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海淀數學試卷及答案
海 淀 區 九 年 級 第 二 學 期 期 中 練 習
數 學 2015．5
一、選擇題（本題共30分，每小題3分）
下面各題均有四個選項，其中只有一個是符合題意的． ．．
1．2015年北京市實施能源清潔化戰略，全市燃煤總量減少到15 000萬噸左右，將15 000用科學記數法表示應為
A． 0.15?105 B．1.5?104 C．1.5?105 D．15?103 2．右圖是某幾何體的三視圖，該幾何體是
A. 三棱柱 B. 三棱錐 C. 長方體 D.正方體 3．如圖，數軸上兩點A，B表示的數互為相反數，則點B表示的數為
A．?1 B．1 C．?2 D．2
4．某游戲的規則為：選手蒙眼在一張如圖所示的正方形黑白格子紙（九個小正方形面積相等）上描一個點，若所描的點落在黑色區域，獲得筆記本一個；若落在白色區域，獲得鋼筆一支．選手獲得筆記本的概率為
A．
1445 B． C． D． 2599
5．如圖，直線a與直線b平行，將三角板的直角頂點放在直線a上，若∠1=40°，則∠2等于
A． 40° C．60° B．50° D．140°
6．如圖，已知∠AOB．小明按如下步驟作圖：
（1）以點O為圓心，適當長為半徑畫弧，交OA于D，交OB于點E． （2）分別以D，E為圓心，大于
2
1
DE的長為半徑畫弧，兩弧在∠2
AOB的內部相交于點C．
（3）畫射線OC．
根據上述作圖步驟，下列結論正確的是
A．射線OC是?AOB的平分線 B．線段DE平分線段OC
C．點O和點C關于直線DE對稱 D．OE=CE 7．某次比賽中，15名選手的成績如圖所示，則 這15名選手成績的眾數和中位數分別是 A．98，95 B．98，98 C．95，98 D．95，95
8. 甲騎車到乙家研討數學問題，中途因等候紅燈停止了一分鐘，之后又騎行了1.2千米到達了乙家．若甲騎行的速度始終不變，從出發開始計時，剩余的路程S（單位：千米）與時間t（單位：分鐘）的函數關系的圖象如圖所示，則圖中a等于
A．1.2 B．2 C．2.4 D．6
9．如圖，⊙O的直徑AB垂直于弦CD，垂足為E.若?B?60?，AC=3，則CD的長為
A． 6 B
． C
D．3
10．小明在書上看到了一個實驗：如右圖，一個盛了水的圓柱形容器內，有一個頂端拴了一根細繩的實心鐵球，將鐵球從水面下沿豎直方向慢慢地勻速向上拉動.小明將此實驗進行了改進，他把實心鐵球換成了材質相同的別的物體，記錄實驗時間t以及容器內水面的高度h，并畫出表示h與t的函數關系的大致圖象.如左下圖所示.小明選擇的物體可能是
S/千米
A B C
D
二、填空題（本題共18分，每小題3分） 11．分解因式：a3?ab2?____________．
12．寫出一個函數y?kx（k?0），使它的圖象與反比例函數y?個函數的解析式為___________．
1
的圖象有公共點，這x
13．某學習小組設計了一個摸球試驗，在袋中裝有黑，白兩種顏色的球，這些球的形狀大小質地等完全相同，即除顏色外無其他差別.在看不到球的情況下，隨機從salifelink.com袋中摸出一個球，記下顏色，再把它放回，不斷重復.下表是由試驗得到的一組統計數據：
從這個袋中隨機摸出一個球，是白球的概率約為 ．（結果精確到0.1）
14．如圖，點C為線段AB上一點，將線段CB繞點C旋轉，得到線段CD，若DA?AB，AD?
1，BDBC的長為__________． 15． 在研究了平行四邊形的相關內容后，老師提出這樣一個問題：
“四邊形ABCD 中，AD∥BC，請添加一個條件，使得四邊形ABCD是平行四邊形”．經過思考，小明說“添加AD=BC”，小紅說“添加AB=DC” ．你同意 的觀點， 理由是 ．
16．若三角形的某一邊長等于其外接圓半徑，則將此三角形稱為等徑三角形，該邊所對的角稱為等徑角.已知△ABC是等徑三角形，則等徑角的度數為 . 三、解答題（本題共30分，每小題5分） 17
．計算：2?2?2cos60o?(3.14?π)0．
?3x?4?5x?2，?
18．解不等式組：?1 4
?x≥3x?3.?
19．已知4x?3y，求代數式(x?2y)2?(x?y)(x?y)?2y2的值．
20．如圖，點A，B，C，D在同一條直線上，AB=FC，∠A=∠F，∠EBC=∠FCB． 求證： BE=CD．
2
?0 (k?0). k
（1）求證：方程總有兩個不相等的實數根；
21.已知關于x的方程kx2?x?
