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選修2-2微積分基本定理習題及答案
選修2-2微積分基本定理習題及答案
一、選擇題
1．(2010·山東日照模考)a＝?2xdx，b＝?2exdx，c＝?2sinxdx，則a、b、c的大小關系是
?0
?0?0
( )
A．a
1
[解析] a＝?2xdx＝2|02＝2，b＝?2exdx＝ex|02＝e2－1>2，c＝?2sinxdx＝－cosx|02＝1
2???
B．a
－cos2∈(1,2)，
∴c
2．(2010·山東理，7)由曲線y＝x2，y＝x3圍成的封閉圖形面積為( ) 1
12[答案] A
?y＝x2?
[解析] 由?3得交點為(0,0)，(1,1)． ?y＝x?
1
B. 4
1 3
7D. 12
1314??11
∴S＝?1(x2－x3)dx＝??3x－4x??0＝12. ?
[點評] 圖形是由兩條曲線圍成的時，其面積是上方曲線對應函數表達式減去下方曲線對應函數表達式的積分，請再做下題：
(2010·湖南師大附中)設點P在曲線y＝x2上從原點到A(2,4)移動，如果把由直線OP，直線y＝x2及直線x＝2所圍成的面積分別記作S1，S2.如圖所示，當S1＝S2時，點P的坐標是( )
416?A.??39? 415?C.??37? [答案] A
t3
[解析] 設P(t，t)(0≤t≤2)，則直線OP：y＝tx，∴S1＝?(tx－x)dx＝S2＝?2(x2－
6??
2
t
2
t
416B.??59 413D.??57
4168t34
tx)dx＝－2t，若S1＝S2，則t＝P??3，9. 363
3．由三條直線x＝0、x＝2、y＝0和曲線y＝x3所圍成的圖形的面積為( ) A．4
4
B. 3
18
5
D．
6
[答案] A
x4?2
[解析] S＝?xdx＝4?0＝4.
?
230
4．(2010·湖南省考試院調研)?1－1(sinx＋1)dx的值為( )
?
A．0
B．2 D．2－2cos1
C．2＋2cos1 [答案] B
[解析] ?1－1(sinx＋1)dx＝(－cosx＋x)|－11＝(－cos1＋1)－(－cos(－1)－1)＝2.
?5．曲線y＝cosx(0≤x≤2π)與直線y＝1所圍成的圖形面積是( ) A．2π 3π
2[答案] A [解析] 如右圖， S＝∫02π(1－cosx)dx ＝(x－sinx)|02π＝2π.
[點評] 此題可利用余弦函數的對稱性①②③④面積相等解決，但若把積分區間改為
B．3π D．π
?ππ?，則對稱性就無能為力了． ?6?
6．函數F(x)＝?xt(t－4)dt在[－1,5]上( )
?0
A．有最大值0，無最小值 32
B．有最大值0和最小值－
332
C．有最小值－，無最大值
3D．既無最大值也無最小值 [答案] B
[解析] F′(x)＝x(x－4)，令F′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4， 73225
∵F(－1)＝－，F(0)＝0，F(4)，F(5)＝－.
33332
∴最大值為0，最小值為－.
3
[點評] 一般地，F(x)＝?xφ(t)dt的導數F′(x)＝φ(x)．
?0
1
7．已知等差數列{an}的前n項和Sn＝2n2＋n，函數f(x)＝?xdt，若f(x)
的取
?t
1
值范圍是( )
A.?
3? ?6?
－11
B．(0，e21) D．(0，e11)
C．(e，e)
[答案] D
1
[解析] f(x)＝?xdt＝lnt|1x＝lnx，a3＝S3－S2＝21－10＝11，由lnx
?t
1
8．(2010·福建廈門一中)如圖所示，在一個長為π，寬為2的矩形OABC內，曲線y＝sinx(0≤x≤π)與x軸圍成如圖所示的陰影部分，向矩形OABC內隨機投一點(該點落在矩形
OABC內任何一點是等可能的)，則所投的點落在陰影部分的概率是( )
1 π
2B. π
3 π
πD. 4
[答案] A
[解析] 由圖可知陰影部分是曲邊圖形，考慮用定積分求出其面積．由題意得S＝?π
?0
sinxdx＝－cosx|0π＝－(cosπ－cos0)＝2，再根據幾何概型的算法易知所求概率P＝212ππ
SS矩形OABC
x＋2?－2≤x
9．(2010·吉林質檢)函數f(x)＝?的圖象與x軸所圍成的圖形面積S為π
2cosx?0≤x≤??2?( )
3
2
B．1
C．4
1D. 2
[答案] C
ππ
[解析] 面積S＝2f(x)dx＝?0－2(x＋2)dx＋∫2cosxdx＝2＋2＝4.
22?
