神智健全的吸血鬼知道地球是圓的，但是他卻會撒謊而說它不是圓的。但是一個神智錯亂的吸血鬼相信地球不是圓的，就會撒謊說它是圓的。因而一個神智錯亂的吸血鬼和一個神智健全的人在回答說任何問題的方式上都是相同的，而一個神智錯亂的人和一個神智健全的吸血鬼相同。 “盧格西兄弟的案子”的具體內(nèi)容如下。盧格西兄弟的名字都叫貝拉，一個是吸血鬼而另外一個則不是。他們做出了以下陳述： 大貝拉：我是人。 小貝拉：我是人。 大貝拉：我的弟弟是神智健全的。 我們想要知道，哪一個是吸血鬼呢？ 作為說真話者就意味著做出一個自己相信的陳述――并不一定為真，因此，X說a就等值于TX???X（a），其中X（a）???（SX???a）。我們的任務就是檢驗集合
{#X}???{?#X} 中的哪些元素在Cnvampire（Xpuzzle）中，其中
X?=?A，B
#?=?S，T
Xpuzzle?=?{A?X TA，B?X TB，A?X SB，TA????TB} 我們有
TA???A（TA）
TB???B（TB）
TA???A（SA）
TA????TB???Cnvampire（Xpuzzle） 因此，
TA???SA???TA
TB???SB???TB
TA???SA???SA???Cnvampire（Xpuzzle） 由上可以推出SA、SB、TA、?TB???Cnvampire（Xpuzzle），因此我們可以推出兩兄弟都是健全的，大貝拉是人類，小貝拉則是吸血鬼。[1]58 四、結(jié)語 著名哲學家趙汀陽研究員對《女人和老虎》等邏輯謎題著作的出版做了熱情的推介。他認為，“有兩種有趣的語言游戲都能讓人快樂：一種是迎合人們心中愚蠢念頭的搞笑，比如肥皂劇、低級笑話、小品和電視語言，人們在那些沒有智力水平的笑話中肯定了自己的愚蠢，從而獲得認同的快樂;另一種是開啟人們心中智慧的邏輯和幽默，人們通過分享邏輯和幽默的智力成就而肯定了自己的智慧，雷蒙德?斯穆里安的書屬于后者。”這些同樣“帶來理智的愉悅”的話，一方面體現(xiàn)了趙先生對邏輯這門學科的喜歡，另一方面則體現(xiàn)了他對這些譯介工作的肯定和厚愛――這既是我們繼續(xù)譯介斯穆里安所有其他作品的動力之一，也是從技術(shù)上研究斯穆里安這些工作的動力之一。 參考文獻： [1]斯穆里安.女人和老虎：以及其他邏輯謎題[M].胡義昭譯.重慶大學出版社，2010. [2]斯穆里安.這本書叫什么？――奇譎的邏輯謎題[M].康宏逵譯.上海譯文出版社， 1987. 作者簡介：劉新文（1972-），江西蓮花人，哲學博士，中國社會科學院哲學所研究員，邏輯學研究室主任，主要研究圖式邏輯、模態(tài)邏輯、證明復雜性理論、皮爾士邏輯與哲學、拉姆齊哲學等。 （責任編輯：李直）
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