（2）若方程的兩個實數根都是整數，求整數k的值．
22．列方程或方程組解應用題:
為了響應學校提出的“節能減排，低碳生活”的倡議，班會課上小李建議每位同學都踐行“雙面打印，節約用紙”．他舉了一個實際例子：打印一份資料，如果用A4厚型紙單面打印，總質量為400克，將其全部改成雙面打印，用紙將減少一半；如果用A4薄型紙雙面打印，總質量為160克.已知每頁薄型紙比厚型紙輕0.8克，求例子中的A4厚型紙每頁的質量.（墨的質量忽略不計）
四、解答題（本題共20分，每小題5分）
23．如圖，在□ABCD中，∠BAD的平分線交CD于點E，交BC的延長線于點F，連接BE，∠F=45°． （1）求證：四邊形ABCD是矩形； （2）若AB=14，DE=8，求sin∠AEB的值．
24．根據某研究中心公布的近幾年中國互聯網絡發展狀況統計報告的部分相關數據，繪制的統計圖表如下：
根據以上信息解答下列問題：
（1）直接寫出扇形統計圖中m的值；
（2）從2011年到2014年，中國網民人數每年增長的人數近似相等，估算2015年中國網民的人數約為 億；
（3）據某市統計數據顯示，2014年末全市常住人口為476.6萬人，其中網民數約為210萬人．若2014年該市的網民學歷結構與2014年的中國網民學歷結構基本相同，請你估算2014年末該市網民學歷是大專的約有 萬人．
25．如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于點D，過點C作⊙O與邊AB相切于點E，交BC于點F，CE為⊙O的直徑.
（1） 求證：OD⊥CE；
（2） 若DF=1， DC=3，求AE的長．
26．閱讀下面材料：
小明遇到這樣一個問題：如圖1，在△ABC中，DE∥BC分別交AB于D，交AC于E．已知CD⊥BE，CD=3，BE=5，求BC+DE的值．
小明發現，過點E作EF∥DC，交BC延長線于點F，構造△BEF，經過推理和計算能夠使問題得到解決（如圖2）．
圖1 圖2 圖3
請回答：BC+DE的值為_______．
參考小明思考問題的方法，解決問題：
如圖3，已知□ABCD和矩形ABEF，AC與DF交于點G，AC=BF=DF，求∠AGF的度數．
五、解答題（本題共22分，第27題7分，第28題7分，第29題8分）
27．在平面直角坐標系xOy中，拋物線1
y?x2?x?2與y軸交于點A，頂點為點
2
B，點C與點A關于拋物線的對稱軸對稱． （1）求直線BC的解析式；
（2）點D在拋物線上，且點D的橫坐標為4．將拋物線在點A，D之間的部分（包含點A，D）記為圖象G，若圖象G向下平移t（t?0）個單位后與直線BC只有一個公共
點，求t的取值范圍．
28．在菱形ABCD中，?ADC?120?，點E是對角線AC上一點，連接DE，?DEC?50?，將線段BC繞點B逆時針旋轉50?并延長得到射線BF，交ED的延長線于點G． （1）依題意補全圖形；
D
D
A
E
CA
E
C
B
B
備用圖
（2）求證：EG?BC；
（3）用等式表示線段AE，EG，BG之間的數量關系：_____________________________．
29．在平面直角坐標系xOy中，對于點P(a,b)和點Q(a,b?)，給出如下定義：
?b,a≥1若b???，則稱點Q為點P的限變點．例如：點?2,3?的限變點的坐標是?2,3?，點
??b,a?1
??2,5?的限變點的坐標是??2,?5?．
（1
）①點
的限變點的坐標是___________；
2
圖象上某一個點的限變點， x
?
②在點A??2,?1?，B??1,2?中有一個點是函數y?
這個點是_______________；
（2）若點P在函數y??x?3(?2≤x≤k,k??2)的圖象上，其限
變點Q的縱坐標b?的取值范圍是?5≤b?≤2，求k的取值范圍；
（3）若點P在關于x的二次函數y?x?2tx?t?t的圖象上，其限變點Q的縱坐標b?的取值范圍是b?≥m或b??n，其中
22
m?n．令s?m?n，求s關于t的函數解析式及s的取值范圍．
海淀區九年級第二學期期中練習
2015．5
一、 選擇題（本題共30分，每小題3分）
二、填空題（本題共18分，每小題3分）
17. (本小題滿分5分) 解：原式=
11
?2??1 ………………………………………………………4分 421
?? ………………………………………………………………5分 4
18. (本小題滿分5分) 解： ?3x?4?5x?，2①
?
