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基本不等式及其應用

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基本不等式及其應用

摘 要: 基本不等式在高中數學中具有極其重要的地位,從知識體系角度說,基本不等式不僅本身就是一個重要的數學知識模塊,而且能與高中數學多個分支知識進行融合;從思維能力角度說,基本不等式是創造性與嚴謹性的有機結合、發散性思維與收斂性思維的辯證統一.本文從基本不等式的三個限制條件――“一正,二定,三等”入手,結合典型例題,探究基本不等式的運用,讓學生充分經歷知識的形成過程,從而形成自己對重難點的突破策略,培養學生的歸納、總結能力.   關鍵詞: 基本不等式 限制條件 最值 應用      一、主干知識   1.基本不等式:≤或a+b≥2.   (1)基本不等式成立條件:a>0,b>0;   (2)等號成立的條件:當且僅當a=b時取等號.   2.基本不等式的拓展:ab≤(),其中a,b∈R.   二、深入探究,加強理解   問題:設x>0,求函數y=x+的最小值.   解析:∵x>0“一正”   ∴x+≥2=2“二定”   當且僅當x=,即x=1時,等號成立.“三等”   故函數y=x+的最小值為2.   點評:在應用基本不等式時,要把握三個限制條件,即“一正――各項都是正數;二定――和或積為定值;三相等――等號能取得”,這三個條件缺一不可.   探究1:設x<0,求函數y=x+的最大值.   解析:∵x<0,∴-x>0,   ∴x+=-(-x+)≤-2=-2,   當且僅當-x=,即x=-1時,等號成立.   故函數y=x+的最大值為-2.   變式:設x≠0,求函數y=x+的值域.   解析:∵x≠0,∴|x|>0,   ∴|x+|=|x|+≥2=2,   當且僅當|x|=,即x=±1時,等號成立.   ∴|y|≥2,∴y≤-2或y≥2,即函數y=x+的值域為(-∞,-2]∪[2,+∞).   另解:用分類討論的方法(x≠0,分x>0和x<0兩種情況).   點評:培養學生等價轉化的思想,如何創造條件滿足“一正――各項都是正數”.   探究2:設a>1,求a+的最小值.   解析:∵a>1,∴a-1>0,   ∴a+=a-1++1≥2+1=3,   當且僅當a-1=,即a=2時,等號成立.   故a+的最小值為3.   變式:設0<a<1,求的最大值.   解析:∵0<a<1,∴1-a>0,   ∴=?≤?=,   當且僅當a=1-a,即a=時,等號成立.   故的最大值為.   點評:運用基本不等式求最值的焦點在于湊配“和”與“積”,即滿足“二定――和或積為定值”,并且在湊配過程中就應考慮到等號成立的條件.   探究3:設t≥2,求t+的最小值.   分析:本題不滿足限制條件:“三相等――等號能取得”,故不能用基本不等式.   解:由雙鉤函數y=t+的圖像及性質,易知函數y在[2,+∞)上是增函數,   當t=2時,t+的最小值為2.   變式:已知x>0,y>0,且x+y=1,求+的最小值.   錯解:由已知,1=x+y≥2?圯≤?圯≥2   ∴+≥2=≥8   ∴+的最小值8.   錯因:多次用到基本不等式,能否取等號,當且僅當x=y,=,又x+y=1,但x,y無解.   正解:∵x>0,y>0,   ∴+=(+)(x+y)=7++≥7+2=7+4   當且僅當=又x+y=1,即x=2-3,y=4-2時,等號成立.   故+的最小值為7+4.   知識遷移:已知0<x<1,求+的最小值.   解析:∵0<x<1,∴1-x>0,   ∴+=(+)?(x+1-x)=7++≥7+4,   當且僅當=,即x=2-3時,等號成立.   故+的最小值為7+4.   點評:運用基本不等式求最值時,應考慮到等號成立的條件.有些題目在拼湊過程中,注意通過“1”變換或添項進行拼湊,使分母能約去或分子能降次.   三、高考回放   A組   1.(2009年湖南高考10)若x>0,則x+的最小值為?搖 ?搖.   2.(2010年重慶高考12) 已知t>0,則函數y=的最小值為?搖 ?搖.   3.(2011年重慶高考7)若函數f(x)=x+(x>2)在x=a處取最小值,則a=( )   A.1+ B.1+ C.3 D.4   A組命題意圖:主要考查靈活應用基本不等式求最值的知識,解決此類問題時,一定要注意“一正二定三等”,三者缺一不可.   B組   1.(2009年重慶高考7)已知a>0,b>0,則++2的最小值是( )   A.2 B.2 C.4 D.5   2.(2010年四川高考11)設a>b>0,則a++的最小值是( )   A.1 B.2 C.3 D.4   3.(2011年天津高考12)已知loga+logb≥1,則3+9的最小值為___________.   B組命題意圖:主要考查應用基本不等式探求最值問題,解答過程中經過幾次的放縮才能達到目的,充分體現了試題思維的層次性.   C組   1.(2009年天津高考9)設x,y∈R,a>1,b>1,若a=b=3,a+b=2,則+的最大值為( )   A.2 B. C.1 D.   2.(2010年山東高考14)已知x,y∈R,且滿足+=1,則xy的最大值為___________.   3.(2011年浙江高考16)若實數x、y滿足x+y+xy=1,則x+y的最大值是___________.   C組命題意圖:主要考查基本不等式的推廣ab≤()(a,b∈R)在求最值中的應用.   從近幾年的高考試題來看,利用基本不等式求函數的最值、證明不等式、解決實際問題是高考的熱點,題型既有選擇題、填空題,又有解答題,難度為中低檔題;客觀題突出“小而巧”,主要考查基本不等式取等號的條件及運算能力;主觀題考查較為全面,在考查基本運算能力的同時,又注重考查學生的邏輯推理能力及等價轉化、分類討論等思想方法.預測2012年高考仍將以求函數的最值為主要考點,重點考查學生的運算能力和邏輯推理能力.      參考文獻:   [1]孫翔峰主編.三維設計高考總復習新課標.光明日報出版社,2011.4.   [2]杜志建主編.2007―2011新高考5年真題匯編.新疆青少年出版社.

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