10．(2010·沈陽二十中)設函數f(x)＝x－[x]，其中[x]表示不超過x的最大整數，如[－1.2]x
＝－2，[1.2]＝1，[1]＝1.又函數g(x)＝－，f(x)在區間(0,2)上零點的個數記為m，f(x)與g(x)
3的圖象交點的個數記為n，則?ng(x)dx的值是( )
?m
5A．－
2
4B．－
3
5C．－
4[答案] A
7D．－
6
[解析] 由題意可得，當0
－dx＝－?14＝－. 所以m＝1，n＝4，則?g(x)dx＝??6?2?m?1?3n
4
2
11．(2010·江蘇鹽城調研)甲、乙兩人進行一項游戲比賽，比賽規則如下：甲從區間[0,1]上隨機等可能地抽取一個實數記為b，乙從區間[0,1]上隨機等可能地抽取一個實數記為c(b、c可以相等)，若關于x的方程x2＋2bx＋c＝0有實根，則甲獲勝，否則乙獲勝，則在一場比賽中甲獲勝的概率為( )
1
3
2B. 3
1 2
3D. 4
[答案] A
[解析] 方程x2＋2bx＋c＝0有實根的充要條件為Δ＝4b2－4c≥0，即b2≥c， 由題意知，每場比賽中甲獲勝的概率為pbdb??11×1
12
＝.
3
12．(2010·吉林省調研)已知正方形四個頂點分別為O(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)，曲線y＝x2(x≥0)與x軸，直線x＝1構成區域M，現將一個質點隨機地投入正方形中，則質點落在區域M內的概率是( )
1 21 3
1 425
[答案] C
[解析] 如圖，正方形面積1，區域M的面積為S＝?1x2dx
?0
111＝3|01＝，故所求概率p＝. 333
二、填空題
13．(2010·蕪湖十二中)已知函數f(x)＝3x2＋2x＋1，若?1－1f(x)dx＝2f(a)成立，則a＝
?
________.
1[答案] －1或
3
[解析] ∵?1－1f(x)dx＝?1－1(3x2＋2x＋1)dx＝(x3＋x2＋x)|－11＝4，?1－1f(x)dx＝2f(a)，
???
∴6a2＋4a＋2＝4，
1
∴a＝－1或.
3
π1
14．已知a＝∫0(sinx＋cosx)dx，則二項式(a－)6的展開式中含x2項的系數是
2x________．
[答案] －192
ππππ
[解析] 由已知得a＝∫(sinx＋cosx)dx＝(－cosx＋sinx)|＝(sin－cos－(sin0－cos0)
2222＝2，
(2x－
16－－
)的展開式中第r＋1項是Tr＋1＝(－1)r×C6r×26r×x3r，令3－r＝2得，r＝1，故其系數為(－1)1×C61×25＝－192.
15．拋物線y2＝2x與直線y＝4－x圍成的平面圖形的面積為________． [答案] 18
2??y＝2xy2
[解析] 由方程組?解得兩交點A(2,2)、B(8，－4)，選y作為積分變量x＝、
2?y＝4－x?
x＝4－y
∴S＝?
?
2－4[(4－y)－
y2y2y32
＝(4y－－
4＝18. 226
4
16．(2010·安徽合肥質檢)拋物線y2＝ax(a>0)與直線x＝1圍成的封閉圖形的面積為3若直線l與拋物線相切且平行于直線2x－y＋6＝0，則l的方程為______．
[答案] 16x－8y＋1＝0
2
[解析] 由題意知?1axdxa＝1，
3?
設l：y＝2x＋b代入y2＝x中，消去y得， 4x2＋(4b－1)x＋b2＝0， 1
由Δ＝0得，b
8∴l方程為16x－8y＋1＝0.
17．(2010·福建福州市)已知函數f(x)＝－x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的圖象如圖所示，它與x1
軸在原點處相切，且x軸與函數圖象所圍成區域(圖中陰影部分)的面積為，則a的值為
12________．
[答案] －1
[解析] f ′(x)＝－3x2＋2ax＋b，∵f ′(0)＝0，∴b＝0，∴f(x)＝－x3＋ax2，令f(x)＝0，得x＝0或x＝a(a
11
S陰影＝－?0(－x3＋ax2)dx4＝，∴a＝－1.
1212?
a
三、解答題
18．如圖所示，在區間[0,1]上給定曲線y＝x2，試在此區間內確定t的值，使圖中陰影部分的面積S1＋S2最小．
2
[解析] 由題意得S1＝t·t2－?tx2dx＝t3，
3?
S2?
dx－t2(1－t)＝2t3－t21
2＝?1xt
3＋3，
所以S＝SS41
1＋2＝3t3－t2＋3≤t≤1)．
又S′(t)＝4t2－2t＝4t??t1
2， 令S′(t)＝0，得t1
2
t＝0.
因為當0
2
0.
所以S(t)在區間??0，12上單調遞減，在區間1
21??上單調遞增．所以，當t＝11
2Smin＝4
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