?14x≥x?. ②?33?
由不等式①得 x?3． ……………………………………………………2分
由不等式②得 x≥?2． ……………………………………………………4分 ∴不等式組的解集為?2≤x?3． ……………………………………………………5分
19. (本小題滿分5分)
解： (x?2y)2?(x?y)(x?y)?2y2
?x2?4xy?4y2?(x2?y2)?2y2………………………………………………2分
??4xy?3y2 ……………………………………………………………………3分
??y?4x?3y?．…………………………………………………………………4分
∵4x?3y，
∴原式= 0． ………………………………………………………………………5分 20. (本小題滿分5分) 證明：
∠EBC=∠FCB，
??ABE??FC．D …………………………………………………………1分
在△ABE與△FCD中， ??A??F,
? ?AB?FC,
??ABE??FCD,?
??ABE≌?FCD．………………………………………………………………4分 ?BE=CD． ………………………………………………………………………5分 21. (本小題滿分5分) （1）證明：k?0，
?kx2?x??0 是關于x的一元二次方程．
2k
2
??(?1)2?4k(?) ……………………………………………………1分
k
?9?0．
?方程總有兩個不相等的實數根． ………………………………………2分
（2）解：由求根公式，得
x?
1?． 2k
21
,x2??． …………………………………………………………4分 kk
?x1?
方程的兩個實數根都是整數，且k是整數，
? k??1或k?1．…………………………………………………………5分
22. (本小題滿分5分)
解： 設例子中的A4厚型紙每頁的質量為x克．………………………………………1分
由題意，得
400160
?2?． ………………………………………………2分 xx?0.8
解得 x?4． ………………………………………………………3分 經檢驗， x?4為原方程的解，且符合題意． ………………………………4分 答：例子中的A4厚型紙每頁的質量為4克． …………………………………5分 四、解答題（本題共20分，每小題5分） 23. (本小題滿分5分) （1）證明：
四邊形ABCD是平行四邊形，
?AD//BC．
?∠DAF=∠F．
∠F=45°，
．………………………………………1分 ?∠DAE=45°
AF是∠BAD的平分線，
??EAB??DAE?45． ??DAB?90．
又
四邊形ABCD是平行四邊形，
?四邊形ABCD是矩形． …………………………2分
（2）解：過點B作BH?AE于點H，如圖． 四邊形ABCD是矩形，
?AB=CD，AD=BC，∠DCB=∠D=90°．
AB=14，DE=8， ? CE=6．
在Rt△ADE中，∠DAE=45°， ?∠DEA=∠DAE=45°． ? AD=DE=8． ? BC=8．
在Rt△BCE中，由勾股定理得
BE?10． ……………………………………………3分 在Rt△AHB中，∠
HAB=45°，
?BH?AB?sin45?． …………………………………………4分
在Rt△BHE中，∠BHE=90°，
?sin∠AEB=
24. (本小題滿分5分)
BH?． ……………………………………………5分 BE10
（1）36． ……………………………………………………………………………1分
（2）6.70?0.01． ……………………………………………………………………3分 （3）21． ……………………………………………………………………………5分 25. (本小題滿分5分) （1）證明：
⊙O與邊AB相切于點E，且 CE為⊙O的直徑．
?CE⊥AB．
AB=AC，AD⊥BC，
?BD?DC． ………………………………1分
又 OE=OC，
?OD∥EB．
? OD⊥CE．………………………………2分
（2）解：連接EF．
CE為⊙O的直徑，且點F在 ⊙O上， ．
? ∠EFC=90° CE⊥AB， ． ?∠BEC=90°
． ??BEF+∠FEC??FEC?∠ECF=90°
??BEF??ECF．
?tan?BEF?tan?ECF．
?BF?EF．
EF
FC
又DF=1， BD=DC=3， ? BF=2， FC=4．
?EF? ………………………………………………… 3分
∵∠EFC=90°， ∴∠BFE=90°．
由勾股定理，得BE． ……………………4分 EF∥AD， BEBF2???．
EAFD1
?AE?． ……………………………………………………5分
26. (本小題滿分5分)
解：BC＋DE
． ……………………………………………………2分 解決問題： 連接AE，CE，如圖．
∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴．
∵四邊形ABEF是矩形，
∴，BF＝AE． ∴．
∴四邊形DCEF是平行四邊形． ………………………………………………3分 ∴ ． ∵AC＝BF＝DF， ∴AC＝AE＝CE．
∴△ACE是等邊三角形． …………………………………………………………4分 ∴∠ACE＝60°． ∵CE∥DF，
∴∠AGF＝∠ACE＝60°． …………………………………………………………5分 五、解答題（本題共22分，第27題7分，第28題7分，第29題8分）
27. (本小題滿分7分)
解：（1）∵拋物線y?x2?x?2與y軸交于點A
，
∴點A的坐標為（0，2）． …………………………………………1分 ∵y?x2?x?2?(x?1)2?
1
2
12
3， 2
12
3
∴拋物線的對稱軸為直線x?1，頂點B的坐標為（1，）． …………2分
2
又∵點C與點A關于拋物線的對稱軸對稱，
∴點C的坐標為(2，2)，且點C在拋物線上．
設直線BC的解析式為y?kx?b． 3
∵直線BC經過點B（1，）和點C(2，2)，
2
31??
?k?b?，?k?，∴?2 解得?2 ???2k?b?2.?b?1.∴直線BC的解析式為
1
y?x?1．…………………………3分
2
1
（2） ∵拋物線y?x2?x?2中，
2
當x?4時，y?6，
∴點D的坐標為(4，6)． ………………4分
1
∵直線y?x?1中，
2
當x?0時，y?1， 當x?4時，y?3，
∴如圖，點E的坐標為(0，1)，
點F的坐標為(4，3)．
設點A平移后的對應點為點A'，點D平移后的對應點為點D'．
當圖象G向下平移至點A'與點E重合時， 點D'在直線BC上方， 此時t=1；…………………………………………………………5分
當圖象G向下平移至點D'與點F重合時，點A'在直線BC下方，此時t=3．
……………………………………………………………………………………6分 結合圖象可知，符合題意的t的取值范圍是1?t≤3．……………………………7分 28. (本小題滿分7分)
（1）補全圖形，如圖1所示．…………………………………………………………1分
11
F
F
G
D
D
G
A
E
C
A
E
C
B
圖1 圖2
（2）方法一：
證明：連接BE，如圖2． ∵四邊形ABCD是菱形， ∴AD∥BC． ?ADC?120?， ??DCB?60?．
AC是菱形ABCD的對角線，
∴?DCA?1?DCB?30?． ……………………………………………………………2分
2
??EDC?180???DEC??DCA?100?．
B
由菱形的對稱性可知， ?BEC??DEC?50?，
……………………………………………………………………3分 ?EBC??EDC?100?．
??GEB??DEC??BEC?100?． ??GEB??CBE． ?FBC?50?，
??EBG??EBC??FBC?50?．…………………………………………………………4分 ??EBG??BEC． 在△GEB與△CBE中，
??GEB??CBE,?
?BE?EB,
??EBG??BEC,?
∴△GEB≌△CBE．
?EG?BC． ………………………………………………………………………………5分 方法二：
證明：連接BE，設BG與EC交于點H，如圖3． ∵四邊形ABCD是菱形， ∴AD∥BC．
12
A
FG
D
H
C
B
?ADC?120?， ??DCB?60?． AC是菱形
ABCD的對角線，
∴?DCA?1?DCB?30?． ………………………2分
2
??EDC?180???DEC??DCA?100?．
由菱形的對稱性可知，
?BEC??DEC?50?，?EBC??EDC?100?．
……………………………………………3分
?FBC?50?
，
圖3
??EBG??EBC??FBC?50???BEC． …………………
……………………………4分 ?BH?EH．
在△GEH與△CBH中，
??GEH??CBH,?
?EH?BH,
??EHG??BHC,?
∴△GEH≌△CBH．
?EG?BC． ………………………………………………………………………………5分 （3）AE?BG?． …………………………………………………………………7分 29．(本小題滿分8分)
解：（1）① ； ……………………………………………………………………1分
② 點B． ………………………………………………………………………2分
（2）依題意，y??x?3(x≥?2)圖象上的點P的限變點必在函數y??圖象上．
?b?≤2，即當x?1時，b?取最大值2．
??x?3,x≥1
的
x?3,?2≤x?1?
當b???2時，?2??x?3．
?x?5． ………………………………………3分 當b???5時，?5?x?3或?5??x?3．
?x??2或x?8． ………………………………4分 ?5≤b?≤2，
由圖象可知，k的取值范圍是5≤k≤8．
……………………………………………5分 （3）
y?x2?2tx?t2?t?(x?t)2?t，
?頂點坐標為(t,t)．………………………………………………………………6分
若t?1，b?的取值范圍是b?≥m或b?≤n，與題意不符．
13
若t≥1，當x≥1時，y的最小值為t，即m?t；
當x?1時，y的值小于?[(1?t)2?t]，即n??[(1?t)2?t]．
?s?m?n?t?(1?t)2?t?t2?1．
． ……………………………7分 ?s關于t的函數解析式為 s?t2?1 (t?1)
當t=1時，s取最小值2．
?s的取值范圍是s≥2． 分14
………………………………………………………8
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